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解三角形1.1.3习题课__正弦定理和余弦定理的综合应用练习新人教A版必修5

习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用
课后篇巩固探究
A组 1.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则 cos C 的值为( )

A.

B.-

C.

D.-

解析∵sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理,得 a∶b∶c=3∶2∶3,设 a=3k,b=2k,c=3k(k>0),

则 cos C=

.

答案 A 2.(2017·江西南昌二中测试)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量

m=(a+b,sin C),n=( a+c,sin B-sin A),若 m∥n,则角 B 的大小为( )

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

解析∵m∥n,∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c( a+c),

即 a2+c2-b2=- ac.由余弦定理,得 cos B=- .
又 B 为△ABC 的内角,∴B=150°.故选 D. 答案 D

3.在△ABC 中,B=60°,最长边与最短边之比为( +1)∶2,则最大角为( )

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

解析依题意,得△ABC 不是等边三角形.因为 B=60°,所以角 B 不是最大角.设 C 为最大角,A

为最小角,则 A+C=120°,所以

,解得 tan A=1,所以
A=45°,C=75°. 答案 C 4.在△ABC 中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析由 a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,得 sin2Asin 2B+sin2 Bsin 2A=2sin Asin B,即 sin2A·2sin Bcos B+sin2B·2sin Acos A=2sin Asin B,

所以 sin Acos B+cos Asin B=1,即 sin(A+B)=1,所以 A+B=90°,所以 C=90°,故△ABC 是直 角三角形. 答案 B 5.在△ABC 中,a=2,c=1,则角 C 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

解析在△ABC 中,a=2,c=1,由正弦定理

,得

,∴sin C=sin A.∵A∈(0,π ),

∴0<sin A≤1,∴sin C∈ .结合函数 y=sin x 的图象可得 C∈

.∵a>c,∴

角 C 是锐角,∴C∈ .故选 D.

答案 D

6.(2017·江苏南通中学)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 b+c=2a,且 3sin

A=5sin B,则角 C=

.

解析由 3sin A=5sin B 结合正弦定理,得 3a=5b.因为 b+c=2a,所以 b=a,c=a.由余弦定理,得

cos C=

=-,故 C=120°.

答案 120°

7.(2017·山西运城中学月考)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且

A=60°,c=3b,则=

.

解析由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=

+c2-2×c×c× c2,所以

.

答案

8.在△ABC 中,a,b,c 分别为三内角 A,B,C 所对的边,若 B=2A,则 的取值范围



.

解析

=cos A.因为 A+B+C=π ,所以 0<A< ,故 =cos A∈ .

答案

9.

导学号 04994007 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosC=3acos

B-ccos B.

(1)求 cos B 的值;

(2)若

=2,且 b=2 ,求 a 和 c 的值.

解(1)由正弦定理,得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中 R 为△ABC 外接圆半径, 则 2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即 sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B, 可得 sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即 sin(B+C)=3sin Acos B,可得 sin A=3sin Acos B.又 sin A≠0,因此 cos B=.

(2)由

=2,得 accos B=2.由(1)知 cos B=,故 ac=6,由 b2=a2+c2-2accos B,得 a2+c2=12,

所以(a-c)2=0,即 a=c,所以 a=c= .
B组 1.在△ABC 中,若角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 atan B=5,bsin A=4,则 a 等于( )

A.

B.

C.5

D.

解析由已知,得

.

由正弦定理,得 答案 D

,所以 cos B=,从而 sin B=,tan B=,代入 atan B=5 可得 a= .

2.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为( )

A.

B.5

C.

D.5

解析在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠ADC=

=-,所以∠ADC=120°,则∠

ADB=60°.在△ABD 中,由正弦定理,得 AB=

.

答案 C

3.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=(b+c)cos C,则△ABC 的形状是( )

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.直角三角形

D.锐角三角形

解析由已知及正弦定理,得 sin A=(sin B+sin C)cos C,

即 sin(B+C)=(sin B+sin C)cos C,

所以 sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos C,

所以 cos Bsin C=sin Ccos C.因为 sin C≠0,所以 cos B=cos C,故必有 B=C,从而△ABC 是

等腰三角形.

答案 A

4.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 cos 2C=1- ,则角 B 等于( )

A.

B.

C.

D.

解析由 cos 2C=1- 结合正弦定理,得 1-2sin2C=1- ,于是 sin2B=,从而 sin B= .因为

△ABC 是锐角三角形,所以 B= . 答案 A 5.(2017·云南昆明一中月考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,C=60°,c= ,则

=

.

解析由正弦定理,得

,即 a=2sin A,



=

=

=4.

答案 4 6.(2017·天津一中模拟)在△ABC 中,设 a,b,c 分别是角 A,B,C 所对边的边长,若 sin

A=2 cos2 ,bcos C=3ccos B,则=

.

解析由 sin A=2 cos2 ,得 2sin cos =2 cos2 ,即 tan

,所以 A= .由 bcos

C=3ccos B,得 b·

=3c·

,整理,得 a2=2b2-2c2.又 a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc,

所以 2b2-2c2=b2+c2+bc,所以

-3=0,解得

(舍去),所以

.

答案 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin C=msin A(m∈R),且 a2-4bc=0. (1)当 a=2,m=时,求 b,c 的值; (2)若角 A 为锐角,求 m 的取值范围. 解由题意并结合正弦定理,得 b+c=ma,a2-4bc=0. (1)当 a=2,m=时,b+c=,bc=1.
解得

(2)∵cos A=

=2m2-3∈(0,1),∴<m2<2.

由 b+c=ma,得 m>0,故 <m< .

8.

导学号 04994008 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为

a,b,c,a=2bsin A.

(1)求 B 的大小;

(2)求 cos A+sin C 的取值范围.

解(1)∵a=2bsin A,根据正弦定理,得 sin A=2sin Bsin A,∴sin B=.又△ABC 为锐角三角形,

∴B= .

(2)∵B= ,∴cos A+sin C=cos A+sin

=cos A+sin

=cos A+cos A+ sin

A= sin

.由△ABC 为锐角三角形,得 A+B> ,∴ <A< ,∴ <A+

,∴

<sin

,∴

sin

,∴cos A+sin C 的取值范围为

.


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