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2016年安庆职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)

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2016 年安庆职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、填空题: 1、一人口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个。如果任 意取出 3 个小球,那么其中恰有 2 个小球同颜色的概率是 (用分数表示)。 2、某学校的某一专业从 8 名优秀毕业生中选派 5 名支援中国西部开发建设, 其中甲同 学必须被选派的概率是_ __.

3、将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排 2 名学生, 那么互不相同的分配方案共有_ __ 种. 4、若集合 A ? x 3 cos 2? x ? 3 x , x ? R , B ? y y 2 ? 1 , y ? R ,则 A ? B =. 5、不等式 ?1 ? x? 1 ? x ? 0 的解为。 6、设 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? log3 ?1 ? x ? ,则 f ?? 2? ? 。

?

?

?

?

?

?

1 的图像向左平移一个单位后得到 y ? f ?x ? 的图像,再将 y ? f ?x ? 的 x?a 图像绕原点旋转 180 ? 后仍与 y ? f ?x ?的图像重合,则 a ? 。
7 将函数 y ? 8、求 lim(
n ??

n ? 1 ?3n ?1 ) ? n ?1

9、若奇函数 y ? f ?x ??x ? 0?,当 x ? ?0,???时, f ?x ? ? x ? 1 ,则不等式 f ?x ? 1? ? 0 的解为。 10、函数 y ? f ( x ? 1) 的图象如图所示,它在 R 上单调递减,现有如下结论:

1 ⑴ f (0) ? 1 ;⑵ f ( ) ? 1 ;⑶ f ?1 (1) ? 0 ;⑷ f 2

?1

1 ( ) ?0。 2

x

其中正确的命题序号为______________.(写出所有正确命题序号) 二、选择题: 11、若函数 f ?x ? 、 g ?x ? 的定义域和值域都是 R ,则“ f ?x ? ? g ?x ?, x ? R ”成立的充 要条件是( )

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f ?x ? ? g ?x ?
(A)存在 x0 ? R ,使得 f ?x0 ? ? g ?x0 ? (B)有无数多个实数 x ,使得

(C)对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? 12、 在△ ABC 中,若 (A)直角三角形. (C)钝角三角形.

1 ? g ? x ? (D)不存在实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ? 2


a b c ,则△ ABC 是 ( ? ? cos A cos B cos C
(B)等边三角形. (D)等腰直角三角形.

13、若函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) 在区间 ? ? ?, ? 上是减函数,则 a 的取值范围可用区间表 2

? ?

a? ?

示为(



( A) (0,1) ;

( B ) (1,??) ;

(C ) (1,2 3) ;

( D) (0,1) ? (1,2 3) 。

14、如果 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的偶函数,且当 ? 3 ? x ? 0 时, f ( x) 的 图象如图所示,那么不等式 f ( x) ? sin x ? 0 的解集为( )

? ? ? ? ( A) ( ?3, ) ? ( ,3) ( B ) ( ? , ) 2 2 2 2 ? (C ) ( ?3,? ) ? (0,1) ( D) (?3,?1) ? (0,1) 2
三、解答题: 15、某市 2004 年底有住房面积 1200 万平方米,计划从 2005 年起,每年拆除 20 万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%. (1)分别求 2005 年底和 2006 年底的住房面积 ; (2)求 2024 年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到 0.01)

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16、已知: sin ? ?

4 ? 3? ? ? ,且 ? ? ( , ) 求 tg ( ? ) 的值。 5 2 2 2 4

17、命题甲: a ? R, 关于 x 的方程 | x |? ax ? 1(a ? 0) 有两个非零实数解; 命题乙: a ? R, 关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为空集; 当甲、乙 中有且仅有一个为真命题时, 求实数 a 的取值范围.

18、设 f ?x ? ?

ax ?1 ?a ? 0, a ? 1? 1? ax
?1

(1)求 f ?x ? 的反函数 f (2)讨论 f
?1

?x ? :

?x ? 在 ?1. ? ?? 上的单调性,并加以证明:

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(3)令 g ?x? ? 1 ? loga x ,当 ?m, n? ? ?1,????m ? n? 时, f 是 ?g ?n?, g ?m?? ,求 a 的取值范围。
?1

?x ? 在 ?m, n? 上的值域

19、如图,某小区有一块边长为 50 米的正方形空地 ABCD ,其中 CEF 是一个以 C 为圆心, r 为半径的扇形, E , F 分别在 BC, CD 上,在此拟建水池与人行道; ALMN 为一矩形, L, N 分别在 AB, AD 上, M 在弧 EF 上,在此拟建活动中心;其余部分为 绿化区域,设 ?MCD = ? ,绿化区域的面积为 S 。 (1)当 ? ?

?
6

时,求 S 关于 r 的函数解析式 S ? f (r ) ,并求当 S 取最大值时相应的

r 的值(精确到 0.001);
(2)当 r ? 40 米时,求 S 的最大值(精确到 0.001)。

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20、.数列{an}满足 an?3an?1?3n?1 (n?2),且 a3?95。 (1) 求 a1,a2; (2) 是否存在一个实数 t,使得 bn ?

1 (a n ? t ) (n?Z?),{bn}为等差数列。有,则 n 3

求出 t,并予以证明;没有,则说明理由; (3) 求数列{an}的前 n 项和 Sn。

21、已知函数 f ( x) ?

1 x ?4
2

....( x ? ?2)
-1

(1)求 f(x)的反函数 f (x); (2)设 a1 ? 1,
1 ? ? f ?1 (an ), 求a n an?1

(3)设 bn ? a n ?12 ? a n ?22 ? ? ? a 2n ?12 ,是否存在最小正整数 m,使对任意 n ? N ,都有 m bn ? 成立?若存在,求出 m 的值,若不存在说明理由。 25

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22、 已知 i , j 分别是与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量, OB1 ? a ? i ? 2 j (a ? R) , 对任意正整数 n, Bn Bn?1 ? 51? i ? 3 ? 2n?1 j 。
???? ? ????? ? (1)若 OB1 ? B2 B3 ,求 a 的值;

?

?

????

?

?

???????

?

?

(2)求向量 OBn ; (3)设向量 OBn ? X n ? i ? Yn ? j ,求最大整数 a 的值,使对任意正整数 n,都有 X n ? Yn 成 立。

???? ?

???? ?

?

?

参考答案

一、填空题: 1、一人口袋里装有大小相同的 6 个小球,其中红色、黄色、绿色的球各 2 个。如果任 意取出 3 个小球,那么其中恰有 2 个小球同颜色的概率是

3 (用分数表示)。 5

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2、某学校的某一专业从 8 名优秀毕业生中选派 5 名支援中国西部开发建设, 其中甲同学必须被选派的概
率是_

5 _. 8

3、将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排 2 名学生, 那么互不相同的分配方案共有 _112 __ 种. 4、若集合 A ? x 3 cos 2? x ? 3 x , x ? R , B ? y y 2 ? 1 , y ? R ,则 A ? B = ?1 ?.

?

?

?

?

5、不等式 ?1 ? x? 1 ? x ? 0 的解为 ?? ?,?1? ? ?? 1,1? 。 6、设 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x ? ? log3 ?1 ? x ? ,则 f ?? 2? ? ? 1 。

?

?

1 的图像向左平移一个单位后得到 y ? f ?x ? 的图像,再将 y ? f ?x ? 的 x?a 图像绕原点旋转 180 ? 后仍与 y ? f ?x ?的图像重合,则 a ? ? 1 。
7 将函数 y ? 8、求 lim(
n ??

n ? 1 ?3n ?1 ) ? e ?6 n ?1

9、若奇函数 y ? f ?x ??x ? 0?,当 x ? ?0,???时, f ?x ? ? x ? 1 ,则不等式 f ?x ? 1? ? 0 的解为

?? ?,0? ? ?1,2?



10、函数 y ? f ( x ? 1) 的图象如图所示,它在 R 上单调递减,现有如下结论: 1

1 ⑴ f (0) ? 1 ;⑵ f ( ) ? 1 ;⑶ f ?1 (1) ? 0 ;⑷ f 2 x

?1

1 ( ) ?0。 2

0 1

其中正确的命题序号为__⑵_⑶__⑷__.(写出所有正确命题序号)

二、选择题: 11、若函数 f ?x ? 、 g ?x ? 的定义域和值域都是 R ,则“ f ?x ? ? g ?x ?, x ? R ”成立的充 要条件是 ( D ) (B)有无数多个实数 x ,使得

f ?x ? ? g ?x ?

(A)存在 x0 ? R ,使得 f ?x0 ? ? g ?x0 ?

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(C)对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? 12、 在△ ABC 中,若 (A)直角三角形. (C)钝角三角形.

1 ? g ? x ? (D)不存在实数 x ,使得 f ?x ? ? g ?x ? 2


a b c ,则△ ABC 是 (B ? ? cos A cos B cos C
(B)等边三角形. (D)等腰直角三角形.

13、若函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3) 在区间 ? ? ?, ? 上是减函数,则 a 的取值范围可用区间表 2

? ?

a? ?

示为(

C)
( B ) (1,??) ; (C ) (1,2 3) ; ( D) (0,1) ? (1,2 3) 。

( A) (0,1) ;

14、如果 f ( x) 是定义在 (?3,3) 上的偶函数,且当 ? 3 ? x ? 0 时, f ( x) 的 图象如图所示,那么不等式 f ( x) ? sin x ? 0 的解集为( D )

? ? ? ? ( A) ( ?3, ) ? ( ,3) ( B ) ( ? , ) 2 2 2 2 ? (C ) ( ?3,? ) ? (0,1) ( D) (?3,?1) ? (0,1) 2
三、解答题: 15、某市 2004 年底有住房面积 1200 万平方米,计划从 2005 年起,每年拆除 20 万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%. (1)分别求 2005 年底和 2006 年底的住房面积 ; (2)求 2024 年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到 0.01) [解](1)2005 年底的住房面积为 1200(1 ? 5%) ? 20 ? 1240 (万平方米), 2006 年底的住房面积为 1200(1 ? 5%) 2 ? 20(1 ? 5%) ? 20 ? 1282 (万平方米) ∴ 2005 年底的住房面积为 1240 万平方米,2006 年底的住房面积约为 1282 万平 方米 (2)2024 年底的住房面积为

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1200(1 ? 5%) 20 ? 20(1 ? 5%)19 ? 20(1 ? 5%)18 ? ? ? 20(1 ? 5%) ? 20
? 1200(1 ? 5%) 20 ? 20 ? 1.05 20 ? 1 ? 2522.64 (万平方米) 0.05

∴ 2024 年底的住房面积约为 2522.64 万平方米.

16、已知: sin ? ?

4 ? ? ,求 tg ( ? ) 的值。 5 2 4

4 ? 1? 1 ? cos( ? ? ) 3 ? ? 5 ?1 2 ? 1 ? sin ? ? 解: cos ? ? ? , tg ( ? ) ? ? 3 5 2 4 ? cos ? 3 sin(? ? ) 2 5

18.命题甲: a ? R, 关于 x 的方程 | x |? ax ? 1(a ? 0) 有两个非零实数解; 命题乙: a ? R, 关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为空集; 当甲、乙 中有且仅有一个为真命题时, 求实数 a 的取值范围. 解:当甲真时,设 y ?| x | 和y ? ax ? 1 (a ? 0) ,即两函数图象有两个交点. 则0 ? a ?1

?a 2 ? 1 ? 0 7 当乙真时, a ? 1 时 满足 或 ? 也满足 则 ? ? a ? 1 9 ? ??0
a ? 1或a ? 0 ? ? ? 0 ? a ?1 7 ? ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时,即 ? 或? 7 a ? 1或a ? ? ? ? a ?1 ? ? 9 ? ? 9

∴ a ? [?

7 ,0] ? {1} 9

17、设 f ?x ? ?

ax ?1 ?a ? 0, a ? 1? 1? ax
?1

(1)求 f ?x ? 的反函数 f

?x ? :

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(2)讨论 f
?1

?x ? 在 ?1. ? ?? 上的单调性,并加以证明:
?1

(3)令 g ?x? ? 1 ? loga x ,当 ?m, n? ? ?1,????m ? n? 时, f 是 ?g ?n?, g ?m?? ,求 a 的取值范围。
?1

?x ? 在 ?m, n? 上的值域

解:(1) f

?x ? ? log a

x ?1 ?x ? 1orx ? ?1? x ?1

(2)设 1 ? x1 ? x2 ,∵

x1 ? 1 x2 ? 1 2?x1 ? x2 ? ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 ?x1 ? 1??x2 ? 1?
?1

∴ 0 ? a ? 1 时, f

?x1 ? ?

f ?1 ?x2 ?,∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上是减函数:

a ? 1 时, f

?1

?x1 ? ?
?1

f ?1 ?x2 ?,∴ f ?1 ?x ? 在 ?1. ? ?? 上是增函数。

(3)当 0 ? a ? 1 时,∵ f

?x ? 在 ?1. ? ?? 上是减函数
x ?1 x ?1 ? 1 ? log a x 得 ? ax ,即 ax2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 x ?1 x ?1

? ?f ∴? ? ?f

?1 ?1

?m ? ? g ?m ? ,由 log a ?n ? ? g ?n ?

? ?? ? 0 ? 可知方程的两个根均大于 1 ,即 ? f ?1? ? 0 ? 0 ? a ? 3 ? 2 2 ?1 ? a ? ?1 ? 2a
当 a ? 1 时,∵ f
?1

?x ? 在 ?1. ? ?? 上是增函数

? ?f ∴? ? ?f

?m ? ? g ?n ? ?m ? 1 ? am n? an ? a ? ?1 (舍去)。 ?? ?1 ?n ? ? g ?m ? ?n ? 1 ? am n? am
?1

综上,得 0 ? a ? 3 ? 2 2 。

18、(本题 14 分)如图,某小区有一块边长为 50 米的正方形空地 ABCD ,其中

CEF 是一个以 C 为圆心, r 为半径的扇形, E , F 分别在 BC, CD 上,在此拟建水池与
人行道; ALMN 为一矩形, L, N 分别在 AB, AD 上, M 在弧 EF 上,在此拟建活动中 心;其余部分为绿化区域,设 ?MCD = ? ,绿化区域的面积为 S 。

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(1)当 ? ?
到 0.001);

?
6

时,求 S 关于 r 的函数解析式 S

? f (r ) ,并求当 S 取最大值时相应的 r 的值(精确

(2)当 r ? 40 米时,求 S 的最大值(精确到 0.001)。 (1)解: S ? 2500 ? (50 ? r cos

?
6

)( 50 ? r sin

?

1 ) ? ?r 2 6 4

??

3 ?? 2 r ? 25( 3 ? 1)r , r ? (0,50] 4

S 取最大值时, r ? ?

b 50( 3 ? 1) ? ? 28.029(米)。 2a 3 ??
1 4

(2)解: S ? 2500? (50 ? 40cos? )(50 ? 40sin ? ) ? ? 40 2

? 2000 (sin? ? cos? ) ? 1600sin ? cos? ? 400 ?
令 t ? sin ? ? cos ? , t ? 1, 2 ,则 sin ? cos? ?

? ?

t 2 ?1 2

5 S ? ? 800 (t ? ) 2 ? 2050 ? 400? 4
5 t ? 时, S max ? 2050 ? 400? ? 793 .363 (平方米) 4

19、.数列{an}满足 an?3an?1?3n?1 (n?2),且 a3?95。 (1) 求 a1,a2; (2) 是否存在一个实数 t,使得 bn ?

1 (a n ? t ) (n?Z?),{bn}为等差数列。有,则 3n

求出 t,并予以证明;没有,则说明理由; (3) 求数列{an}的前 n 项和 Sn。 解: (1) a1?5,a2?23。

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(2) bn ?

1 1 1 (a n ? t ) 为等差数列,必须 b1 ? (t ? 5) , b2 ? (t ? 23) , n 3 9 3 1 1 1 ? 1? b3 ? (t ? 95) 成等差,得 t ? ? 。即 bn ? n ? a n ? ? ,当 n?1,2,3 成等 27 2 2? 3 ?

差。 下证此时 bn 对一切 n?Z?定成等差数列。

bn ? bn?1 ?
?当 t ? ?

1 3n

1? 1 ? 1? 1 ? ? an ? ? ? n?1 ? an?1 ? ? ? n 2? 3 ? 2? 3 ?

3? 1 ? 1? ? n ? 3an?1 ? 3 ? ? ? n?1 ? an?1 ? ? ? 1 2? 3 ? 2? ?

1 时,{bn}是公差为 1 的等差数列。 2

(3) b1 ?

2n ? 1 1? 1? 3 。 ? 5 ? ? ? ,? bn ? 2 3? 2? 2
1 [( 2n ? 1) ? 3 n ? 1] 2

由 a n ? 3 n ? bn ? t ? 得: S n ?

1 [3 ? 3 ? 5 ? 3 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 3 n ? n] 2 n n ?1 (3 ? 1) 。 2

错位相减,得 S n ?

20、已知函数 f ( x) ?

1 x2 ? 4

....( x ? ?2)
-1

(1)求 f(x)的反函数 f (x); (2)设 a1 ? 1,
1 ? ? f ?1 (an ), 求a n an?1

(3)设 bn ? a n ?12 ? a n ?22 ? ? ? a 2n ?12 ,是否存在最小正整数 m,使对任意 n ? N ,都有 m bn ? 成立?若存在,求出 m 的值,若不存在说明理由。 25

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22、已知 i , j 分别是与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量, OB 1 ? a ? i ? 2 j (a ? R) , 对任意正整数 n, Bn Bn?1 ? 51? i ? 3 ? 2n?1 j 。 (1)若 OB1 ? B2 B3 ,求 a 的值; (2)求向量 OBn ; (3)设向量 OBn ? X n ? i ? Yn ? j ,求最大整数 a 的值,使对任意正整数 n,都有 X n ? Yn 成 立。
???? ? ????? ?

???????

?

?

? ? ????? 4 解:(1) 由题意 B2 B3 ? 51i ? 6 j . ,所以 51a+12=0,解得 a ? ? 。 17
(2) OBn ? OB1 ? B1B2 ????? Bn?1Bn = a ? i ? 2 ? j ? 51(n ?1)i ? (3 ? 3? 2 ???? ? 3? 2n?2 ) j
???? ? ???? ????? ???????
? ? ? ?

? ? ? (51n ? a ? 51)i ? (3 ? 2n?1 ?1) j
(3) X n ? 51n ? a ? 51 , Yn ? 3 ? 2n?1 ?1,由 51n ? a ? 51 ? 3 ? 2n ?1 恒成立,得
a ? 3 ? 2n?1 ? 51n ? 50 恒成立,令 an ? 3 ? 2
n?1

? 51n ? 50 ,只需求数列 ?an ?的最小项。

由?

?an ? an ?1 得 6 ? n ? 6 ,即 n=6, a6 ? ?160 ,所以 a ? ?161 。 ?an ? an ?1


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