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简单的三角恒等变换


课 题: 简单的三角恒等变换 教学内容: 简单的三角恒等变换 教学目的: 推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和
差化积公式.并能利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.

教学重点: 半角公式、积化和差、和差化积公式的推导. 教学难点: 认识三角变换的特点,并能利用公式进行简单的恒等变形. 教学过程: 一、课前复习
教学分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得 到延伸. 三角恒等变换不同于代数变换, 后者往往着眼于式子结构形式的变换, 变换内容比较单一.而对于三角 变换,不仅要考虑三角函数是结构方面的差异,还要考虑三角函数式所包含的角,以及这些角的三角函数 种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个 切入点,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形,是三角恒等变换的重要特点.

二、讲解新课
提出问题 对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及 这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这 是三角式恒等变换的重要特点. 引入新课 试用 cos? 表示 sin 2 知识点 1

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2

?
2



半角的正弦、余弦、正切公式

∵ cos ? ? 1 ? 2sin 2

?
2

,∴ sin 2

?
2

?

1 ? cos ? ? ? 1 ? cos? ;∵ cos ? ? 2cos 2 ? 1 ,∴ cos2 ? . 2 2 2 2

tan

2?

2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2

sin 2

?

∴ sin

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos ? ; cos ? ? ; tan ? ? 2 2 2 2 1 ? cos ?

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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指出: (1)在半角的三角公式中,是统一用单角的余弦(cosα)去表示 sin 公式的“±”号,由

? 所在象限的函数值符号确定。 2 ? 1 ? cos? sin? (2)半角正切的有理式为:tan = ,此公式的特点是不含根号,但要用单角的 ? sin? 1 ? cos? 2 ? ? 正、余弦来表示 tan ,注意此时 tan 的符号已包含在公式的运算结果之中了。一般地,求值时,两个 2 2
公式可选择地用(计算量相差不大) ,但一般涉及证明时,通常是用半角正切的有理式。 (3)升(降)幂公式: sin
2

? ? ? 、cos 、tan 的, 2 2 2

??

1 ? cos2? 1 ? cos2? 2 ; cos ? ? 1+cos2α=2cos2α; 2 2
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1

1-cos2α=2sin2α。在升幂(亦即化积公式)公式中,注意公式特点:幂升上去,角半下来;在降幂公式中, 公式的特点是:幂降下来,角倍上去。 (4)万能置换公式: sin ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2 ; cos ? ?
2

1 ? tan 2 1 ? tan
2

? ?
2 ; tan ? ? 2

2 tan 1 ? tan

?
2
2

?

?
2

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万能置换公式的

2

特点是可以用半角

? ? 的正切(tan )去表示单角 α 的六个三角函数。 它的重要作用是消元或统一函数名称。 2 2
b a 2 ? b2 ,cos ? ? a a 2 ? b2

(5)辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ,? 由 sin ? ? 确定。

三、典例解析
例1 求证: (1) sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? ; ? 2?

(2) sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



证:想到 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式,sinαcosβ,cosαsinβ 分别看成两个 未知数.二元方程要求得确定解, 必须有 2 个方程, 这就促使学生考虑还有没有其他包含 sinαcosβ 的公式, 列出 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 后,解相应的以 sinαcosβ,cosαsinβ 为未知数的二元一次方程组,就容 易得到所需要的结果. 由(1)得到以和的形式表示的积的形式后,解决它的反问题,即用积的形式表示和的形式,在思路 和方法上都与(1)没有什么区别.只需做个变换,令 α+β=θ,α-β=φ,则 α= 即得(2)式. (1)∵ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . 两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ,即 sin ? cos ? ?

? ??
2

,β=

? ??
2

,代入(1)式

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? ; ? 2?

(2)由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ①;设 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , 那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2

.把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



指出: 同理可得:(统称为:和差化积,积化和差公式)

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos? cos ? ? [cos( ? ? ) ? cos(? ? ? )] ? 2 sin ? ? sin ? ? 2 sin

1 cos? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ) ? cos(? ? ? )] ? 2 sin ? ? sin ? ? 2 cos cos? ? cos ? ? 2 sin

? ??
2 2

? cos

? ??
2

? ??
2

? sin ? sin

? ??
2

cos? ? cos ? ? 2 cos
例2

? ??

? cos

? ??
2

? ??
2

? ??
2

求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值.
2

解: ∵ y ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin x ? 为 2,最小值为 ?2 . 指出: 函数 y=asinx+bcosx= a ? b (
2 2

?1 ?2 ?

? 3 ?? 2? ? cos x ? ? 2sin ? x ? ? ,∴周期 T ? ? 2? ,最大值 ? 2 3? ? ? ?

a a ?b
2 2

sin x ?

b a ? b2
2

cosx),

∵( (

a a ?b
2 2

)2 ? (

b a ?b
2
2

2

) 2 ? 1从而可令

a a ?b
2 2

? cos?,
2 2

b a ?b
2 2

? sin φ,

则有 asinx+bcosx= a ? b (sinxcosφ+cosxsinφ)= a ? b sin(x+φ).因此,我们有如下结论:
2

asinx+bcosx= a ? b sin(x+φ) ,其中 tanφ=
2 2

b . a

本题使三角函数中对函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 的性质研究得到延伸,体现了三角变换在化简三角函数 式中的作用. 例 3 证明:

x ? x ? ? ) sin cos ? cos sin ? x 2 2 ? 4 2 4 解:从右边入手,切化弦,得 tan( + )= 4 2 cos( ? ? x ) cos ? cos x ? sin ? sin 4 2 2 2 2 x x (cos ? sin ) 2 1 ? sin x x x 2 2 ? 分子分母同乘以 cos +sin ,得 . x x x x cos x 2 2 (cos ? sin )(cos ? sin ) 2 2 2 2 sin(
方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,得

1? sin x ? x = tan ( + ). cos x 4 2

?

x x cos ? sin 2 ? 2 x x cos ? sin 2 2

x 2, x 2

x x x (cos ? sin ) 2 cos ? sin 1 ? sin x 2 2 2 ? ? x x x x x cos x (cos ? sin )(cos ? sin ) cos ? sin 2 2 2 2 2 x ? x 1 ? tan tan ? tan 2 ? 4 2 =tan( ? + x ). x ? x 4 2 1 ? tan 1 ? tan tan 2 4 2

x 2 ,分子分母同除以 cos x ,得 x 2 2

指出: 三角恒等变换过程与方法: 实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换,即: (1)找差异:角、名、形的差别;(2)建立联系:角的和差关系、倍半关系等,名、形之间可以用 哪个公式联系起来;(3)变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式等. 化简: 要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函 数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求出值来; 求值: 要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根据三角函数值进 一步缩小角的范围。 证明: 是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行变换使其左右 相等。
3

cos 4 A sin 4 A cos 4 B sin 4 B ? ? 1, 求证 : ? ? 1. 例 4 已知 cos 2 B sin 2 B cos 2 A sin 2 A
证: ∵

cos 4 A sin 4 A ? ? 1 ,∴cos4A· 2B+sin4A· 2B=sin2B· sin cos cos+B. cos4A(1-cos2B)+sin4A· 2B cos 2 2 cos B sin B

=(1-cos2B)cos2B,即 cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.∴ cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0. ∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.∴

cos 4 B sin 4 B ? ? cos2B+sin2B=1. cos 2 A sin 2 A

cos 2 A sin 2 A ? cos a, 证明二: 令 =sinα,则 cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα. cos B sin B
两式相加,得 1=cosBcosα+sinBsinα,即 cos(B-α)=1.∴B-α=2kπ(k∈Z),即 B=2kπ+α(k∈Z). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B. ∴

cos 4 B sin 4 B cos 4 B sin 4 B ? ? ? =cos2B+sin2B=1. cos 2 A sin 2 A cos 2 B sin 2 B

指出:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理 消元. 例 5 已知 α,β∈(0,

解:3sin2α+2sin2β=1 ? 3sin2α=1-2sin2β,即 3sin2α=cos2β, 3sin2α-2sin2β=0 ? 3sinαcosα=sin2β, ②

? )且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求 α+2β 的值. 2


1 ? 1 .∵α∈(0, ),∴sinα= . 9 3 2 1 ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α) =3× =1. 3 ? 3? ? ∵α,β∈(0, ),∴α+2β∈(0, ).∴α+2β= . 2 2 2 3 解法二:3sin2α+2sin2β=1 ? cos2β=1-2sin2β=3sin2α, 3sin2α-2sin2β=0 ? sin2β= sin2α 2 ? =3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0. ∵α,β∈(0, ), 2 3? ? ∴α+2β∈(0, ).∴α+2β= . 2 2 3 ? 解法三: 由已知 3sin2α=cos2β, sin2α=sin2β,两式相除,得 tanα=cot2β, ∴tanα=tan( -2β). 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ∵α∈(0, ),∴tanα>0.∴tan( -2β)>0.又∵β∈(0, ), ∴ ? < -2β< .结合 tan( -2β)>0, 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 得 0< -2β< .∴由 tanα=tan( -2β),得 α= -2β, 即 α+2β= . 2 2 2 2 2 ? 例 6 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形. 3
①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即 9sin2α(sin2α+cos2α)=1,∴sin2α= 记∠COP=α,求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

4

解: 在 Rt△OBC 中,BC=cosα,BC=sinα,在 Rt△OAD 中,

DA =tan60° 3 , = OA

所以 OA=

3 3 3 3 DA= BC= sinα.所以 AB=OB-OA=cosα ? sinα. 3 3 3 3 3 3 2 sinα)sinα=sinαcosα ? sin α 3 3

设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=AB· BC=(cosα ?

=

3 3 1 3 3 1 3 1 1 ? ? sin2α+ cos2α= ( sin2α+ cos2α)= sin(2α+ ).由于 0<α< ,所以当 6 6 6 6 2 2 6 3 3 2 3
1 3 3 3 ? ? ? ? = ,即 α= 时,S 最大= = .因此,当 α= 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 . 6 6 6 2 6 6 3 6
例 7 如图的 Rt△ABC 中,∠A=90° 为斜边,∠B、∠C 的内角平分线 BD、CE 的长分别为 m、n,且 ,a

2α+

a2=2mn.问:是否能在区间(π,2π]中找到角 θ,恰使等式 cosθ-sinθ=4(cos 出这样的角 θ;若不能,请说明理由.

B?C B?C -cos )成立?若能,找 2 2

AB B AB =cos ,在 Rt△BAC 中, =sinC, m a 2 B C B C ∴mcos =asinC.同理,ncos =asinB.∴mncos cos =a2sinBsinC. 2 2 2 2 B C B B C C B C 1 而 a2=2mn,∴cos cos =2sinBsinC=8sin · cos cos sin .∴sin sin = . 2 2 2 2 2 2 2 2 8 B?C B?C B?C B?C 由积化和差,得 4(cos -cos )=-1,若存在 θ 使等式 cosθ-sinθ=4(cos -cos )成立,则 2 2 2 2
解:在 Rt△BAD 中,

2 cos(θ+

2 ? ? 5? ? 9? )=-1,∴cos(θ+ )= .π<θ≤2π,∴ <θ+ ≤ .∴这样的 θ 不存在. 2 4 4 4 4 2

四、课堂练习 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? 1. 求证: . ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? sin4? ? cos4? 证:原等式等价于 ? tan 2? . 1 ? sin4? ? cos4?
而上式左边=

2 sin 2? (cos 2? ? sin 2? ) sin4? ? (1 ? cos4? ) 2 sin2? cos2? ? 2 sin2 2? ? ? 2 sin4? ? (1 ? cos4? ) 2 sin2? cos2? ? 2 cos 2? 2 cos 2? (sin 2? ? cos 2? )

=tan2 ? 右边.∴上式成立,即原等式得证. 2. 已知 sinβ=m· sin(2α+β),求证:tan(α+β)=

证: 由 sinβ=msin(2α+β) ? sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α] ? sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα] ? (1-m)· sin(α+β)cosα=(1+m)· cos(α+β) sinα ? tan(α+β)=

1? m tanα. 1? m

1? m tanα. 1? m

五、备选习题
5

1. 化简:

1 ? sin x ? cos x .. 1 ? sin x ? cos x x x x x x x 2 sin 2 ? 2 sin cos 2 sin (sin ? cos ) 2 2 2 ? 2 2 2 =tan x . 解:原式= x x x x x x 2 2 cos 2 ? 2 sin cos 2 cos (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2

2. 化简:sin50° (1+ 3 tan10° ).?

1 3 2( cos10? ? sin10? ) 3 sin10 ? 2 2 1 ? sin 50 ? 解:原式=sin50° ? cos10? cos10?
?

=2sin50° ·

sin 30 ? cos10 ? ? cos 30 ? sin 10 ? sin 40 ? sin 80 ? cos10 ? ? ? =2cos40° · =1. cos10 ? cos10 ? cos10 ? cos10 ?

1 ,求 sin3x-cos3x 的值. 2 1 1 1 3 解: 由 sinx-cosx= ,得(sinx-cosx)2= ,即 1-2sinxcosx= ,∴sinxcosx= . 2 4 4 8 1 3 11 ∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)= (1+ )= . 2 8 16 1 1 4. 在锐角三角形 ABC 中,ABC 是它的三个内角,记 S= ,求证:S<1. ? 1 ? tan A 1 ? tan B
3. 已知 sinx-cosx= 证:∵S=

1 ? tan A ? 1 ? tan B 1 ? tan A ? tan B ? ,又 A+B>90° >A>90° ,90° -B>0° . (1 ? tan A)(1 ? tan B) 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B

∴tanA>tan(90° -B)=cotB>0,∴tanA· tanB>1.∴S<1.

sin( a ? ? ) sin( ? ? ? ) tan 2 ? ? 1? 5. 求证: sin 2 ? cos 2 ? tan 2 ?
证: 左边=

(sin cos ? ? cos ? sin ? )(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) sin 2 ? cos 2 ?

=

sin 2 a cos 2 ? ? cos 2 a sin 2 ? cos 2 a sin 2 ? tan 2 ? ? 1? ? 1? ? =右边.∴原式成立. sin 2 cos 2 ? sin 2 cos 2 ? tan 2 a cos 2 sin 2 ? sin 2 cos 2 ? ? cos 2 a sin 2 ? ? 证法二: 右边=1sin 2 cos 2 ? sin 2 a cos 2 ?

=

(sin a cos ? ? cos a sin ? )(sin a cos ? ? cos a sin ? ) sin( a ? ? ) sin( a ? ? ) = =左边.∴原式成立. sin 2 cos 2 ? sin 2 cos 2 ?

6. 已知函数 f(x)=cos2xcos(

? -2x),求 f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值. 3 1 ? ? 1 ? 1 ? 解:f(x)= [cos +cos(4x- )]= cos(4x- )+ ,由 2kπ≤4x- ≤2kπ+π(k∈Z),得原函数的单调 2 2 3 3 3 4 3
6

k? ? k? ? ? 3 + , + ](k∈Z),T= ,最大值是 . 2 12 2 3 4 2 3 9 3? 3? B B 7. 已知 sinA= ? ,cosB= ? ,A∈( ,2π),B∈(π, ),求 sin(2A- )的值,并判定 2A- 所在的象限. 5 41 2 2 2 2 4 24 7 3? B ? 3? 解:cosA= ,sin2A= ? ,cos2A=1-2sin2A= ,∵B∈(π, ),∴ ∈( , ). 5 25 25 2 2 2 4
递减区间是[ ∴sin

5 4 B B B = ,cos = ? .∴sin(2A- )=sin2 2 2 2 41 41

Acos

B B 61 41 -cos2Asin = . 2 2 1025

B B B B )=cos2Acos +sin2Asin <0,∴2A- 是第二象限角. 2 2 2 2 ? 8. 已知 f(0)=a,f( )=b,解函数方程:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)· cosy. 2
又 cos(2A-

解:分别取 ?

? x ? 0, ? y ? t.

? ? ?x ? 2 ? t, ? ? ?y ? ? . ? 2 ?

? ? ? ? f (t ) ? f (?t ) ? 2 f (0) ? cost , (1) ?x ? 2 , ? ? 代入方程 ? f (? ? t ) ? f (t ) ? 0, (2) ? ? ? y ? ? ? t. ? ? ? f (? ? t ) ? f (?t ) ? ?2 f ( ) ? sint , (3) 2 ? 2 ?

① -③ 2f(t)=2f(0)cost+2f( +② ,得

? ? )sint. ∵ f(0)=a,f( )=b,∴ f(x)=acosx+bsinx. 2 2

六、教学小结

7


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