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2012年上海市嘉定黄浦


2012 年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(理科)
(2012 年 4 月 12 日) 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解 答一律无效. 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚. 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直接 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ? log 1 (2 x ? 1) 的定义域为
2

. .

x2 2.若双曲线 ? y 2 ? 1 的一个焦点为 F (2,0) ,则实数 m ? m ?? 3.若 ? ≤ x ≤ ,则方程 2sin x ? 1 ? 0 的解 x ? . 2

1 4.已知幂函数 y ? f ( x) 存在反函数,若其反函数的图像经过点 ( ,9) ,则该幂函数的解析式 3 . f ( x) ? 5.一盒中有 7 件正品,3 件次品,无放回地每次取一件产品,直至取到正品.已知抽取次数 ? 的概率分布律如下表:

x
P(? ? x)

1

2

3

4

7 7 7 1 10 30 120 120 那么抽取次数 ? 的数学期望 E? ? . 6.一名工人维护甲、乙两台独立的机床,若在一小时内,甲、乙机床需要维护的概率分别为 . 0.9 、 0.85 ,则两台机床都不需要维护的概率为 1 z 0 7.已知 z ?C , z 为 z 的共轭复数,若 0 1 1 ? 0 ( i 是虚数单位) ,则 z ? .
z iz 0

5 4 ? ?? 8.已知 ? 、 ? ? ? 0, ? ,若 cos( ? ? )? , sin(? ? ? ) ? ? ,则 ? 13 5 ? 2? . cos 2 ? ?
9.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1 A1 是正方形, C 是圆柱下底 面弧 AB 的中点, C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,那么异面 直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .
A
A1

C1 B1

? x ? 1 ? 5 cos ? , ? 10.若过圆 C : ? ( 0 ≤? ? 2? )上一点 P(?1,0) 作 ? y ? ?1 ? 5 sin ? , ?
该圆的切线 l ,则切线 l 的方程为 — 1 — .

B
第9题

C

11.若 (1 ? 2 x) n ( n?N* )二项展开式中的各项系数和为 an ,其二项式系数和为 bn ,则

lim

bn ?1 ? a n ? n ?? a n ?1 ? bn



12.设集合 P ? {1, x} , Q ? {1,2, y} ,其中 x, y ?{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,且 P ? Q .若将满足上述 条件的每一个有序整数对 ( x, y ) 看作一个点,则这样的点的个数为 13.已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? a | ( x ?R ) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a ? 0 时, f ( x) 是偶函数; ② 函数 f ( x) 一定存在零点; ③ 函数在区间 (??, a] 上单调递减; ④ 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? a 2 . 那么所有真命题的序号是 .
O



y

A F

B

x

14.已知△ FAB ,点 F 的坐标为 (1, 0) ,点 A 、 B 分别在图中抛物 线 y 2 ? 4 x 及圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 的实线部分上运动,且 AB 总是 平行于 x 轴,那么△ FAB 的周长的取值范围为 .
第 14 题

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知空间三条直线 a 、 b 、 m 及平面 ? ,且 a 、 b ? ? .条件甲: m ? a , m ? b ;条件 ? 乙: ? ? , “条件乙成立” “条件甲成立” 则 是 的??????????????? ( m A.充分非必要条件 C.充分且必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ) )

16.已知 a 、 b ? 0 ,则下列不等式中不一定成立的是??????????????( A.

a b ? ≥2 b a 2ab ≥ ab a?b

1 1 B. (a ? b) ? ( ? ) ≥ 4 a b
D. a ? b ?

C.

1 ab

≥2 2

17. 已知△ ABC 的三边分别是 a、b、c , a ≤ b ≤ c( a、b、c ?N* ) 若当 b ? n( n?N* ) 且 , 时, 记满足条件的所有三角形的个数为 an , 则数列 {an } 的通项公式??????? ( A. an ? 2n ? 1 C. an ? 2n ? 1 )

n(n ? 1) B. an ? 2 D. an ? n

18.已知 O 、 A 、 B 、 C 是同一平面上不共线的四点,若存在一组正实数 ?1 、 ?2 、 ?3 ,使 得 ?1 OA ? ?2 OB ? ?3 OC ? 0 , 则三个角 ?AOB 、 BOC 、 COA ????????? ( ? ? A.都是钝角 C.恰有两个钝角 B.至少有两个钝角 D.至多有两个钝角 — 2 —

??? ?

??? ?

????

?



三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. 已知三棱锥 P ? ABC , PA ? 平面 ABC , AB ? AC ,
P

AB ? AC ? 4 , AP ? 5 .
(1)求二面角 P ? BC ? A 的大小(结果用反三角函数值表示) . (2)把△ PAB (及其内部)绕 PA 所在直线旋转一周形成一几 何体,求该几何体的体积 V .
B A
C

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ?R ) (1)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间; 5? ? (2)若 x ?[? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床, A 型车床为企业创造的价值逐年减 少(以投产一年的年初到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年) .若第 1 年 A 型车床 创造的价值是 250 万元,且第 1 年至第 6 年,每年 A 型车床创造的价值减少 30 万元;从第 7 年开始,每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用 an ( n?N* )表示 A 型车床在 第 n 年创造的价值. (1)求数列 {an } ( n?N* )的通项公式 an ; (2)记 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,Tn ?

Sn .企业经过成本核算,若 Tn ? 100 万元,则继 n 续使用 A 型车床,否则更换 A 型车床.试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床? ? b ? b ? ? ? bn ? (已知:若正数数列 {bn } 是单调递减数列,则数列 ? 1 2 ? 也是单调递减 n ? ? 数列) .

— 3 —

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 已知定点 F (2,0) ,直线 l : x ? ?2 ,点 P 为坐标平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂

( 足为点 Q ,且 FQ ? PF ? PQ ) .设动点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,求证:

??? ?

??? ??? ? ?

(3)记 OA 与 OB 的夹角为 ? ( O 为坐标原点, A 、 B 为(2)中的两点) ,求 cos? 的取 值范围.

??? ?

??? ?

1 1 1 ? ? ; | AF | | BF | 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小 题满分 6 分. 对 n?N* ,定义函数 f n ( x) ? ?( x ? n)2 ? n , n ? 1≤ x ≤ n . (1)求证: y ? f n ( x) 图像的右端点与 y ? f n?1 ( x) 图像的左端点重合;并回答这些端点在 哪条直线上. (2)若直线 y ? kn x 与函数 f n ( x) ? ?( x ? n)2 ? n , n ? 1≤ x ≤ n ( n≥ 2 , n?N* )的图 像有且仅有一个公共点,试将 k n 表示成 n 的函数. (3) n?N* , 对 在区间 [0, n] 上定义函数 y ? f ( x) , 使得当 m ? 1≤ x ≤ m m?N* , ( n≥ 2 , 且 m ? 1 , , n ) f ( x) ? f m ( x) . 试研究关于 x 的方程 f ( x) ? kn x 0 ≤ x ≤ n , ( 2 ?, 时, ,并证明你的结论. n?N* )的实数解的个数(这里的 k n 是(2)中的 k n )

— 4 —

2011 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理科) 参考答案和评分标准(2012 年 4 月 12 日)
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答 中的评分精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1 ?? 1. (? , ??) 2. 3 3. 2 6 1 ? 11 4. x 2 5. 6. 0.015 8 63 7. 0 或 ?i 8. 9. 2 65 10. 2 x ? y ? 2 ? 0 13.①④

1 3 14. (4,6)
11. ?

12. 14

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.C 17.B 18.B 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. [解](1)解法一:设 BC 的中点 D ,联结 AD ,PD ,易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中,

PD ? BC , AD ? BC ,故 ?PDA 为二面角 P ? BC ? A 的平面角.
在等腰 Rt △ ABC 中,由 AB ? AC ? 4 及 AB ? AC ,得 AD ? 2 2 . 由 PA ? 平面 ABC ,得 PA ? AD . 在 Rt △ PAD 中, tan ?PDA ? 故 二 面 角

(2分)

PA 5 2 . ? AD 4 P ? BC ? A 的 大 小
(8分)

(6分) 为
z
P

arc tan

5 2 . 4

解法二:如图建立空间直角坐标系,可得各点的坐标 — 5 —
A
C

y

B

D

x

A(0,0,0) , B(4,0,0) , C (0,4,0) , P(0,0,5) . ??? ? ??? ? 于是 PB ? (4,0, ?5) , BC ? (?4,4,0) .
设 n2 ? (u, v, w) 是平面 PBC 的一个法向量.

(2分)

由 PA ? 平面 ABC ,得平面 ABC 的一个法向量 n1 ? (0,0,1) .

?? ?

?? ?

因为 n2 ? PB , n2 ? BC ,所以 n2 ? PB ? 0 , n2 ? BC ? 0 , 4 即 4u ? 5w ? 0 , ?4u ? 4v ? 0 ,解得 w ? u , v ? u , 5 ?? ? 取 u ? 5 ,得 n2 ? (5, ?5, 4) . (4分) ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 2 66 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? ? . ? ? 33 n1 n2 结合图可判别二面角 P ? BC ? A 是个锐角,它的大小为 arccos

?? ?

??? ?

?? ?

??? ?

?? ??? ? ?

?? ??? ? ?

(6分)

2 66 . 33

(8分)

(2)由题设,所得几何体为圆锥,其底面半径为 4 ,高为 5 . 1 80? 该圆锥的体积 V ? ? 5 ? ?? 42 ? . (12分) 3 3 20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. [解](1)由题设 f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 由 2k ? ?

? ? ? ? ? ≤ 2 x ? ≤ 2k ? ? ,解得 k ? ? ≤ x ≤ k ? ? , 2 6 2 3 6 ? ?? ? 故函数 y ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ?Z ) . 3 6? ? 5? ? 2? ? ?? (2)由 ? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x ? ≤ . 12 3 3 6 6 ? 考察函数 y ? sin x ,易知 -1≤ sin(2 x ? ) ≤1 , 6 ? 于是 -3 ≤ 2sin(2 x ? ) ? 1≤1 . 6 故 y ? f ( x) 的取值范围为 [?3,1] .

? 6

(2 分)

(6 分) (7 分) (10 分)

(12 分)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. [解](1)由题设,知 a1 , a2 ,?, a6 构成首项 a1 = 250 ,公差 d ? ?30 的等差数列. 故 an ? 280 ? 30n ( n ≤ 6 , n?N* ) (万元) . (3 分)

a7 , a8 ,?, an ( n≥ 7 , n?N* )构成首项 a7 =
?1? 故 an ? 50 ? ? ? ?2?
n?7

1 1 a6 = 50 ,公比 q = 的等比数列. 2 2
(6 分)

( n≥ 7 , n?N* ) (万元) .

— 6 —

1≤ n ≤ 6 ?280 ? 30n, ? n ?7 于是, an ? ? ( n?N* ) (万元) . (7 分) ?1? 50 ? ? ? , n ≥ 7 ? ?2? ? (2)由(1)知, {an } 是单调递减数列,于是,数列 {Tn } 也是单调递减数列.

Sn . ? 265 ? 15n , {Tn } 单调递减, T6 ? 175 ? 100 (万元) n 所以 Tn ? 100 (万元) .
当 1≤ n ≤ 6 时, Tn ?

? ? 1 ?n ?6 ? 1050 ? 100 ? ?1 ? ? ? ? 1150 ? 100 S ? ?2? ? ? ?? 2n ? 6 , 当 n≥ 7 时, Tn ? n ? n n n 当 n ? 11 时, T11 > 104 (万元) ;当 n = 12 时, T12 < 96 (万元) .
所以,当 n≥12 , n?N 时,恒有 Tn < 96 . 故该企业需要在第 11 年年初更换 A 型车床. 题满分 6 分. [解](1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) .
*

(9 分) (13 分) (14 分)

22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 (1 分) ??? ? ??? ? ??? ? 由题意,可得 Q(?2, y) , FQ ? (?4, y ) , PF ? (2 ? x, ? y) , PQ ? (?2 ? x,0) . 分) (3 ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 2 由 FQ 与 PF ? PQ 垂直,得 FQ ? ( PF ? PQ) ? 0 ,即 y = 8 x ( x≥ 0 ) . (6 分) 因此,所求曲线 C 的方程为 y 2 = 8 x ( x≥ 0 ) . [证明](2)因为过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,所以 l1 的斜率不为 零,故设直线 l1 的方程为 x = my + 2 . (7 分)
2

í y = 8 x, ? 于是 A 、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? 的实数解. ì ? x = my + 2, ? ? 消 x 并整理得 y 2 - 8my - 16 = 0 . ? x ? x2 ? 8m ? 4, ? y1 ? y2 ? 8m, ? 于是 ? 进一步得 ? 1 y1 y2 ? ?16, ? x1 x2 ? 4. ? ? 2 又因为曲线 y = 8 x ( x≥ 0 )的准线为 x ? ?2 ,
2

(8 分) (10 分)

4 + x1 + x2 1 1 1 1 1 + = + = = ,得证. (12 分) | FA | | FB | x1 + 2 x2 + 2 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 2 uur uur u (3)由(2)可知, OA = ( x1 , y1 ) , OB = ( x2 , y2 ) . uur uuu r x1 x2 + y1 y2 OA ?OB 12 - 3 = = r 于是 cos q = uur uuu = , 2 2 2 2 2 2 | OA | ×| OB | x1 + y1 ? x2 y2 x1 + 8 x1 ? x2 8 x2 25 + 16m 2
所以 (16 分)可求 得 cos q =

轹3 的取值范围为 ê ,0÷ . ÷ ê 5 ÷ ? ? 25 + 16m

- 3

(18 分)

2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. [证明] (1) f n (n) ? n 得 y ? f n ( x) 图像右端点的坐标为 (n, n) , f n?1 (n) ? n 得 y ? f n?1 ( x) 由 由 图像左端点的坐标为 (n, n) ,故两端点重合. (2 分) 并且对 n?N* ,这些点在直线 y ? x 上. — 7 — (4 分)

[解](2)由题设及(1)的结论,两个函数图像有且仅有一个公共点,即方程 ?( x ? n)2 ? n ? kn x 在 n ? 1≤ x ≤ n 上有两个相等的实数根. 整理方程得 x2 ? (kn ? 2n) x ? n2 ? n ? 0 , 由 ? ? (kn ? 2n)2 ? 4(n2 ? n) ? 0 ,解得 kn ? 2n ? 2 n 2 ? n , 此时方程的两个实数根 x1 , x2 相等,由 x1 ? x2 ? 2n ? kn , 得 x1 ? x2 ? (8 分)

2n ? kn ? [2n ? (2n ? 2 n2 ? n )] ? ? n 2 ? n , 2
2n n ? n2 ? n ? 2 1 1? 1? n
,可得 1 ? kn ? 2 , (14 分)

因为 n ? 1≤ x1 ? x2 ≤ n ,所以只能 kn ? 2n ? 2 n 2 ? n ( n≥ 2 , n?N* )(10 分) . (3)当 n≥ 2 时, kn ? 2n ? 2 n 2 ? n ? 且 k n 单调递减. 总有两个不同的公共点(直线 y ? kn x 在直线 y ? x 与直线 y ? ki x 之间) . 对于函数 f1 ( x) 来说, 因为 1 ? kn ? 2 , 所以方程 kn x ? f1 ( x) 有两个解:x1 ? 0 ,x2 ? 2 ? kn

① 当 n≥ 3 时,对于 2 ≤ i ≤ n ? 1,总有 1 ? kn ? ki ,亦即直线 y ? kn x 与函数 f i ( x) 的图像

? (0,1) .
此时方程 f ( x) ? kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n?N* )的实数解的个数为 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1 . (16 分) ② 当 n ? 2 时,因为 1 ? k2 ? 2 ,所以方程 k2 x ? f1 ( x) 有两个解.此时方程 f ( x) ? k2 x ( 0 ≤ x ≤ 2 )的实数解的个数为 3 . (17 分) 综上,当 n≥ 2 , n?N* 时,方程 f ( x) ? kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n?N* )的实数解的个数为 (18 分) 2n ? 1 .

— 8 —


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