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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2第1课时 Word版含答案

精品 学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 3 1.(2016· 人大附中月考)焦点在 x 轴上,短轴长为 8,离心率为5的 椭圆的标准方程是( x2 y2 A.100+36=1 x2 y2 C.25+16=1 ) x2 y2 B.100+64=1 x2 y2 D.25+ 9 =1 【解析】 由题意知 2b=8,得 b=4,所以 b2=a2-c2=16,又 e c 3 x2 =a=5,解得 c=3,a=5,又焦点在 x 轴上,故椭圆的标准方程为25+ y2 16=1,故选 C. 【答案】 C 2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心 率为( 1 A.2 1 C.4 ) 1 B.3 2 D. 2 c c 1 【解析】 由题意知 a=2c,∴e=a=2c=2. 【答案】 A 精品 x2 y2 x2 y2 3.曲线25+ 9 =1 与 + =1(0<k<9)的关系是( 9-k 25-k A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对 ) x2 y2 x2 y2 【解析】 曲线25+ 9 =1 的焦距为 2c=8,而曲线 + = 9-k 25-k 1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是 8,但由于焦点所在的坐标轴不同, 故选 B. 【答案】 B x2 y2 4.已知 O 是坐标原点,F 是椭圆 4 + 3 =1 的一个焦点,过 F 且 与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 M,N 两点,则 cos∠MON 的值为( 5 A.13 2 13 C. 13 5 B.-13 2 13 D.- 13 ) 【解析】 由题意,a2=4,b2=3, 故 c= a2-b2= 4-3=1. 2 12 y0 不妨设 M(1,y0),N(1,-y0),所以 4 + 3 =1, 3 解得 y0=± 2, 所以|MN|=3,|OM|=|ON|= ?3?2 13 12+?2? = 2 . ? ? 精品 由 余 弦 定 理 知 ? 13?2 ? 13?2 ? ? +? ? -3 2 ? 2 ? ? 2 ? |OM|2+|ON|2-|MN|2 cos ∠ MON = = 2|OM||ON| 13 13 2× 2 × 2 【答案】 B 5 =-13. 5.如图 224,直线 l:x-2y+2=0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶 点 B,该椭圆的离心率为( ) 图 224 1 A.5 5 C. 5 【答案】 二、填空题 6.已知长方形 ABCD,AB=4,BC=3,则以 A,B 为焦点,且过 C、D 的椭圆的离心率为________. 【导学号:18490048】 D 2 B.5 2 5 D. 5 【解析】 如图,AB=2c=4,∵点 C 在椭圆上,∴CB+CA=2a 2c 4 1 =3+5=8,∴e=2a=8=2. 精品 1 【答案】 2 x2 y2 7.设 AB 是椭圆a2+b2=1 的不垂直于对称轴的弦,M 为 AB 的中 点,O 为坐标原点,则 kAB·kOM=________. 【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则中点坐标 M? ? ?x1+x2 2 , y1+y2? ?, 2 ? 得 kAB= y2-y1 , x2-x1 2 y2+y1 y2 -y2 1 kOM= ,kAB·kOM= 2 2, x2+x1 x2-x1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b2x2 1+a y1=a b ,b x2+a y2=a b , 2 2 y2 -y2 b2 1 2 2 2 2 2 (x2-x1)+a (y2-y1)=0,即 2 2=-a2. x2-x1 得b b2 【答案】 -a2 y2 8.已知 P(m,n)是椭圆 x + 2 =1 上的一个动点,则 m2+n2 的取 2 值范围是________. y2 【解析】 因为 P(m,n)是椭圆 x + 2 =1 上的一个动点,所以 m2 2 n2 + 2 =1, 即 n2=2-2m2, 所以 m2+n2=2-m2, 又-1≤m≤1, 所以 1≤2 -m2≤2,所以 1≤m2+n2≤2. 【答案】 [1,2] 三、解答题 x2 y2 5 9.(1)求与椭圆 9 + 4 =1 有相同的焦点,且离心率为 5 的椭圆的 精品 标准方程; (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为 8,两个顶点坐标分别是(-6, 0),(6,0),求焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程. 【解】 (1)∵c= 9-4= 5, ∴所求椭圆的焦点为(- 5,0),( 5,0). x2 y2 设所求椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0). c 5 ∵e=a= 5 ,c= 5, ∴a=5,b2=a2-c2=20, x2 y2 ∴所求椭圆的方程为25+20=1. (2)因为椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 所以设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0), ∵2c=8,∴c=4, 又 a=6,∴b2=a2-c2=20. x2 y2 ∴椭圆的方程为36+20=1. x 2 y2 10.设椭圆a2+b2=1(a>b>0)与 x 轴交于点 A,以 OA 为边作等 腰三角形 OAP,其顶点 P 在椭圆上,且∠OPA=120°,求椭圆的离心 率. 【解】 不妨设 A(a,0),点 P 在第一象限内,由题意知,点 P 的 精品 ?a ? a y2 3 横坐标是2,设 P?2,y?,由点 P 在椭圆上,得 a2 +b2=1,y2=4b2, ? ? ?a 3 ? 即 P? , b?,又∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故 tan∠POA= 2 ? ?2 ?a?2 ? ? ?2? 3 2b a2-b2 (3b)2-b2 2 2 3 c = 3 . a = 3 ,所以 a=3b,所以 e=a= a = 3b 2 [能力提升] 1.(2016· 福州高二期末)

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