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5.三角函数(任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式、和角公式与倍角公式、 正弦函数、余弦


一. 教学内容:三角函数 二、高考要求 (一)理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算;掌握任意角三角函数的定义、 会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 (二)掌握三角函数公式的运用(即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式) (三)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 (四)会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余 弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及 Y=Asin(ωx φ)的简图、理解 A、ω、 φ< 1271864542"> 的物理意义。 三、热点分析 1. 近几年高考对三角变换的考查要求有所降低,而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势,主要表 现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2. 对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大,从 1993 年至 2002 年考查的内容看, 大致可分为四类问题(1)与三角函数单调性有关的问题;(2)与三角函数图象有关的问题;(3) 应用同角变换和诱导公式,求三角函数值及化简和等式证明的问题;(4)与周期有关的问题 3. 基本的解题规律为:观察差异(或角,或函数,或运算),寻找联系(借助于熟知的公式、方法 或技巧),分析综合(由因导果或执果索因),实现转化.解题规律:在三角函数求值问题中的解题 思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解;在最值问题和周期问题中,解题思路是合 理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 4. 立足课本、抓好基础.从前面叙述可知,我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和 特殊技巧的考查, 而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查, 对基础知识和基本技能的考查上来, 所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时,也直接考查了三角函数的 性质及图象的变换,可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下,加强了对三角函数性质和图象的 考查力度. 四、复习建议 本章内容由于公式多,且习题变换灵活等特点,建议同学们复习本章时应注意以下几点: (1)首先对现有公式自己推导一遍,通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。 (2)对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。 (3)三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法 进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习,加

深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点,如周期性,通过对三角函数周期性的复习,类比到一 般函数的周期性,再结合函数特点的研究类比到抽象函数,形成解决问题的能力。 (4)由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具,近几年高考往往考查知识网络交汇处的知识, 故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。 如平面向量、参数方程、 换元法、 解三角形等。 (2003 年高考应用题源于此) (5)重视数学思想方法的复习,如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现,因此复习中要重视 选择、填空题的一些特殊解题方法,如数形结合法、代入检验法、特殊值法,待定系数法、排除法等. 另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如:关于对称问题,要利用 y=sinx 的对称轴为 x=kπ+π/2 (k∈Z),对称中心为(kπ,0),(k∈Z)等基本结论解决问题,同时还要注意对称 轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中,要学会用勾股数解题的方法,因为高 考试题一般不能查表, 给出的数都较特殊, 因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果. (6)加强三角函数应用意识的训练,1999 年高考理科第 20 题实质是一个三角问题,由于考生对三 角函数的概念认识肤浅,不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系,造成思维障碍, 思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实 践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部分 的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图 象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法. (7)变为主线、抓好训练.变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三 角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化“变”意识是关键,但题 目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进行归 类,并进行分析比较,寻找解题规律.针对高考中的题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间 关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关 系式的训练也要加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目. (8)在复习中,应立足基本公式,在解题时,注意在条件与结论之间建立联系,在变形过程中不断 寻找差异,讲究算理,才能立足基础,发展能力,适应高考. 在本章内容中,高考试题主要反映在以下三方面:其一是考查三角函数的性质及图象变换,尤其是三 角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题;其次是三角函数式的恒等变形。如运 用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外,解答题的中档题也经 常出现这方面内容。


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