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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件:第二章 统计


成才之路· 数学
人教A版 ·必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修3

第二章
统 计

第二章 统计

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第二章
章末总结

第二章 统计

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知识结构

第二章

章末总结

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第二章

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[答案]

第二章

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专题突破

第二章

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专题1

三种抽样方法的比较

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较如下表:

第二章

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类别 简单随 机抽样

共同点 抽样过程 中每个个 体被抽到

各自特点 从总体中逐个抽 取

联系

适用范围 总体中个体无 差异且个数较 少

的可能性 将总体均分成几 系统 抽样 相等;每 部分,按预先制 次抽出个 定的规则在各部 体后不再 分中抽取 将它放 分层 抽样 将总体分成几

在第一组抽取样本 总体中个体无 时采用简单随机抽 差异且个数很 样 多

在各层抽取样本时 总体由差异明 采用简单随机抽样 显的几部分组 或系统抽样 成

回,即不 层,分层进行抽 放回抽样 取

第二章

章末总结

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研究统计问题的基本思想方法就是从总体中抽取样本, 用样本估计总体,因此选择适当的抽样方法抽取具有代表性 的样本对整个统计问题起着至关重要的作用.高考中主要考 查三种抽样方法的比较和辨析以及应用.

第二章

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[例1]

某高级中学有学生270人,其中一年级108人,

二、三年级各81人.现要利用抽样方法抽取10人参加某项调 查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方 案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三 年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学 生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10 段.如果抽得号码有下列四种情况:

第二章

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①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,91,119,146,173,200,227,154; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( )

第二章

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A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样

第二章

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[解析]

分层抽样时,在各层所抽取的样本个数与该层

个体数的比值等于抽样比;系统抽样抽取的号码从小到大排 列后,每一个号码与前一个号码的差都等于分段间隔.

[答案] D

第二章

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专题2

用样本的频率分布估计总体分布

总体分布反映了总体在各个范围内取值的可能性的大 小.在实际问题中,总体分布可以为合理的决策提供依据, 因此问题的解答就转化为求总体的分布问题,其解决的途径 是通过样本来估计总体.

第二章

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[例2]

下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得

出的120人的身高资料(单位:cm):

第二章

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(1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比.

第二章

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[分析]

第二章

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[解析]

(1)列出样本的频率分布表如下:
分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04

第二章

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(2)画出频率分布直方图,如下图所示.

第二章

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(3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为 5+8+10 23 120 =120≈0.19, 所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%.

第二章

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专题3

用样本的数字特征估计总体的数字特征

样本的数字特征可分为两大类,一类是反映样本数据的 集中趋势,包括样本平均数、众数、中位数,另一类是反映 样本数据的波动大小,包括样本方差及标准差.通常,我们 用样本的数字特征估计总体的数字特征.有关样本平均数及 方差的计算和应用是高考考查的热点.

第二章

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[例3]

某学校高一(3)班甲、乙两名同学的最近5次数学

测验成绩(单位:分)统计如下: 甲 乙 65 62 98 98 94 99 98 100 95 71

(1)分别写出甲、乙成绩的平均数和中位数; (2)分别用平均数和中位数分析甲、乙两位同学中,哪位 同学成绩较好;

第二章

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(3)又知同班同学丙的最近5次数学测验成绩(单位:分)如 下: 丙 80 90 86 99 95

分别从平均数、中位数和方差等方面分析甲与丙的成绩 谁好谁坏,并说明理由. [分析] 先按平均数和中位数的定义求出数据的平均数 和中位数.根据方差的公式求出它们的方差,判断成绩波动 大小.

第二章

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[解析] 90,

1 (1)平均分: x 甲= ×(65+98+94+98+95)= 5

1 x 乙= ×(62+98+99+100+71)=86. 5 甲的中位数是95,乙的中位数是98. (2)从平均分看,甲的平均分高,甲的成绩较好;从中位 数看,乙的中位数大,乙的成绩较好.

第二章

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1 (3) x 丙= ×(80+90+86+99+95)=90,丙的中位数为 5 90. 1 s 丙 = 5 ×[(80-90)2+(90-90)2+(86-90)2+(99-90)2+
2

(95-90)2]=44.4; 1 s 甲 = 5 ×[(65-90)2+(98-90)2+(94-90)2+(98-90)2+
2

(95-90)2]=158.8.

第二章

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由于两人的平均分相同,所以从平均分看,甲、丙成绩 同样好;从中位数看,甲的中位数高,甲的成绩高;从方差 看,丙的方差小,丙的成绩较稳定,所以丙的成绩好.

第二章

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归纳总结:不同的数字特征代表着不同的信息.由于 需要不同信息而选择不同的数字特征,对同一组数据的评价 可能会相差很大.

第二章

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专题4 回归直线与回归方程 除了函数关系这种确定性的关系外,还有大量因变量的 取值带有一定随机性的两个变量之间的关系——相关关 系.分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据的散 点图给出判断.若是线性相关,还可以利用最小二乘法求出 回归方程.

第二章

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求回归方程的步骤:
n 2 (1)由已知数据计算出 x , y , xi , xiyi; i=1 i=1

?

n

?

^ ^ (2)计算回归方程的系数a,b, ? n ? x y ?xiyi-n-- ? i=1 ? ^ ?b= n 公式为? x ? ?x2-n-2 i i=1 ? ? ?a=--b-; ?^ y ^ x
第二章 章末总结

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^ ^ ^ (3)写出回归方程y=bx+a. 利用回归方程,我们可以进行估计和预测.若回归直线 ^ ^ ^ ^ ^ ^ 方程为y=bx+a,则x=x0处的估计值为y0=bx0+a. 由于回归直线将部分观测值所反映的规律进行了延伸, 所以它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用.

第二章

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[例4]

(2011· 江西高考)为了了解儿子身高与其父亲身高

的关系,随机抽取5对父子身高数据如下表: 父亲身高x(cm) 儿子身高y(cm) 174 175 176 175 176 176 176 177 177 178

第二章

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则y对x的线性回归方程为( ^ A.y=x-1 ^=88+1x C.y 2

) ^ B.y=x+1 ^ D.y=176

[答案] C

第二章

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[解析]


由数据知,y与x之间是近似直线上升的,计算
- - -

易得 x =176, y =176,而回归直线必过样本的中心( x , y ), 代入选项验证,知C正确.

第二章

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机器可以按各种不同速度运转.其生产的物件 中有一些会有缺点,每小时生产有缺点物件的多少随机器运 转的速度而变化,下列即为其试验结果: 速度(r/s) 8 12 14 16 每小时生产有缺点物件数 5 8 9 11

第二章

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(1)求出由于机器速度的影响,每小时生产有缺点物件数 的回归直线方程. (2)若实际生产中允许每小时最多生产有缺点物件数为 10,那么机器的速度不得超过多少转每秒?

第二章

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[解析]

(1)用x来表示机器速度,y表示每小时生产的有

缺点的物件数,4个样本数据为(x1,y1)=(8,5),(x2,y2)= (12,8),(x3,y3)=(17,9),(x4,y4)=(16,11),则 x =12.5, y =
n i=1 8.25.回归直线的斜率b = n ^

∑xiyi-n x y ∑x2-nx2 i
i=1


≈0.729,截距a = y -b

^

^

x ≈-0.863.所以所求的回归直线方程为y=0.729x-0.863.

^

第二章

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(2)根据回归直线方程 y =0.729x-0.863,要使 y ≤10,即 0.729x-0.863≤10,解得x<14.901,即机器的速度不能超过 14.901 r/s.

^

^

第二章

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专题5 思想1
名称

思想方法总结 数形结合思想
数 数据分组及频 数: [40,50),2; 形 结合 ①可求众数:最高小长方形的 中点所对应的数据; ②可求中位数:中位数左边和 右边的直方图面积相等; ③可求平均数:每个小长方形 的面积乘以小长方形底边中点 的横坐标之和; ④可求落在各个区域内的频率

频率分布直 [50,60),3; 方图 [60,70),10; [70,80),15; [80,90),12; [90,100],8

第二章

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名称





结合 可精确地反映一个总 体在各个区域内取值

总体密度 曲线

同上

的百分比,如分数落 在(a,b)内的百分比 是左图中阴影部分的 面积

第二章

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名称

数 甲的数据: 95,81,75,89,71,65,7



结合 ①茎是十位和百位数字, 叶是个位数字; ②可以帮助分析样本数据 的大致频率分布; ③可用来求数据的一些数 字特征,如中位数、众数 等

茎叶图

6,88,94; 乙的数据: 83,86,93,99,88,103, 98,114,98

散点图

n个数据点(xi,yi)

可以判断两个变量之间有 无相关关系

第二章

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在育民中学举行的电脑知识竞赛中,将高一两 个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组, 绘制出如下图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的 第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40. (1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)求这两个班参赛的学生人数.

第二章

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[分析]

由频率分布直方图中各小组的频率之和为1,可

频数 求解第(1)问;根据频率= ,可求解第(2)问. 总数

第二章

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[解析]

(1)∵各小组的频率之和为1.00,且第一、三、

四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05. ∴第二小组的频率为 1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40. 频率 ∴落在59.5~69.5内的第二小组的长方形的高为 = 组距 0.40 10 =0.04,由此可补全频率分布直方图(如下图阴影部分所 示).

第二章

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第二章

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(2)设高一两个班参赛的学生人数为x, 因为第二小组的频数为40,频率为0.40, 40 所以 =0.40, 解得x=100. x 故高一两个班参赛的学生人数为100.

第二章

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(2012~2013· 北京石景山模拟)为增强市民的节 能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者,从符合条 件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者的年龄情况如下表 所示.
分组(单位:岁) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45] 合计 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00

第二章

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(1)频率分布表中的①和②位置应填什么数据? (2)补全频率分布直方图(如下图),再根据频率分布直方 图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数.

第二章

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[解析]

(1)100-5-35-30-10=20,所以①处填20;

1-0.050-0.200-0.300-0.100=0.35,所以②处填0.35. (2)补全频率分布直方图如下图所示.

第二章

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500名志愿者中,年龄在[30,35)的人数为0.35×500=175.

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思想2

转化与化归思想

转化与化归思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简 单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知 的问题实现的.转化与化归思想是解决数学问题的根本思 想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.统计中充分 体现了转化与化归的思想方法,如部分与整体的转化、数与 图的转化、随机性问题与确定性问题的转化等.

第二章

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(2012~2013· 山西模拟)如下图,图甲是某市有 关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率 分布直方图,已知图甲中从左向右第一组的频数为4 000.在

样本中记月收入在[1 000,1 500),[1 500,2 000),[2 000,2 500),[2 500,3 000),[3 000,3 500),[3 500,4 000)的人数依 次为A1,A2,…,A6.图乙是统计图中月工资收入在一定范围 内的人数的程序框图,图乙输出的S=________(用数字作 答).

第二章

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第二章

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[解析]

解法一:先求样本容量x,再分别计算A2,

A3,…,A6.在频率分布直方图中,小长方形的高是频率/组 距,所以 A1=4 000=0.000 8×500x,解得x=10 000. 从而,A2=0.000 4×500×10 000=2 000, A3=0.000 3×500×10 000=1 500, A4=0.000 25×500×10 000=1 250,

第二章

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A5=0.000 15×500×10 000=750, A6=0.000 1×500×10 000=500, 所以图乙输出的S=A2+A3+…+A6=6 000.

第二章

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解法二:先求样本容量x,再计算A2+A3+…+A6. 在频率分布直方图中,小长方形的高是频率/组距,所以 A1=4 000=0.000 8×500x,解得x=10 000. 所以,图乙输出的S=A2+A3+…+A6=10 000-A1=10 000-4 000=6 000.

[答案] 6 000

第二章

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规纳总结:本例由程序框图转化到频率分布直方图, 由图读数,体现了转化与化归思想.

第二章

章末总结


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