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(第8课时)双曲线及其标准方程(1)


高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 8 课时)

王新敞



题:8.3

双曲线及其标准方程(一)

教学目的: 1.使学生掌握双曲线的定义,熟记双曲线的标准方程,并能初步应用; 2.通过对双曲线标准方程的推导,提高学生求动点轨迹方程的能力; 3.使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程; 4.使学生理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形(射线、 线段等) ; 5.培养学生发散思维的能力 教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点:双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: “双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程” 、 “椭圆及其标准方程”之 后,学习又一类圆锥曲线知识,也是中学解析几何中学习的重要的内容之一, 它在社会生产、日常生活和科学技术止有着广泛的应用,大纲明确要求学生必 须熟练掌握 本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容, 对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法 双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识,所以必须掌握 而掌握好双 曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键 应用双曲线的有 关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环 节 坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法,它充分体现了化归思 想、数形结合思想,是用以解决实际问题的一个重要的数学工具 犹如前面学 习的圆和圆锥曲线一样,双曲线也是一种动点的轨迹 双曲线和其方程分属于 几何和代数这两个分立的体系,但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合 在一起 因此我们要充分利用这节教材对学生进行好思想教育 双曲线的标准方程,内容可分为二个课时,第一课时内容主要是双曲线的 定义和标准方程以及课本中的例 1;第二课时主要是课本中的例 2、例 3 及几个 变式例题 教学过程: 一、复习引入: 1 椭圆定义:
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平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹 叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁( ?线段) 两定
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第 8 章圆锥曲线方程(第 8 课时)

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点间距离较短,则所画出的椭圆较圆( ?圆) 椭圆的形状与两定点间距离、绳 长有关 2.椭圆标准方程:
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(1)

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 ( 2 ) a2 b2 a2 b2
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其中 a ? c ? b
2 2

2
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二、讲解新课: 1.双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于

F1F2 )的动点的轨迹叫双曲线

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即 MF1 ? MF 2 ? 2a
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这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距 概念中几个容易忽略的地方: “平面内” 、 “距离的差的绝对值” 、 “常数小于

F1 F2 ”

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在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔( ? 两条平行线) 两定点间距离较短(大于定差) ,则所画出的双曲线的开口较狭 窄( ?两条射线) 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 2.双曲线的标准方程: 根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程: 推导标准方程的过程就是求曲 线方程的过程,可根据求动点轨迹方程的步骤,求出双曲线的标准方程 过程 如下: (1)建系设点; (2)列式; (3)变换; (4)化简; (5)证明
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取过焦点 F1,F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴 设 P( x, y )为双曲线上的任意一点,双曲线的焦距是 2 c ( c ? 0 )
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则 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又设 M 与 F1 (?c,0), F2 (c,0) 距离之差的绝对值等于 2 a (常数) , 2a ? 2c
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? P ? ?P PF1 ? PF2 ? ?2a?
又 ? PF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ,
? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a ,
化简,得:

y P F1 A 1
O

A2

F2

x

(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) ,

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第 8 章圆锥曲线方程(第 8 课时)

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由定义 2a ? 2c ? c ? a ? 0
2 2

令? c ? a ? b 代入,得: b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ,
2 2 2 2 2

两边同除 a b 得:

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 其中 c ? a ? b
2 2 2

若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程,如 焦点在 y 轴上,则焦点是 F1 (0,?c), F2 (0, c) ,将 x, y 互 换,得到

y F2 A2
O

x A1 F1

y x ? 2 ? 1 ,此也是双曲线的标准方程 2 a b

2

2

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3.双曲线的标准方程的特点: (1)双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种: 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ); a2 b2

焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为:
2 2 2

y2 x2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2
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(2) a, b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b
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4.焦点的位置 :从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字 母 x 、 y 项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点 所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即 x 项的系数是
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2

2

2

正的,那么焦点在 x 轴上; y 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上

2

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第 8 章圆锥曲线方程(第 8 课时)

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三、讲解范例: 例 1 判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出三量 a, b, c 的值
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x2 y2 ? ?1 4 2
x2 y2 ? ? ?1 4 2



x2 y2 ? ?1 2 2 y2 x2 ? ? 1) 32 2 2



④ 4 y 2 ? 9 x 2 ? 36 (
2

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分析:双曲线标准方程的格式:平方差, x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上, x 项的分母是 a ; y 2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上, y 2 项的分 母是 a
2
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2

2

解:①是双曲线, a ? 2, b ? ② 是双曲线, a ?

2, c ? 6 ;

2, b ? 2, c ? 2 ; 2, b ? 2, c ? 6 ;
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③是双曲线, a ?

④是双曲线, a ? 3, b ? 2, c ? 13

例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (?5,0),F2 (5,0) ,双曲线上一点 P 到

F1 (?5,0),F2 (5,0) 的距离之差的绝对值等于 6,求双曲线标准方程
解:因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

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x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) a2 b2
∵ 2a ? 6,2c ? 10 ∴ a ? 3, c ? 5

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∴ b ? 5 ? 3 ? 16
2 2 2

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所求双曲线标准方程为

x2 y2 ? ?1 9 16

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四、课堂练习: 1.求 a =4, b =3,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程

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第 8 章圆锥曲线方程(第 8 课时)

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2.求 a =2 5 ,经过点(2,-5) ,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程

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3.证明:椭圆 9x 2 ? 25y 2 ? 225与双曲线 x 2 ? 15y 2 ? 15 的焦点相同

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4.若方程 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则角 ? 所在象 限是( ) A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离为 15,则 P 点到 (?5,0) 的 5.设双曲线 16 9
距离是( ) A.7 练习答案:1. B.23 C.5 或 23 D.7 或 23

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x2 y2 ? ? 1 ; 2. 16 9

y2 x2 ? ? 1; 20 16

3. 9x 2 ? 25y 2 ? 225 ?

x2 y2 ? ? 1 ? F (?4,0) , 25 9

x2 y2 ? ? 1 ? F (?4,0) ; x ? 15y ? 15 ? 15 1
2 2

4. D. x sin ? ? y cos? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线
2 2

? sin ? ? 0 ? ? ? Ⅳ ,所以选 D. 5. D. | d ? 15 |? 2a ? 8 ? d ? 7 或 23 ?? ?cos? ? 0
五、小结 :双曲线的两类标准方程是

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x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦点在 x 轴上, a 2 b2

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 焦点在 y 轴上 a, b, c 有关系式 c 2 ? a 2 ? b 2 成立, 2 a b
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且 a ? 0, b ? 0, c ? 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b
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六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:
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