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高二数学椭圆试题 (2)


高二数学椭圆试题 一:选择题 1.已知方程 A.m>2 或 m<﹣1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( B.m>﹣2 C.﹣1<m<2 )

D.m>2 或﹣2<m< ﹣1

解:椭圆的焦点在 x 轴上 2 2 ∴m >2+m,即 m ﹣2﹣m>0 解得 m>2 或 m<﹣1 又∵2+m>0 ∴m>﹣2 ∴m 的取值范围:m>2 或﹣2<m<﹣1 故选 D 2.已知椭圆 A.4 B.5 ,长轴在 y 轴上、若焦距为 4,则 m 等于( C .7 D.8 )

解:将椭圆的方程转化为标准形式为 显然 m﹣2>10﹣m,即 m>6, ,解得 m=8 故选 D 3.椭圆(1﹣m)x ﹣my =1 的长轴长是( A. B.
2 2



?2 ?m m
2 2

) C.

2 m m

D.

? 2 1? m 1? m

解:由椭圆(1﹣m)x ﹣my =1,化成标准方程: 由于

, ∴椭圆(1﹣m)x ﹣my =1 的长轴长是 2a=2 故选 B.
2 2

=



4. 已知点 F1、 F2 分别是椭圆

+

=1 (k>﹣1) 的左、 右焦点, 弦 AB 过点 F1, 若△ ABF2 ) C. D.

的周长为 8,则椭圆的离心率为( A. B.

解:由椭圆定义有 4a=8 2 ∴a=2,所以 k+2=a =4 ∴k=2. 从而 b =k+1=3,c =a ﹣b =1,所以
2 2 2 2



故选 A 5. 已知△ ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, ﹣4) , C (0, 4) , 则顶点 A 的轨迹方程是 ( A. B. (x≠0) C. (x≠0) D. (x≠0) (x≠0)



解:∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) , ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4 ∴b =20, ∴椭圆的方程是 故选 B. 6.方程 A. B. =10,化简的结果是( C. ) D.
2

解:根据两点间的距离公式可得: 表示点 P(x,y)与点 F1(2,0)的距离, 点 P(x,y)与点 F2(﹣2,0)的距离, 所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10, 因为|F1F2|=2<10, 表示

所以由椭圆的定义可得:点 P 的轨迹是椭圆,并且 a=5,c=2, 所以 b =21. 所以椭圆的方程为: 故选 D. 7.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ F1PF2 为等 腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. .
2

解:设点 P 在 x 轴上方,坐标为 ∵△F1PF2 为等腰直角三角形 ∴|PF2|=|F1F2|,即 故椭圆的离心率 e= 故选 D 8.从椭圆 ,即



上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与

x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点) ,则该椭 圆的离心率是( ) A. B. C. D.

解:依题意,设 P(﹣c,y0) (y0>0) , 则 + =1,

∴y0=

, ) ,

∴P(﹣c,

又 A(a,0) ,B(0,b) ,AB∥OP, ∴kAB=kOP,即 ∴b=c. 设该椭圆的离心率为 e,则 e =
2

=

=



=

=

= ,

∴椭圆的离心率 e= 故选 C. 9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 的最大值为( A.2 ) B.3



的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则

C .6

D.8

解: 由题意, F (﹣1, 0) , 设点 P (x0, y0) , 则有 因为 所以 = 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=﹣2, 因为﹣2≤x0≤2,所以当 x0=2 时, 故选 C. 10.椭圆 取得最大值 , ,

, 解得



=





顶点 A(a,0) ,B(0,b) ,若右焦点 F 到直线 AB 的距

离等于 A.

,则椭圆的离心率 e=( B.

) C. D.

解:由题意可得直线 AB 的方程为 ∴F(c,0)到直线 AB 的距离 d=

即 bx+ay﹣ab=0,F(c,0) = ,|AF|=a﹣c

则 ∴a =3b 2 2 2 ∴a =3a ﹣3c 2 2 即 3c =2a ∴ 故选 B =
2 2

11.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,P 为椭圆上的一点,且|PF1||PF2|
2 2

的最大值的取值范围是[2c ,3c ],其中 c= A. [ , ] B. [ ,1)
2

.则椭圆的离心率的取值范围为( ) C. [ ,1) D. [ , ]

解:∵|PF1|?|PF2|的最大值=a , 2 2 2 ∴由题意知 2c ≤a ≤3c , ∴ , ∴ 故选 A. 12.在椭圆 圆离心率的取值范围是( A. B. ) C. D. 中,F1,F2 分别是其左右焦点,若|PF1|=2|PF2|,则该椭 .故椭圆 m 的离心率 e 的取值范围 .

解:根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,将设|PF1|=2|PF2|代入得 根据椭圆的几何性质,|PF2|≥a﹣c,故 ,故 ,即 ,又 e<1, . ,即 a≤3c



故该椭圆离心率的取值范围是 故选 B. 二:填空题

13.已知 F1、F2 是椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 3 .

.若△ PF1F2 的面积为 9,则 b=

解:由题意知△ PF1F2 的面积= ∴b=3, 故答案为 3. 14.若方程



表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 4<k<7 .

解:∵

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,

∴k﹣1>7﹣k>0. ∴4<k<7. 故 k 的取值范围是 4<k<7. 故答案为:4<k<7. 15.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ ABC 顶点 A(﹣4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭圆 上,则 = .

解:利用椭圆定义得 a+c=2×5=10b=2×4=8 由正弦定理得 故答案为 x2 y2 16.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点 P 使 a b a c = ,则椭圆的离心率的取值范围为______. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 依题意及正弦定理, |PF2| a 得 = (注意到 P 不与 F1F2 共线), |PF1| c |PF2| a 即 = , 2a-|PF2| c ∴ 2a c 2a c 2a -1= ,∴ = +1> , |PF2| a |PF2| a a+c =

2 即 e+1> ,∴(e+1)2>2. 1+e

又 0<e<1,因此 2-1<e<1. 三:解答题 17.已知 F1,F2 为椭圆 (1)求|PF1|?|PF2|的最大值; (2)若∠F1PF2=60°且△ F1PF2 的面积为 ,求 b 的值. 的左、右焦点,P 是椭圆上一点.

解: (1)∵P 点在椭圆上,∴|PF1|+|PF2|=|2a=20, ∵|PF1|>0,|PF2|>0,∴|PF1|?|PF2|≤ ∴|PF1|?|PF2|有最大值 100. (2)∵a=10,|F1F2|=2c. 设|PF1|=t1,|PF2|=t2, 则根据椭圆的定义可得:t1+t2=20①, 在△ F1PF2 中,∠F1PF2=60°, 2 2 2 所以根据余弦定理可得:t1 +t2 ﹣2t1t2?cos60°=4c ②, 2 2 由① ﹣②得 3t1?t2=400﹣4c , 所以由正弦定理可得: = 所以 c=6, ∴b=8. 18.如图,F1、F2 分别是椭圆 C: (a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶点, . =100,

B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ AF1B 的面积为 40 ,求 a,b 的值.

解: (Ⅰ)∠F1AF2=60°?a=2c?e= = . (Ⅱ)设|BF2|=m,则|BF1|=2a﹣m, 2 2 2 在三角形 BF1F2 中,|BF1| =|BF2| +|F1F2| ﹣2|BF2||F1F2|cos120°

?(2a﹣m) =m +a +am.?m= △ AF1B 面积 S= |BA||F1F2|sin60° ? ?a=10, ∴c=5,b=5 =40

2

2

2





19.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离 等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

解: (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为

(a>0,b>0) ,且可知左焦点为

F(﹣2,0) ,从而有
2 2 2 2

,解得 c=2,a=4,

又 a =b +c ,所以 b =12,故椭圆 C 的方程为 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x+t,





得 3x +3tx+t ﹣12=0,
2 2

2

2

因为直线 l 与椭圆有公共点, 所以有△ = (3t) ﹣4×3 (t ﹣12) ≥0, 解得﹣4 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 4= ?[﹣4 ,从而 t=±2 ,

≤t≤4



由于±2

,4

],所以符合题意的直线 l 不存在. 的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线

20.设 F1,F2 分别是椭圆

? 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.

(1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,﹣1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程 解: (I)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,又 2|AB|=|AF2|+|BF2|, 得 l 的方程为 y=x+c,其中 .

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A、B 两点坐标满足方程组
2 2 2 2 2 2 2

化简的(a +b )x +2a cx+a (c ﹣b )=0 则

因为直线 AB 斜率为 1,得

,故 a =2b

2

2

所以 E 的离心率

(II) 设 AB 的中点为 N (x0, y0) , 由 (I) 知 由|PA|=|PB|,得 kPN=﹣1, 即 得 c=3,从而 故椭圆 E 的方程为 .





21.设椭圆

的左焦点为 F,离心率为

,过点 F 且与 x 轴垂直的直

线被椭圆截得的线段长为



(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A,B 分别为椭圆的左,右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C,D 两 点.若 ,求 k 的值.

解: (I)根据椭圆方程为



∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 ∴ = , ,∴ = , . ;



∵离心率为 解得 b=

,c=1,a=

∴椭圆的方程为

(II)直线 CD:y=k(x+1) , 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 由 消去 y 得, (2+3k )x +6kx+3k ﹣6=0,
2 2 2

∴x1+x2=﹣

,x1x2=

,又 A(﹣

,0) ,B(

,0) ,

∴ =(x1﹣ ,y1)?( ﹣x2.﹣y2)+(x2+ 2 2 2 =6﹣(2+2k )x1x2﹣2k (x1+x2)﹣2k , =6+ =8,解得 k= . ,y2)?( ﹣x1.﹣y1)

22.设椭圆 E:

,O 为坐标原点

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒在两个交点 A,B 且 ?若存在,写出该圆的方程,关求|AB|的取值范围;若不存在,说明理由.

解: (1)因为椭圆 E: 过 M(2, ) ,N(

(a,b>0) ,1)两点,

所以

解得

所以

椭圆 E 的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,


2

,设该圆的切线方程为 y=kx+m 解方程组
2 2 2 2

得 x +2(kx+m) =8,即(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0, 2 2 2 2 2 2 则△ =16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣8)=8(8k ﹣m +4)>0,

即 8k ﹣m +4>0

2

2



要使



需使 x1x2+y1y2=0, 即 ,

所以 3m ﹣8k ﹣8=0,所以

2

2

又 8k ﹣m +4>0,

2

2

所以

,所以









因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 ,



,所求的圆为 此时圆的切线 y=kx+m 都满足

, 或 ,

而当切线的斜率不存在时切线为 存在圆心在原点的圆 ,

与椭圆

的两个交点为



使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且



因为



所以



① 当 k≠ 0 时

因为

所以



所以



所以 2 当 k=0 时,

当且仅当

时取”=”.

23.已知直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆

的左顶点 A 和上顶点 D,椭

圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 分别交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值; (3) 当线段 MN 的长度最小时, 在椭圆 C 上是否存在这样的点 T, 使得△ TSB 的面积为 ? 若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由.

解: (1)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(﹣2,0) , 上顶点为 D(0,1) ,∴a=2,b=1 故椭圆 C 的方程为 (4 分)

(2)依题意,直线 AS 的斜率 k 存在,且 k>0,故可设直线 AS 的方程为 y=k(x+2) ,
2 2 2 2

从而

,由

得(1+4k )x +16k x+16k ﹣4=0

设 S(x1,y1) ,则



,从而



, (6 分)

又 B(2,0)由





∴ 故 又 k>0, ∴ ∴

, (8 分)

当且仅当

, 即

时等号成立.

时,线段 MN 的长度取最小值 (10 分)

(2)另解:设 S(xs,yS) , 线斜率存在, 由 kAM=kAS,可得

依题意,A,S,M 三点共线,且所在直

同理可得:



所以,

=

不仿设 yM>0,yN<

0 号, 即 时,线段 MN 的长度取最小值 .

当且仅当 yM=﹣yN 时取等

(3)由(2)可知,当 MN 取最小值时, 此时 BS 的方程为 ,∴ (11 分) ,

要使椭圆 C 上存在点 T, 使得△ TSB 的面积等于 , 只须 T 到直线 BS 的距离等于 所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 设直线 l':x+y+t=0,则由 的直线 l'上. 或 . ,此时点 T 有两个满足条

,解得

又因为 T 为直线 l'与椭圆 C 的交点,所以经检验得 件. (14 分)


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