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广东省珠海市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)(理科)(a卷)


2016-2017 学年广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(理科) (A 卷)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若命题 p:? x∈A,2x∈B,则( )

A.¬p:? x0∈A,2x0∈B B.¬p:? x0?A,2x0∈B C.¬p:? x0∈A,2x0?B 2.下列命题错误的是( D.¬p:? x?A,2x?B )

A.命题“若 lgx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 lgx≠0” B.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C.命题 p:? x0∈R,使得 sinx0>1,则¬p“? x∈R,均有 sinx≤1 D.“x>2”是“ < ”的充分不必要条件 3.已知 A.﹣6 B.6 , C.﹣9 D.9 ) ,若 ,则常数 m=( )

4.在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=400,则 a2+a8=( A.40 B.80 C.160 D.320 5.如图 ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 余弦值是( )

,则 BE1 与 DF1 所成的角的

A.

B.

C.

D.

6.设两点 A、B 的坐标为 A(﹣1,0)、B(1,0),若动点 M 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为﹣2,则动点 M 的轨迹方程为( )

A.x2﹣

=1

B.x2﹣

=1(x≠±1)

C.x2+

=1 D.x2+

=1(x≠±1) )

7.在等比数列{an}中,若 a6=6,a9=9,则 a3 为( A.2 B. C. D.4

8. “一尺之锤, 《庄子?天下篇》 中记述了一个著名命题: 日取其半, 万世不竭”. 反 映这个命题本质的式子是( A.1+ + C. + +…+ +…+ =2﹣ =1 D. B. + ) + +…+ >1 <1

+…+

9.若 m<n,p<q,且(p﹣m)(p﹣n)<0,(q﹣m)(q﹣n)<0,则 m, n,p,q 从小到大排列顺序是( )

A.m<p<q<n B.p<m<q<n C.m<p<n<q D.p<m<n<q 10.△ABC 的三边长分别是 a,b,c,且 a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC 的外接 圆的面积为( ) D. )

A.25π B.5π C.

11.已知 lg(x+y)=lgx+lgy,则 x+y 的取值范围是( A.(0,1] B.[2,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) 12.已知 P 是双曲线

=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2 分别是双曲 S△IF1F2 成立,则该双曲

线的左、右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1=S△IPF2+ 线的离心率为( A.4 B. ) D.2

C.2

二、填空题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 13.已知抛物线的方程为 y=ax2,且经过点(1,4),则焦点坐标为 .

14.已知关于 x 的不等式(x﹣a)(x+1﹣a)≥0 的解集为 P,若 1?P,则实数 a 的取值范围为 .

15.如图,某农户计划在自家后院,背靠院墙用篱笆围出一块约 8m2 的矩形空地 用来养鸡,所需篱笆总长度最小为 m.

16.若命题:“? x∈R,ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是



17.已知点 P 在圆 x2+y2=1 运动,点 M 的坐标为 M(2,0),Q 为线段 PM 的中 点,则点 Q 的轨迹方程为 18.已知双曲线 ﹣ .

=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线 .

的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为

19.四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,AC 与 BD 交于点 O,点 G 为 BD 上一点,BG=2GD, = . = , = , = ,用基底{ , , }表示向量

20.定义: 前 n 项的“均倒数”为

为 n 个正数 p1,p2,…,pn 的“均倒数”,若数列{an}的 ,则数列{an}通项公式为 an= .

三、解答题(共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分) 21.(10 分)已知△ABC 中,点 D 为 BC 中点,AB=2,AC=4. (1)若 B= (2)若 AD= ,求 sinA; ,求 BC.

22.(10 分)某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运 业务,每车每天往返一次.A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,在甲 地和乙地之间往返一次的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建 一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天要运 送不少于 900 人从甲地去乙地的旅客, 并于当天返回, 为使公司从甲地去乙地的 营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆?营运成本最小为多少元? 23. (10 分)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是不为零的常数,n=1,2,3,…), 且 a1,a2,a3 成等比数列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式; (3)设数列 的前 n 项之和为 Tn,求 Tn.

24.(10 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,DE⊥AB 于点 E, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1E⊥EB.

(1)求证:A1D⊥DC; (2)求二面角 E﹣A1B﹣C 的余弦值; (3)判断在线段 EB 上是否存在一点 P,使平面 A1DP⊥平面 A1BC?若存在,求 出 的值,若不存在,说明理由. )的椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,椭

25.(10 分)过点 C(0,

圆与 x 轴交于两点 A(a,0),B(﹣a,0),过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与 BD 交于点 Q. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长;

(3)当点 P 异于点 B 时,求证:

?

为定值.

2016-2017 学年广东省珠海市高二 (上) 期末数学试卷 (理 科)(A 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若命题 p:? x∈A,2x∈B,则( )

A.¬p:? x0∈A,2x0∈B B.¬p:? x0?A,2x0∈B C.¬p:? x0∈A,2x0?B 【考点】命题的否定. 【分析】命题 p 是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词变化. 【解答】解:命题 p∈A,2x∈B 是全称命题, 否定时将量词对任意的 x 变为? x,再将不等号∈变为?即可, 即为:¬p:? x0∈A,2x0?B, 故选:C 【点评】本题考查命题的否定,全称命题和特称命题,属基本知识的考查.注意 在写命题的否定时量词的变化.属基础题. D.¬p:? x?A,2x?B

2.下列命题错误的是(



A.命题“若 lgx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 lgx≠0” B.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C.命题 p:? x0∈R,使得 sinx0>1,则¬p“? x∈R,均有 sinx≤1 D.“x>2”是“ < ”的充分不必要条件 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】写出原命题的逆否命题,可判断 A;根据复合命题真假判断的真值表, 可判断 B;写出原命题的否定命题,可判断 C;根据充要条件的定义,可判断 D. 【解答】解:命题“若 lgx=0,则 x=0”的逆否命题为“若 x≠0,则 lgx≠0”,故 A 正 确;

若 p∧q 为假命题,则 p,q 存在假命题,但不一定均为假命题,故 B 错误; 命题 p:? x0∈R,使得 sinx0>1,则¬p“? x∈R,均有 sinx≤1,故 C 正确; “ < ”?“x>2,或 x<0”,故“x>2”是“ < ”的充分不必要条件,故 D 正确; 故选:B 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了四种命题,复合命题,充 要条件,特称命题等知识点,难度中档.

3.已知 A.﹣6 B.6

, C.﹣9 D.9

,若

,则常数 m=(



【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直. 【分析】根据 【解答】解: 当 时, ? =0, 时, ? =0,列出方程求出 m 的值. , ,

即﹣3×1+2m+5×3=0, 解得 m=﹣6. 故选:A. 【点评】本题考查了空间向量的数量积的应用问题,是基础题目.

4.在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=400,则 a2+a8=( A.40 B.80 C.160 D.320 【考点】等差数列的通项公式.



【分析】运用等差数列的性质,求得 a5=80,即可得到所求. 【解答】解:在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=400, 由 a3+a7=a2+a8=2a5, 可得 5a5=400,a5=80, 则 a2+a8=160, 故选:C. 【点评】本题考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.

5.如图 ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 余弦值是( )

,则 BE1 与 DF1 所成的角的

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 E1, 得到的锐角或直角就 是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 【解答】解:如图 先将 F1D 平移到 AF,再平移到 E1E, ∠EE1B 为 BE1 与 DF1 所成的角 设边长为 4 则,E1E=E1B= cos∠EE1B= ,故选 A ,BE=2

【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及余弦定理的应用,属于基 础题.

6.设两点 A、B 的坐标为 A(﹣1,0)、B(1,0),若动点 M 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为﹣2,则动点 M 的轨迹方程为( A.x2﹣ =1 B.x2﹣ =1(x≠±1) )

C.x2+

=1 D.x2+

=1(x≠±1)

【考点】轨迹方程. y) 【分析】 由题意可得: 设M (x, , 写出直线 AM 与直线 BM 的斜率分别为 ,结合题意得到 x 与 y 的关系,进而得到答案. 【解答】解:由题意可得:设 M(x,y), 所以直线 AM 与直线 BM 的斜率分别为 , ,x≠±1. ,

因为直线 AM 与直线 BM 的斜率之积为﹣2, 所以 ? =﹣2,化简得:x2+ =1.x≠±1

所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 x2+ 故选:D.

=1(x≠±1).

【点评】本题主要考查求曲线轨迹方程的方法,注意 x 的范围,考查转化思想以 及计算能力.

7.在等比数列{an}中,若 a6=6,a9=9,则 a3 为( A.2 B. C. D.4



【考点】等比数列的通项公式. 【分析】由已知结合等比数列的性质求解. 【解答】解:在等比数列{an}中,由 a6=6,a9=9, 得 故选:D. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算 题. .

8. “一尺之锤, 《庄子?天下篇》 中记述了一个著名命题: 日取其半, 万世不竭”. 反

映这个命题本质的式子是( A.1+ + C. + +…+ +…+ =2﹣ =1 D. B. +

) + +…+ >1 <1

+…+

【考点】归纳推理. 【分析】根据已知可得每次截取的长度构造一个以 为首项,以 为公比的等比 数列,但累加和小于 1,进而得到答案. 【解答】解:根据已知可得每次截取的长度构造一个以 为首项,以 为公比的 等比数列, ∵ + +…+ =1﹣ <1, +…+ <1 ,

故反映这个命题本质的式子是 + 故选:B.

【点评】 本题考查的知识点是等比数列的前 n 项和公式, 数列的应用, 难度中档.

9.若 m<n,p<q,且(p﹣m)(p﹣n)<0,(q﹣m)(q﹣n)<0,则 m, n,p,q 从小到大排列顺序是( )

A.m<p<q<n B.p<m<q<n C.m<p<n<q D.p<m<n<q 【考点】不等式比较大小. 【分析】把 p、q 看成变量,则由(q﹣m)(q﹣n)<0,知 m,n 一个大于 q, 一个小于 q.由 m<n,知 m<q<n;由(p﹣m)(p﹣n)<0,知 m,n 一个 大于 p,一个小于 p,由 m<n,知 m<p<n.由 p<q,知 m<p<q<n. 【解答】解:∵(q﹣m)(q﹣n)<0, ∴m,n 一个大于 q,一个小于 q. ∵m<n, ∴m<q<n. ∵(p﹣m)(p﹣n)>0, ∴m,n 一个大于 p,一个小于 p. ∵m<n,

∴m<p<n. ∵p<q, ∴m<p<q<n. 故选:A. 【点评】本题考查不等式大小的比较,解题时要认真审题,仔细解答,注意不等 式的性质的合理运用.

10.△ABC 的三边长分别是 a,b,c,且 a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC 的外接 圆的面积为( ) D.

A.25π B.5π C. 【考点】余弦定理.

【分析】 由已知利用三角形面积公式可求 c 的值, 进而利用余弦定理可求 b 的值, 再利用正弦定理可求三角形外接圆的半径,利用圆的面积公式即可计算得解. 【解答】解:∵S△ABC=2,a=1,B=45°, ∴ acsinB= ∴由余弦定理可得:b= ∴2R= ∴S 外接圆=πR2= 故选:C. 【点评】本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理,正弦定理,圆的面积公式 在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题. . , =2,解得:c=4 = , =5,

11.已知 lg(x+y)=lgx+lgy,则 x+y 的取值范围是( A.(0,1] B.[2,+∞) C.(0,4] D.[4,+∞) 【考点】基本不等式. 【分析】化简构造基本不等式的性质即可得出.



【解答】解:由题意,lg(x+y)=lgx+lgy,得 lg(x+y)=lg(xy)∴x+y=xy,且 x >0,y>0.

∴y= ∴x>1

>0,

那么:x+y=x+

=(x﹣1)+

+2≥

=4

当且仅当 x=2 时取等号. ∴x+y 的取值范围是[4,+∞), 故选:D. 【点评】 本题考查了“对数的运算”和构造基本不等式的性质的运用, 属于基础题.

12.已知 P 是双曲线

=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2 分别是双曲 S△IF1F2 成立,则该双曲

线的左、右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1=S△IPF2+ 线的离心率为( A.4 B. ) D.2

C.2

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先根据题意作出示意图,如图所示,利用平面几何的知识利用三角形面 积公式,代入已知式 S△IPF1=S△IPF2+ S△IF1F2,化简可得|PF1|﹣|PF2|= |F1F2|,

再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率. 【解答】解:如图,设圆 I 与△PF1F2 的三边 F1F2、PF1、 PF2 分别相切于点 E、F、G,连接 IE、IF、IG, 则 IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2, 它们分别是△IF1F2,△IPF1,△IPF2 的高, ∴S△IPF1= |PF1|?|IF|= |PF1|r, S△IPF2= |PF2|?|IG|= |PF2|r, S△IF1F2= |F1F2|?|IE|= |F1F2|r, 其中 r 是△PF1F2 的内切圆的半径. ∵S△IPF2=S△IPF1﹣ S△IF1F2,

∴ |PF2|= |PF1|﹣

|F1F2|, |F1F2|,

两边约去 得:|PF2|=|PF1|﹣ ∴|PF1|﹣|PF2|= |F1F2|

根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c, ∴2a= c? 离心率为 e= = .

故选 B.

【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中,用来求双曲线的离心率,着 重考查了双曲线的基本性质、 三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点,属 于中档题.

二、填空题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 13. 4) 已知抛物线的方程为 y=ax2, 且经过点 (1 , , 则焦点坐标为 (0, 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】利用点的坐标满足方程求出 a,化简抛物线方程,然后求解即可. 【解答】解:抛物线的方程为 y=ax2,且经过点(1,4),可得 a=4,抛物线的 标准方程为:x2= y,则焦点坐标为:(0, 故答案为:(0, ). ). ) .

【点评】 本题考查抛物线的简单性质的应用, 抛物线方程的求法, 考查计算能力.

14.已知关于 x 的不等式(x﹣a)(x+1﹣a)≥0 的解集为 P,若 1?P,则实数 a

的取值范围为 (1,2)



【考点】一元二次不等式的解法;其他不等式的解法. 【分析】根据题意,1?P 时(1﹣a)(1+1﹣a)<0 成立,求出解集即可. 【解答】解:不等式(x﹣a)(x+1﹣a)≥0 的解集为 P, 当 1?P 时,(1﹣a)(1+1﹣a)<0, 即(a﹣1)(a﹣2)<0, 解得 1<a<2; 所以实数 a 的取值范围是(1,2). 故答案为:(1,2). 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题目.

15.如图,某农户计划在自家后院,背靠院墙用篱笆围出一块约 8m2 的矩形空地 用来养鸡,所需篱笆总长度最小为 8 m.

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】设矩形的长为:x,宽为:y,则 xy=8,且 x>0,y>0,篱笆总长度为 L=x+2y 利用基本不等式求解即可. 【解答】解:设矩形的长为:x,宽为:y,则 xy=8,且 x>0,y>0,篱笆总长 度为 L=x+2y≥2 故答案为:8. 【点评】本题考查函数的实际问题的应用,基本不等式在最值中的应用,考查计 算能力. =8,当且仅当 x=2y=4 时取等号;篱笆总长度最小为:8m.

16. “? x∈R, ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题, 若命题: 则实数 a 的取值范围是 0] . 【考点】命题的真假判断与应用.

[﹣4,

【分析】根据全称命题的性质及一元二次不等式的性质,分类进行求解即可. 【解答】解:当 a=0 时,﹣1≤0 成立;

当 a≠0 时,则

? ﹣4≤a<0

综上:实数 a 的取值范围是[﹣4,0] 故答案为:[﹣4,0]. 【点评】 本题主要考查命题的真假应用,结合一元二次不等式的解法是解决本题 的关键,同时考查了分类讨论思想,属于基础题.

17.已知点 P 在圆 x2+y2=1 运动,点 M 的坐标为 M(2,0),Q 为线段 PM 的中 点,则点 Q 的轨迹方程为 【考点】轨迹方程. 【分析】本题宜用代入法求轨迹方程,设 Q(x,y),P(a,b),由中点坐标 公式得到 a=2x﹣2,b=2y,代入 x2+y2=16 到 Q(x,y)点的坐标所满足的方程, 整理即得点 Q 的轨迹方程. 【解答】解:设 Q(x,y),P(a,b) 由 M(2,0),Q 为线段 PM 的中点 故有 a=2x﹣2,b=2y 又 P 为圆 x2+y2=1 上一动点, ∴(2x﹣2)2+(2y)2=16, 整理得(x﹣1)2+y2= , 故 Q 的轨迹方程是(x﹣1)2+y2= . 故答案为:(x﹣1)2+y2= . 【点评】本题的考点是轨迹方程,考查用代入法求支点的轨迹方程,代入法适合 求动点与另外已知轨迹方程的点有固定关系的点的轨迹方程, 用要求轨迹方程的 点的坐标表示出已知轨迹方程的点的坐标,再代入已知的轨迹方程,从而求出动 点的坐标所满足的方程. (x﹣1)2+y2= .

18.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线

的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 【考点】双曲线的简单性质.

y=±2x .

【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,沟通 a,b,c 的 关系,即可求出该双曲线的渐近线方程. 【解答】解:∵焦点 F(c,0)到渐近线 y= x 的距离等于实轴长, ∴ ∴b=2a, 即有双曲线的渐近线方程为 y=± x, 即为 y=±2x. 故答案为:y=±2x. 【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质,双曲线的渐近线的求法,通过 a,b,c 的比例关系,可以求渐近线方程,也可以求离心率. =2a,

19.四棱锥 P﹣ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,AC 与 BD 交于点 O,点 G 为 BD 上一点,BG=2GD, = . = , = , = ,用基底{ , , }表示向量

【考点】平行向量与共线向量. 【分析】利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出. 【解答】 解: + 故答案为: = = . = . = = + =

【点评】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则及其运算性质,考查了

推理能力与计算能力,属于中档题.

20.定义: 前 n 项的“均倒数”为 【考点】数列的求和.

为 n 个正数 p1,p2,…,pn 的“均倒数”,若数列{an}的 ,则数列{an}通项公式为 an= 6n﹣4 .

【 分 析 】 设 数 列 {an} 的 前

n

项 和 为

sn , 由 已 知 可 得

,可求得 sn,再利用 an=sn﹣sn﹣1 求得通项 【解答】解:设数列{an}的前 n 项和为 sn, 由已知可得 ∴ 当 n≥2 时, 当 n=1 时,a1=s1=2 适合上式, ∴an=6n﹣4. 故答案为:6n﹣4 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解,利用 an 与 Sn 的关系是解决本题的 关键,属于基础题. , ; ,

三、解答题(共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分) 21. AB=2, AC=4. (10 分) (2016 秋?珠海期末) 已知△ABC 中, 点 D 为 BC 中点, (1)若 B= (2)若 AD= ,求 sinA; ,求 BC.

【考点】三角形中的几何计算. 【分析】(1)若 B= ,求出 sinC,cosC,即可求 sinA;

(2)若 AD=

,利用余弦定理建立方程,即可求 BC = ,

【解答】解:(1)由正弦定理,可得 sinC= ∵0<C<π, ∴cosC= , = ;

∴sinA=sin(B+C)=

(2)设 BC=2x,在△ABD 中,由余弦定理可得 cos∠ADB=



△ACD 中,由余弦定理可得 cos∠ADC=



∴ ∴x= ∴BC=2 ,

=﹣





【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,考查方程思想,属于中档题.

22.(10 分)(2016 秋?珠海期末)某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、 乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆.若每天要运送不少于 900 人从甲地去乙地的旅客,并于当天返回,为使公 司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆?营运成 本最小为多少元? 【考点】简单线性规划的应用. 【分析】设应配备 A 型车、B 型车各 x 辆,y 辆,营运成本为 z 元;从而可得

;z=1600x+2400y;利用线性规划求解.

【解答】解:设应配备 A 型车、B 型车各 x 辆,y 辆,营运成本为 z 元;

则由题意得,

;z=1600x+2400y;

故作平面区域如下,

故联立

,解得,x=5,y=12;

此时,z=1600x+2400y 有最小值 1600×5+2400×12=36800 元. 答:应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆,营运成本最小,36800 元. 【点评】本题考查线性规划的应用,列出约束条件画出可行域,求解目标函数的 最值是解题的关键,考查数形结合以及计算能力.

23.(10 分)(2012?广州一模)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是不为零的 常数,n=1,2,3,…),且 a1,a2,a3 成等比数列. (1)求 c 的值;

(2)求{an}的通项公式; (3)设数列 的前 n 项之和为 Tn,求 Tn.

【考点】等比数列的性质;数列的求和;数列递推式. 【分析】(1)先根据 a1=2,an+1=an+cn,令 n=2 得到 a2,令 n=3 得到 a3.因为 a1,a2,a3 成等比数列,所以 a22=a1?a3,代入即可求出 c 的值;(2)当 n≥2 时, a2﹣a1=c,a3﹣a2=2c,…,an﹣an﹣1=(n﹣1)c,等号左边相加等于等号右边相加, 并根据等差数列的前 n 项和的公式得到 an 即可; (3)设 .然后列举出 Tn 的各项得①,都乘以 得 Tn

②,利用①﹣②即可得到 Tn 的通项. 【解答】解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c. ∵a1,a2,a3 成等比数列, ∴(2+c)2=2(2+3c), 解得 c=0 或 c=2. ∵c≠0,∴c=2.

(2)当 n≥2 时,由于 a2﹣a1=c,a3﹣a2=2c,an﹣an﹣1=(n﹣1)c, ∴an﹣a1=[1+2+…+(n﹣1)]c= .

又 a1=2,c=2,故有 an=2+n(n﹣1)=n2﹣n+2(n=2,3,). 当 n=1 时,上式也成立. ∴an=n2﹣n+2(n=1,2).

( 3 )令 +…+(n﹣1) Tn=0+ ①﹣②得 +2× ①

. Tn=b1+b2+b3+…+bn=0+

+2 ×

+3 ×

+…+(n﹣2) .

+(n﹣1)



【点评】 考查学生灵活运用等比数列性质的能力, 灵活运用等差数列的前 n 项和 公式求数列的通项公式, 会利用错位相减法求数列的通项.以及灵活运用数列递 推式解决数学问题.

24. (10 分) (2016 秋?珠海期末) 如图, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ∠BAD=60°, DE⊥AB 于点 E,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1E⊥EB.

(1)求证:A1D⊥DC; (2)求二面角 E﹣A1B﹣C 的余弦值; (3)判断在线段 EB 上是否存在一点 P,使平面 A1DP⊥平面 A1BC?若存在,求 出 的值,若不存在,说明理由.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质;平面与平面垂直的判 定. 【分析】(1)由题意知 EA1,EB,ED 两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向 量法能证明 A1D⊥DC. (2)求出平面 A1BE 的一个向量和平面 A1BC 的一个法向量,利用向量法能求出 二面角 E﹣A1B﹣C 的余弦值. (3)设 =λ(0≤λ≤1), = = =(﹣2,2λ,0),求出平

面 A1DP 的法向量和平面 A1BC 法向量,利用向量法能求出在线段 EB 上存在一点 P,使平面 A1DP⊥平面 A1BC. 【解答】证明: (1)∵在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,DE⊥AB 于点 E, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1E⊥EB. ∴由题意知 EA1,EB,ED 两两垂直,建立空间直角坐标系, 由题意得 DE=2 (0,0,2 ), ,从而 A1(2,0,0),B(0,2,0),C(0,4,2 ),D

∴ ∵

=(﹣2,0,2 ?

),

=(0,4,0),

=0,∴A1D⊥DC.

解:(2)平面 A1BE 的一个向量 =(0,0,1), =(2,﹣2,0), =(0,2,2 ),

设平面 A1BC 的一个法向量为 =(x,y,z), 则 ,令 z=1,则 =(﹣ ,﹣ ,1),

∴cos<

>=

=

, .

∴二面角 E﹣A1B﹣C 的余弦值为﹣

(3)若存在一点 P,使平面 A1DP⊥平面 A1BC, 设 =λ(0≤λ≤1), =(﹣2,0,2 ), = = =(﹣2,2λ,0),

设平面 A1DP 的法向量 =(a,b,c), 则 ,令 c=λ,则 =( ,1), ),

则平面 A1BC 法向量 =(﹣ ∵平面 A1DP⊥平面 A1BC, ∴ =﹣3λ﹣3+λ=0,

解得 λ=﹣ ,与 0≤λ≤1 矛盾, ∴在线段 EB 上存在一点 P,使平面 A1DP⊥平面 A1BC.

【点评】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查线段比值

的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

25.(10 分)(2016 秋?珠海期末)过点 C(0, 0)的离心率为

)的椭圆

+

=1(a>b>

,椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0),B(﹣a,0),过点 C 的

直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与 BD 交于点 Q. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (3)当点 P 异于点 B 时,求证: ? 为定值.

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】(1)由过点 C(0, )的椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,

列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆的方程. (2)椭圆的右焦点为( 简,得 ,0),直线 l 的方程为 y=﹣x+ ,代入椭圆方程化

,由此能求出|CD|.

(3)当直线 l 与 x 轴垂直时,与题意不符.当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+ =0,求出 D( , (k≠0, 且 k≠ x2+4 ) , 代入椭圆方程, 化简得 (2k2+1) ),从而得到 kBD,进而求出直线 BD 的方

程,再由直线 AC 的方程联立

,求出 Q(﹣2

,2k+

),

由 l 方程得 P(﹣

,0),由此能证明

?

为定值.

【解答】解:(1)∵过点 C(0, ,

)的椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为



,解得 a=2,b=

,c=



∴椭圆的方程为 (2)椭圆的右焦点为(

. ,0), , ,

此时直线 l 的方程为 y=﹣x+ 代入椭圆方程化简,得 解得 ,

代入直线 l 的方程,得 ∴|CD|=

,y2=﹣

, = .

证明:(3)当直线 l 与 x 轴垂直时, ∵椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0),B(﹣a,0),∴AC∥BD,与题意不符. 设直线 l 的方程为 y=kx+ ,(k≠0,且 k≠ =0, ),

代入椭圆方程,化简得(2k2+1)x2+4 解得 ,

代入直线 l 的方程,得





∴D(

),

∴kBD=

=

=

=

=

, (x+2), ,

∴直线 BD 的方程为 y= 又直线 AC 的方程为

联立

,得

,∴Q(﹣2

,2k+

),

又由 l 方程得 P(﹣ ∴ =(﹣

,0), )?(﹣2 ,2k+ )=4


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