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辽宁省辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试 数学文试题

辽宁省辽宁师大附中 2014 届高三上学期期中考试 数学文试题
一选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求) 1.在空间,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3 x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( )

A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 或 3 D. -1 或-3 3.直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和上顶点 B,该椭圆的离心率为( ). 1 A. 5 2 B. 5 C. 5 5 D.

2 5 5
( )

4.设 a, b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则 a ? b 的一个充分条件是
A. a ? ? ,b // ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? // ?
2

B. a ? ? , b ? ? , ? // ? D. a ? ? ,b // ? , ? ? ?

5.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和 等于 5,则这样的直线 ( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 6 .如图, AB 是圆 O 的直径, PA 垂直圆 O 所在的平面于 A, 点 C 是圆上的任意一点, 图中有( )对平面与平面垂直 A.1 B.2 C.3 D. 4
2

P C A B

7.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积 为( A. 2 2 ). B. 2 3 2 C. 2 D.2 2
2 2

8.已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( A. 1 4 3 B. 5 3 C. 4 4 D. 5

)

9.已知椭圆 + =1 的上焦点为 F,直线 x+y-1=0 和 x+y+1=0 与椭圆分别相交于点 A,B 和 C,D, 3 4 则 AF+BF+CF+DF=( A.2 3 ). B.4 3 C.4 D.8

x2 y2

-1-

→ → x2 2 10. 已知椭圆 C: +y =1 的右焦点为 F,直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点 B,若FA=3FB,则 2 → |AF|=( A. 2 ). B.2
2

C. 3

D.3 ).

y → → 2 11.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1, 右焦点为 F2, 为双曲线右支上一点, PA1· 2的最小值为( P 则 PF 3
A.-2 81 B.- 16 C.1 D.0

12. 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P1,P2 分别是线段 AB,BD1(不包括端点)上的动点,且线段 P1P2 平行于平面 A1ADD1,则四面体 P1P2AB1 的体积的最大值是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 24 12 6 2 二、填空题:(本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 2 2 13.若双曲线 8kx -ky =8 的一个焦点坐标是(0,3),则实数 k 的值为________. 14.某四棱锥的三视图如图 1-3 所示,该四棱锥的体积为________.

图 1-3

15. 已知 2+

2 2 3 3 4 4 a a =2· , 3+ =3· , 4+ =4· ,…。若 8+ =8· 3 3 8 8 15 15 t t

( a, t

均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a, t 的值,则 a ? t =

16.给出下列四个命题:①若直线 l过抛物线 y ? 2x 的焦点,且与这条抛物线交于 A、B 两点,则 AB 的最
2







2;②





线

x2 y2 C: ? ? ?1 16 9
2











5 3

;③



⊙ C ? ? ? ⊙ C ? ? ? 0 则 这 两 圆 恰 有 2 条 公 切 线 ;④ 若 直 线 : x , : y ? 1x y 2 0 2x y 2 1 ,
2 2 2

1 : ? ? ? ay l : 2 ? ? ? 与 直 线 l 4? 3 9 互 相 垂 直 , 则 a?? . 其 中 正 确 命 题 的 序 号 是 x y60 2 x ??0 1 a
______.(把你认为正确命题的序号都填上)

三解答题:(本大题共 6 小题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤)
-2 -

17(本小题满分 10 分) (1)求经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7)的双曲线的标准方程; (2) 已知动圆 M 经过点 A(3,0),且与直线 l:x=-3 相切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.

18(本小题满分 12 分)已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 3 y ? 0 . (Ⅰ)求 x ? 3 y 的取值范围; (II)当实数 a 为何值时,不等式 x 2 ? y 2 ? a ? 0 恒成立?

19(本小题满分 12 分)如图 1-4 所示,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2 π ACB=∠ACD= . 3 (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P-BDF 的体积.

3,BC=CD=2,∠

20 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ? , PA ? 底面

ABCD , PA ? AB ? 2 , E 为 PA 的中点.
(Ⅰ)求证: PC // 平面 EBD ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? PAD 的体积 VC ? PAD ; (Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ? 平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理 由.
-3-

21(本小题满分 12 分)设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A, a2 b2 8 PQ 5

过点 A 作垂直于 AF 的直线交椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且 AP ? ⑴求椭圆 C 的离心率; ⑵若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

22(本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F .⊙M 的圆心在 x 轴的
2

正半轴上,且与 y 轴相切.过原点 O 作倾斜角为

?
3

的直线 n ,交 l 于点 A , 交⊙M 于另一点 B ,且

AO ? OB ? 2 .
(Ⅰ)求⊙M 和抛物线 C 的方程;

l

y B O · F M

(Ⅱ)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (Ⅲ)过 l 上的动点 Q 向⊙M 作切线,切点为 S , T , 求证:直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.

???? ??? ? ?

A

x

高三数学文科期中试卷答案
辽师附中 王红; 一选择题: DADCB;CCCDA;AA 二填空题: 13) -1 ; 14) 3 15) 71; 16) 2 ;3 三解答题: 2 2 17(1)设双曲线的标准方程为 nx +my =1(m·n<0), 又双曲线经过点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7),

-4-

1 ?m=25, ? ? ?28m+9n=1, 所以? 解得? ?49m+72n=1, 1 ? ?n=-75, ? 所以所求的双曲线的标准方程为 - =1. 25 75 .(2)设动点 M(x,y),设⊙M 与直线 l:x=-3 的切点为 N,则|MA|=|MN|, 即动点 M 到定点 A 和定直线 l:x=-3 的距离相等,所以点 M 的轨迹是抛物线,且以 A(3,0)为焦点, 以直线 l:x=-3 为准线, ∴ =3,∴p=6. 2 ∴圆心 M 的轨迹方程是 y =12x。 18(Ⅰ)配方,得圆的标准方程
2

y2

x2

p

( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4
再令 x ? 3 y ? t

(1) (2)

则直线(2)与圆(1)有公共点 ( x, y ) ,所以圆心 C (?1, 3) 到直线的距离为

d?

?1 ? 3 ? t 1? 3
2

? r ? 2 ,解得 ?8 ? t ? 0 .即 x ? 3 y 的取值范围是 [?8, 0] .
2 2 2

(II)不等式 x ? y ? a ? 0 恒成立 ? a ? x ? y 恒成立 ? a ? ( x 2 ? y 2 ) max , 由(Ⅰ)得 x 2 ? y 2 ? ?2( x ? 3 y ) ? ?2t ? 16 ,所以 a ? 16 . 19.解:(1)证明:因为 BC=CD,即△BCD 为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD,从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直,所以 BD⊥平 面 PAC. 1 1 2π (2)三棱锥 P-BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD= BC·CD·sin∠BCD= ·2·2·sin = 3. 2 2 3 由 PA⊥底面 ABCD,得 1 1 VP-BCD= ·S△BCD·PA= × 3×2 3 3 3=2. 1 3= , 4

1 1 1 1 1 由 PF=7FC,得三棱锥 F-BCD 的高为 PA,故 VF-BCD= ·S△BCD· PA= × 3× ×2 8 3 8 3 8 1 7 所以 VP-BDF=VP-BCD-VF-BCD=2- = . 4 4

P

E
A

M
D F
C

20.(Ⅰ)证明:设 AC 、 BD 相交于点 F ,连结 EF , ? 底面 ABCD 为菱形,? F 为 AC 的中点,
-5-

B

又? E 为 PA 的中点,? EF // PC 又? EF ? 平面 EBD , PC ? 平面 EBD , ? PC // 平面 EBD (Ⅱ)解:因为底面 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ? ,所以 ?ACD 是边长为 2 正三角形, 又因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA 为三棱锥 P ? ACD 的高,

1 1 3 2 2 3 ?2 ?2 ? ? VC ? PAD ? VP ? ACD ? S ?ACD ? PA ? ? 3 3 4 3
(Ⅲ)解:因为 PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? BD , 又? 底面 ABCD 为菱形,? AC ? BD , PA ? AC ? A , PA ? 平面 PAC , AC ? 平面 PAC ,

? BD ? 平面 PAC ,? BD ? PC
在 ?PBC 内,易求 PB ? PC ? 2 2 , BC ? 2 , 在平面 PBC 内,作 BM ? PC ,垂足为 M , 设 PM ? x ,则有 8 ? x 2 ? 4 ? (2 2 ? x) 2 ,解得 x ?

3 2 ?2 2 2

连结 MD ,? PC ? BD , BM ? PC , BM ? BD ? B , BM ? 平面 BDM ,

BD ? 平面 BDM ,? PC ? 平面 BDM .
所以满足条件的点 M 存在,此时 PM 的长为

3 2 2

21、解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0)A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x 0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
设 P ( x1 , y1 ),由AP ?

b2 c

8 8b 2 5 ,得 x1 ? , y1 ? b PQ 13c 13 5

8b 2 2 5 ( ) ( b) 2 ?1 因为点 P 在椭圆上,所以 13c ? 13 2 a2 b
整理得 2b =3ac,即 2(a -c )=3ac, 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=
2 2 2

1 . 2

⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac,得

b2 3 ? a; c 2



c 1 1 ? ,得c ? a , a 2 2

1 3 a,0) Q ( a,0) , 2 2 1 1 △AQF 的外接圆圆心为( a,0) ,半径 r= |FQ|=a 2 2
于是 F(-

-6-

1 a?5| 所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 , 2 |
所求椭圆方程为 22.因为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

p 1 ? OA ? cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x . 2 2 OB 1 设⊙M 的半径为 r ,则 r ? ? ? 2 ,所以 ? M 的方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ………4 分 ? 2 cos 60 ???? ??? ? ? 2 2 2 (Ⅱ)设 P ( x, y )( x ? 0) ,则 PM ? PF ? (2 ? x, ? y )(1 ? x, ? y ) = x ? 3 x ? 2 ? y ? x ? x ? 2
所以当 x ? 0 时, PM ? PF 有最小值为 2 (Ⅲ)以点 Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段 ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦

???? ??? ? ?

-7-


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