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高考数学 2.10 变化率与导数、导数的计算课件_图文

第十节 变化率与导数、导数的计算 【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数: ①定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 _?l_xim?_0_f_(_x_0_?_?_?x_x)_?_f_(_x_0_)_= lim ?y 为y=f(x)在x=x0处的导数,记作 ?x?0 ?x f′(x0)或 y? |x?x0 , 即f′(x0)= lim ?y lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) =__?x_?_0______?_x________. ?x?0 ?x ②几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点(x0,f(x0))处的_切__线__的__斜__率__.相应地,切线方程为_y_-_f_(_x_0)_ _=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_. (2)函数y=f(x)的导函数: f (x ? ?x) ? f (x) 称函数f′(x)=__?l_xim?_0______?_x_______为函数y=f(x)的导函数,导函数 有时也记作y′. (3)基本初等函数的导数公式: 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα (α ∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx 导函数 f′(x)=_0_ f′(x)=_α__x_α_-_1 f′(x)=_c_o_s_x_ f′(x)=_-_s_i_n_x_ 原函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(x)=lnx 导函数 f′(x)=_a_xl_n_a_ f′(x)=_e_x 1 f′(x)=__x_ln_a__ 1 f′(x)=___x__ (4)导数四则运算法则: ①[f(x)±g(x)]′=_f_′__(_x_)_±__g_′__(_x_)_. ②[f(x)·g(x)]′=_f_′__(_x_)_g_(_x_)_+_f_(_x_)_g_′__(_x_)_. f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ③ [f (x) ]? =______[__g_(_x_)]_2______(g(x)≠0). g(x) (5)复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__. 2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢, |f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用导数求切线的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合. (3)记忆口诀: 导数概念要理清,专门刻画变化量, 放大放大再放大,逼近逼近再逼近. 几何意义在切线,物理应用求速度. 常见函数的导数,定义证明会推导. 导数的四则运算,记住法则计算巧. 简单函数的复合,记住公式会运算. 【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+ln x(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( ) x 【解析】(1)错误.应先求f′(x),再求f′(x0). (2)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线,但其交点个数有无数个. (3)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物线 y2=x的切线. (4)正确.f′(x)=(f′(a)x2+ln x)′=(f′(a)x2)′+(ln x)′ =2xf′(a)+ 1 . x 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-2P11T1改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面 的高度(单位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.则运动员的速度v= , 加速度a= . 【解析】v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8. 答案:-9.8t+6.5 -9.8 (2)(选修2-2P18T3改编)已知函数r(V)= 3 3V ,则r′( 4 3? )=_____. 4? 【解析】因为r′(V)= 1 3 3 , 3 4?V2 所以r′( 4 3? )= 1. 12? 答案: 1 12? 3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程 为 . 【解析】因为y′=-5ex,y′|x=0=-5,即在点(0,-2)处的切线斜率为-5, 所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0 (2)(2013·江西高考)若曲线y=xα +1(α ∈R)在点(1,2)处的切线经过 坐标原点,则α = . 【解析】因为y′=α·xα-1,所以在点(1,2)处的切线斜率k=α,则切 线方程为y-2=α(x-1),又切线过原点,故0-2=α(0-1),解得α=2. 答案:2 (3)(2015·阳泉模拟)直线y= 1 x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线, 2 则实数b= . 【解析】y′= 1 ,令 1 = 1 ,得x=2, x x2 因此切点为(2,ln2),代入直线方程 y= 1 x+b得b=ln

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