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2015.5四校联考题理数答案A卷


2015 届 高 三 年 级 第 四 次 四 校 联 考

数 学 试 题 答 案 ( 理 ) A、 B 卷
一、选择题

(A 卷)

1-5: DDCAC 1-5: DBCDC

6-10: CBADB 6-10: CBADB

11-12: 11-12:

BA BB

(B 卷)
二、填空题: 13.-20

14.9

15.

15 4

16. ?

1 2

17.解: (1)公差 d ?

?

?
2

?? 2

cos xdx ? 2 ,

2 2 a4 ? a2 ? (a4 ? a2 )(a4 ? a2 ) ? 2a3 ? 2d ? 56 ∴ a1 ? 2d ? 7 ∴ a1 ? 3 ∴ an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 设等比数列 {bn } 的公比为 q 3 ∵ b2 b4 b6 ? b4 ? 512

a3 ? 7

………2 分 ………4 分

∴ b4 ? 8

即 b1 q ? 8
3

∴q ? 2 ………6 分

即 bn ? b1q n?1 ? 2 n?1 (2)由 a1 ? 3, an ? 2n ? 1 得: S n ? n(n ? 2)

1 ? 2 ?1 , n为奇数 , n为奇数 ? ? ? ∴ c n ? ? n(n ? 2) 即 cn ? ? n n ? 2 ………8 分 n ?1 n ? 1 ? ? ? 2 , n为偶数 ?2 , n为偶数 ∴ c1 ? c2 ? c3 ? ?c2n = (c1 ? c3 ? ?c2n?1 ) ? (c2 ? c4 ? ?c2n ) ………10 分 1 1 1 1 1 ? )] ? (2 ? 2 3 ? ? 2 2 n ?1 ) = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 2(1 ? 4 n ) 2n 2 ? ? ? (4 n ? 1) =1 ? ………12 分 2n ? 1 1? 4 2n ? 1 3 18.(1)连结 AF ,∵ F 是等腰直角三角形 ?ABC 斜边 BC 的中点,∴ AF ? BC . 又? 三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱, ∴面 ABC ? 面 BB1C1C ,
∴ AF ? 面 BB1C1C , AF ? B1F . 设 AB ? AA 1 ? 1 ,则 B1 F ? ……… 2 分

6 3 3 , EF ? , B1E ? . 2 2 2
第 1 页 共 6 页

2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷

∴ B1F 2 ? EF 2 ? B1E 2 ,∴ B1F ? EF . 又 AF

………4 分 ………6 分

EF ? F ,∴ B1F ? 平面 AEF .

(2)以 F 为坐标原点, FA, FB 分别为 x, y 轴建立直角坐标系如图,设 AB ? AA 1 ?1 , 则 F (0, 0, 0), A(

2 2 2 1 , 0, 0), B1 (0, ,1), E (0, ? , ), 2 2 2 2 2 2 1 2 2 AE ? (? ,? , ) , AB1 ? (? , ,1) . 2 2 2 2 2

z C1 A1 E C B F y B1

………8 分 由(Ⅰ)知, B1F ? 平面 AEF ,

2 ∴可取平面 AEF 的法向量 m ? FB1 ? (0, ,1) . 2 设平面 B1 AE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,


? ?n ? ?n ?

? ?? AE ? 0, ? ?? AB1 ? 0 ? ? ? ?

2 2 1 A x? y ? z ? 0, ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, x 2 2 2 ?? 2 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? x? y ?z?0 2 2
………10 分

∴可取 n ? (3, ?1, 2 2) . 设锐二面角 B1 ? AE ? F 的大小为 ? ,则

2 2 2 ) ? 1 ? 32 ? (?1) 2 ? (2 2) 2 2 6 ∴所求锐二面角 B1 ? AE ? F 的余弦值为 . ………12 分 6 02 ? ( ?
随机变量 X 可以取:4000,3000.,2200 P(X=4000)=0.6×0.5=0.3 P(X=2200)=0.4×0.5=0.2 ………4 分 4000 0.3 3000 0.5 2200 0.2 ………6 分 ………8 分 ………1 分

mn cos ? ?| cos ? m, n ?|? ? | m || n |

0?3 ?

2 ? (?1) ? 1? 2 2 2

?

6 . 6

19.解: (1)∵500×10-1000=4000,400×10-1000=500×8-1000=3000,400×8-1000=2200

P(X=3000)=0.6×0.5+0.4×0.5=0.5 ∴X 的分布列为: X P

EX=4000×0.3+3000×0.5+2200×0.2=3140 (2) 由(1)知:该厂生产 1 天利润不少于 3000 的概率为:P=0.8 ∴ Y ~ B(3,0.8)
2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷 第 2 页 共 6 页

∴EY=3=2.4 DY=3×0.8×0.2=0.48 至少有 2 天利润不少于 3000 的概率为:
3 2 P ? C3 ? 0.83 ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.896

………10 分 ………12 分
2

20.解: (1)由已知:直线 m 的方程为 y ? x ? 1 ,代入 y ? 2 px 得: x 2 ? 2(1 ? p) x ? 1 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? 2(1? p),

| AB |? x1 ? x2 ? p ? 3 p ? 2 且线段 AB 的中点为 (1 ? p, p) , ………3 分 3p ? 2 2 2 2 ( 7) ? ( 1 ? p) ?( ) , 由已知 2 14 解得 p ? 2 或 p ? ? (舍去) 5 所以抛物线 C 的方程为: y 2 ? 4 x ………6 分 2 2 (2)设直线 l :y=kx+2(k ? 0),则 D(? ,0) ,与 y ? 4 x. 联立得 k k 2 x 2 ? 4(k ?1) x ? 4 ? 0 1 由 ? ? 0 得 k ? ,设 F ( x3 , y3 ),G( x4 , y4 ) 2 4 - 4k 2 4 x ? x ? , x3 x 4 ? 2 则 3 ………8 分 4 2 k k 2 PF ? ?1 FD ? ( x3 , y 3 ? 2) ? ?1 (? ? x3 ,? y 3 ); k 2 PG ? ? 2 GD ? ( x 4 , y 4 ? 2) ? ? 2 (? ? x 4 ,? y 4 ); k x3 kx3 kx4 ?? , ?2 ? ? 所以 ?1 ? ………10 分 2 kx3 ? 2 kx4 ? 2 ? ? x3 k kx3 2k 2 x3 x4 ? 2k ( x3 ? x4 ) kx4 则 ?1 ? ?2 ? ? ? ?? 2 kx3 ? 2 kx4 ? 2 k x3 x4 ? 2k ( x3 ? x4) ?4
4 - 4k 2 4 , x3 x4 ? 2 代入上式得 ?1 ? ?2 ? ?1. 将 x3 ? x 4 ? 2 k k 即 ?1 ? ?2 为定值 ? 1 1 3 ?1, 21.解: (1)由已知 f ( x) ? ln x ? x ? 4 4x 1 1 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 则 f ' ( x) ? ? ? 2 x 4 4x 4x 2 所以当 x ? (0,1) 和 x ? (3,??) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? (0, 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 1,) 3 所以当 x ? 1 时, f ( x) 有极小值为 , 2
2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷

………12 分

………1 分

………2 分

第 3 页 共 6 页

当 x ? 3 时, f ( x) 有极大值为 ln 3 ?

1 . 2

………4 分

(2)由已知 f ' ( x) ?

1 1? a ?a? 2 ? ? x x

a( x ? 1)(x ? x2

1? a ) a .

( , ) 时, ①当 a?

1 1 3 2

1? a 1 ? 2a 1? a ?1 ? ? 0 , 于 是 x ? (0,1) 和 x ? ( , ??) 时 , a a a

f '( x) ? 0, f ( x ) 单 调 递 减 ; x ? (1,

1? a ) 时 , f '( x) ? 0, f ( x ) 单 调 递 增 ; 又 因 为 a

1? a ? 2 ,要对任意实数 b ? [2,3] ,当 x ? (0, b] 时,函数 f ( x) 的最小值为 f (b) ,只需 a
要 f (2) ? f (1) , 即 ln 2 ? 2a ? 所以 2 ln 2 ? 1 ? a ?

1? a 1 ? 1 ? 2 ? 2a , 解得 a ? 2 ln 2 ? 1 , 因为 ? 2 ln 2 ? 1 2 2
………7 分

1 ; 2

1 1? a ②当 a ? 时, ? 1 , f '( x) ? 2 a

1 ? ( x ? 1) 2 2 ,在 x ? (0, ??) 上,恒有 f '( x) ? 0 ,且 x2
………8 分

仅有 f '(1) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.显然成立.

③当

1 1? a 1? a 1 ? 2a 1? a 于是 x ? (0, ? a ? 1 时, ? 0, ?1 ? ?0 , ) 和 x ? (1, ??) 时, 2 a a a a

1? a ,1) 时, f '( x) ? 0, f ( x) 单调递增; f '( x) ? 0, f ( x) 单调递减; x ? ( a
要 对 任 意 实 数 b ? [2,3] , 当 x ? (0, b] 时 , 函 数 f ( x) 的 最 小 值 为 f (b) , 只 需 要

1? a 1? a 1? a 即 ln f (2) ? f ( ), ? (1 ? a ) ? a ? 1 ? ?2a ? ln ? 4a ? 2 ? 0; a a a

……10 分

1 (2a ? 1) 2 1? a 1 ?4? ? 0 ,所以 g (a ) 令 g (a ) ? ln ? 4a ? 2, a ? ( ,1) , g '(a ) ? a (a ? 1) a (a ? 1) a 2

2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷

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在 ( ,1) 上单调递减, g (a ) ? g ( ) ? 0 ,所以此时 a ? ( ,1)

1 2

1 2

1 2

综上所述: a ? [2 ln 2 ? 1,1) 22.解:(1)∵ PA 是切线,AB 是弦, ∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED. (2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴

………12 分

………2 分

………5 分

PC CA ? , PA AB

………7 分

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180° , ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90° , ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180° -90° =90° , ∴ ∠C=∠APC=∠BAP= 在 Rt△ABC 中,

1 × 90° =30° . 3
………10 分 ………2 分

CA PC CA ? = 3,∴ = 3. AB PA AB x2 ? y2 ? 1 23.解:(1)曲线 C 的直角坐标方程为 4
直线 l 的直角坐标方程为 4x-3y+12=0 则其极坐标方程为 4? cos? ? 3? sin ? ? 12 ? 0 (2) 设P(2 cos? , sin ? ), 直线l为4 x ? 3 y ? 12 ? 0 则d ?

………5 分

8 cos? ? 3 sin ? ? 12

5 5 12 ? 73 12 ? 73 所以最大值为 ,最小值为 。 5 5 24.解: (1)不等式 m ? | x ? 2 |? 1 可化为 | x ? 2 |? m ? 1
2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷

?

73 cos(? ? ? ) ? 12

………10 分 ………1 分

第 5 页 共 6 页

所以 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1

…………2 分

又因为原不等式解集为 [0, 4] ,所以 ?

?3 ? m ? 0 ,解得 m ? 3 . ?m ? 1 ? 4

…………5 分

(2)由(1)可知 a ? b ? 3 (方法一:利用基本不等式)

因为 (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? 2(a ? b ) ,所以 a 2 ? b 2 ?
2 2 2 2 2

9 2

………8 分

所以当且仅当 a ? b ?

3 9 时, a 2 ? b 2 的最小值是 . 2 2

………10 分

(方法二:利用柯西不等式)

因为 (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? ( a ? 1 ? b ? 1) ? ( a ? b) ? 9 ,所以 a 2 ? b 2 ?
2 2 2 2 2 2

9 ………10 分 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) 因为 a ? b ? 3 ,

所以 b ? 3 ? a, a 2 ? b 2 ? a 2 ? (3 ? a ) 2 ? 2a 2 ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) 2 ?

3 2

9 9 ? ,………8 分 2 2

所以当且仅当 a ? b ?

3 9 时, a 2 ? b 2 的最小值是 . 2 2

………10 分

2015 届第四次四校联考数学(理)试题 A 卷

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