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高中数学(人教版选修2-3)同步教学课件:第二章 2-3 2-3-1 离散型随机变量的均值_图文

2.3 2.3.1 离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值 [提出问题] 设有 12 个西瓜, 其中重 5 kg 的有 4 个, 重 6 kg 的有 3 个, 重 7 kg 的有 5 个. 问题 1:任取一个西瓜,用 X 表示这个西瓜的重量,试想 X 可以取哪些值. 提示:X=5,6,7. 问题 2:X 取上述值时对应的概率分别是多少? 4 3 5 提示:12,12,12. 问题 3:试想每个西瓜的平均重量该如何求. 5×4+6×3+7×5 4 3 5 提示: =5×12+6×12+7×12. 12 [导入新知] 1.离散型随机变量的均值 (1)定义:若离散型随机变量 X 的分布列为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称 E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或均值. (2)意义:它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 . (3)性质:若 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,X 是随机变量, 则 Y 也是随机变量,且有 E(aX+b)= aE(X)+b . 2.两点分布与二项分布的均值 X E(X) X 服从两点分布 X~B(n,p) p(p 为成功概率) ______________ np ___ [化解疑难] 1.对离散型随机变量均值的理解 离散型随机变量的均值 E(X)是一个数值,是随机变量 X 本身固有的一个数字特征, 它不具有随机性, 反映的是随机变 量取值的平均水平. 2.随机变量的均值与样本平均值的关系 随机变量的均值是一个常数, 它不依赖于样本的抽取, 而 样本平均值是一个随机变量, 它随样本抽取的不同而变化. 对 于简单随机样本, 随着样本容量的增加, 样本平均值越来越接 近于总体的均值. 求离散型随机变量的均值 [例 1] 甲、乙两人各自独立破译某个密码,甲破译出密码的 2 4 概率是3,乙破译出密码的概率是5,设破译出该密码的人数为 X, 求其均值. [解] 设 A,B 分别为甲、乙破译出该密码的事件,X 的可能 取值是 0,1,2. ? 2? ? 4? 1 P(X=0)=P( A · B )=P( A )· P( B )=?1-3?×?1-5?=15; ? ? ? ? 4? ? 2? 4 2 2 ? P(X=1)=P(A· B )+P( A · B)=3×?1-5?+?1-3?×5=5; ? ? ? ? 2 4 8 P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=3×5=15. 所以 X 的分布列是 X P 0 1 15 1 2 5 2 8 15 1 2 8 22 因此 E(X)=0×15+1×5+2×15=15. [类题通法] 求期望的关键是写出分布列,一般分四步 (1)确定 X 可能的取值; (2)计算出 P(X=k); (3)写出分布列; (4)利用 E(X)的计算公式计算 E(X). [活学活用] 盒中装有 5 节同牌号的五号电池,其中混有 2 节废电池.现在 无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取 次数 X 的分布列及均值. 3 解:X 可取的值为 1,2,3,则 P(X=1)=5, 2 3 3 2 1 1 P(X=2)=5×4=10, P(X=3)=5×4×1=10. 抽取次数 X 的分布列为 1 2 3 3 P 5 10 3 3 1 3 E(X)=1×5+2×10+3×10=2. X 3 1 10 求两点分布及二项分布的均值 [例 2] 某运动员投篮投中的概率为 0.6.求: (1)一次投篮时投中次数 X 的均值; (2)重复 5 次投篮时投中次数 Y 的均值. [解 ] (1)X 的分布列为 X P 0 0.4 1 0.6 则 E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6, 即一次投篮时投中次数 X 的均值为 0.6. (2)Y 服从二项分布,即 Y~B(5,0.6). 故 E(Y)=5×0.6=3, 即重复 5 次投篮时投中次数 Y 的均值为 3. [类题通法] 设 p 为成功概率,则服从两点分布的离散型随机变量 的均值为 p,服从二项分布的离散型随机变量的均值为 np. [活学活用] 若将题型一[活学活用]中的“无放回”改为“有放回”, 并去掉条件“直到取到好电池为止”,求检验5次取到好电池 次数X的均值. 3 解:每次检验取到好电池的概率均为5, 故 ? 3? X~B?5,5?, ? ? 3 则 E(X)=5×5=3. 均值问题的实际应用 [例3] 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一 等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件 一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件 次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小 于4.73万元,则三等品率最多是多少? [ 解] (1)X的所有可能取值有6,2,1,-2, 126 50 P(X=6)= =0.63,P(X=2)= =0.25, 200 200 20 P(X=1)= =0.1, 200 4 P(X=-2)= =0.02. 200 故X的分布列为 X P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02= 4.34(万元). (3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均 利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(- 2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29), 依题意,E(X)≥4.73, 即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.

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