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高中数学(人教A版选修2-2)单元质量评估 第二章 推理与证明

单元质量评估(二) 第二章 (100 分钟 120 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列推理过程属于演绎推理的为( ) A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试 验,试验成功后再用于人体试验 B.由 1=12,1+3=22,1+3+5=32,?得出 1+3+5+?+(2n-1)=n2 C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线 (四面体每一 个顶点与对面重心的连线)交于一点 D.通项公式形如 an=cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列,则数列{-2n}为 等比数列 【解析】选 D.因为老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处, 故 A 中推理为类比推理; 因为由 1=12,1+3=22,1+3+5=32,…得出 1+3+5+…+(2n-1)=n2,是由特 殊到一般, 故 B 中推理为归纳推理; 因为由三角形性质得到四面体的性质有相似之处, 故 C 中推理为类比推理; 因为由通项公式形如 an=cqn(cq≠0)的数列{an}为等比数列(大前提), 数列{-2n}满足这种形式(小前提),则数列{-2n}为等比数列(结论), 可得 D 中推理为演绎推理. 2.(2014·石家庄高二检测)下列推理是归纳推理的是( ) A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表 达式 C.由圆 x2+y2=r2 的面积π r2,猜出椭圆 + =1 的面积 S=π ab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【解析】选 B.从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一 般的推理,所以 B 是归纳推理. 3.(2014·广州高二检测)四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠 分别坐在 1,2,3,4 号位置上,第 1 次前后排动物互换位置,第 2 次 左右列互换座位, ?, 这样交替进行下去, 那么第 2014 次互换座位后, 小兔的位置对应的是( ) A.编号 1 C.编号 3 B.编号 2 D.编号 4 【解析】选 C.交换 4 次是一个周期,第 2014 次小兔的位置和第 2 次小 兔的位置一样. 4.(2014·太原高二检测)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直 线的法向量,在平面直角坐标系中,利用求动点轨迹方程的方法,可 以求出过点 A(-3,4),且法向量为 n=(1,-2)的直线(点法式)方程为: 1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0,化简得 x-2y+11=0.类比以上方法,在空间 直角坐标系中,经过点 A(1,2,3),且法向量为 m=(-1,-2,1)的平 面的方程为( A.x+2y-z-2=0 B.x-2y-z-2=0 C.x+2y+z-2=0 D.x+2y+z+2=0 【解析】选 A.类比直线方程求法得平面方程为 (-1)× (x-1)+(-2)× (y-2)+1×(z-3)=0,即 x+2y-z-2=0. 5.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表.设 aij(i,j∈ N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、 从左往右数第 j 个数, 如 a42=8.若 aij=2009,则 i 与 j 的和为( 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 A.105 B.106 C.107 D.108 ) ) 【解析】选 C.由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶 数列,2009=2×1005-1, 所以 2009 为第 1005 个奇数, 又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961, 前 32 个奇数行内数的个数的和为 1024, 故 2009 在第 32 个奇数行内, 所以 i=63, 因为第 63 行的第一个数为 2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1), 所以 m=44,即 j=44, 所以 i+j=107. 6.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则 第 n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.4n+2 C.2n+4 B.4n-2 D.3n+3 【解析】选 A.方法一:(归纳猜想法) 观察可知:除第一个以外,每增加一个黑色地面砖,相应的白色地面 砖就增加四个, 因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项,公差是 4 的等差数列的第 n 项”. 故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n+2. 方法二:(特殊值代入排除法) 由图可知,当 n=1 时,a1=6,可排除 B. 当 n=2 时,a2=10,可排除 C,D. 故答案为 A. 7.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn(x)=fn-1′(x), n∈N,则 f2013(x)=( A.sinx C.cosx ) B.-sinx D.-cosx 【解析】选 C.f1(x)=(sinx)′=cosx, f2(x)=(cosx)′=-sinx, f3(x)=(-sinx)′=-cosx, f4(x)=(-cosx)′=sinx, f5(x)=(sinx)′=cosx=f1(x), f6(x)=(cosx)′=-sinx=f2(x), 故可猜测 fn(x)以 4 为周期, 有 f4n+1(x)=f1(x)=cosx, f4n+2(x)=f2(x)=-sinx, f4n+3(x)=f3(x)=-cosx, f4n+4(x)=f4(x)=sinx, 所以 f2013(x)=f503×4+1(x)=f1(x)=cosx,故选 C. 8.(2013·江西高考)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7, a5+b5=

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