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二次函数 期末综合复习专题

二次函数期末综合复习专题 一、二次函数与一元二次方程 1.已知关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2 x ? (1)求 k 的值; (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y ? x2 ? 2 x ? 向下平移 9 个单位,求平移后的图象的表达式; (3) 在 (2) 的条件下, 平移后的二次函数的图象与 x 轴交于点 A, B (点 A 在点 B 左侧) , 直线 y ? kx ? b(k ? 0) 过点 B,且与抛物线的另一个交点为 C,直线 BC 上方的抛物线与线段 BC 组成新的图象,当此新图象的最 小值大于-5 时,求 k 的取值范围. k ?1 ? 0 有实数根, k 为正整数. 2 k ?1 的图象 2 2.已知关于 x 的方程 mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0) . (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数 m 的值; (3)在(2)的条件下,将关于 x 的二次函数 y= mx2+(3m+1)x+3 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折, 图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请结合这个新的图象回答:当直线 y=x+b 与此图 象有两个公共点时,b 的取值范围. 3.已知关于 x 的方程 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 . (1)求证:当 k ? 2 时,方程总有两个不相等的实数根; (2)若二次函数 y ? x 2 ? kx ? k ?1(k ? 2) 的图象与 x 轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴交于 点 C,且 tan∠OAC=4,求该二次函数的解析式; (3)已知点 P(m,0)是 x 轴上的一个动点,过点 P 作垂直于 x 轴的直线交(2)中的二次函数图象于 点 M,交一次函数 y ? px ? q 的图象于点 N.若只有当 1 ? m ? 5 时,点 M 位于点 N 的下方,求一次函数 y ? px ? q 的解析式. y 1 O 1 x 二、二次函数与不等式求取值范围 1.已知二次函数 y1 =x2+ 2x+m-5. (1)如果该二次函数的图象与 x 轴有两个交点,求 m 的取值范围; (2)如果该二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 点 B 的坐标为(1,0) ,求它的表达式和点 C 的坐标; (3)如果一次函数 y 2 =px+q 的图象经过点 A、C,请根据图象直接写出 y 2 < y1 时,x 的取值范围. O x y 2.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ? x 2 ? 2mx ? m2 ? 1 的对称轴是直线 x ? 1 . (1)求抛物线的表达式; (2)点 D?n, y1 ? , E ?3, y 2 ? 在抛物线上,若 y1 ? y 2 ,请直接写出 n 的取值范围; ( 3 )设点 M ? p, q ? 为抛物线上的一个动点,当 ?1 ? p ? 2 时,点 M 关于 y 轴的对称点都在直线 y ? kx ? 4 的上方,求 k 的取值范围. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C1: y ? ?mx2 ? 2mx ? 4 ( m ? 0 )与抛物线 C2: y ? x 2 ? 2x , (1)抛物线 C1 与 y 轴交于点 A,其对称轴与 x 轴交于点 B.求点 A,B 的坐标; (2)若抛物线 C1 在 ?2 ? x ? ?1 这一段位于 C2 下方,并且抛物线 C1 在 1 ? x ? 3 这一段位于 C 2 上方,求 抛物线 C1 的解析式. 4.已知二次函数 y=kx2?(k?3)x?3 在 x=0 和 x=4 时的函数值相等. (1)求该二次函数的表达式; (2)画出该函数的图象,并结合图象直接写出当 y <0 时,自变量 x 的 取值范围; (3)已知关于 x 的一元二次方程 k 2 x2 ? 3mx ? m2 ? m ? 0 ,当?1≤m≤3 时 , 判 断 此 方 程 根 的 情 况 . y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1O –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 x 三、二次函数图像变化求范围问题 1.已知:抛物线 y1 ? x2 ? bx ? 3 与 x 轴分别交于点 A(-3,0) ,B(m,0).将 y1 向右平移 4 个单位得到 y2. (1)求 b 的值; (2)求抛物线 y2 的表达式; (3)抛物线 y2 与 y 轴交于点 D,与 x 轴交于点 E、F(点 E 在点 F 的左侧) ,记抛物线在 D、F 之间的部分为图 象 G(包含 D、F 两点) ,若直线 y ? kx ? k ? 1 与图象 G 有 一个公共点,请结合函数图象,求直线 y ? kx ? k ? 1 与抛 物线 y2 的对称轴交点的纵坐标 t 的值或取值范围. y 5 4 3 2 1 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 O – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 1 2 3 4 5 x 2.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? (1)求该抛物线的表达式; 3 1 2 . x ? bx ? c 经过点 A(0,2)和 B(1, ) 2 2 (2)已知点 C 与点 A 关于此抛物线的对称轴对称,点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 4,求点 C 与 点 D 的坐标; (3)在(2)的条件下,将抛物线在点 A,D 之间的部分(含点 A,D)记为图象 G, 如果图象 G 向下平移 t(t>0)个单位后与直线 BC 只有一个公共点,求 t 的取值范围. y O x 初始化 常规坐标系 三角坐标系 显示网格线 隐藏刻度值 隐藏坐标轴 显示控制点 f(x) = x 3.已知:抛物线 y=x +bx+c 经过点(2,-3)和(4,5). (1)求抛物线的表达式及顶点坐标; (2)将抛物线沿 x 轴翻折,得到图象 G, 求

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