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配套K12高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.1指数与指数函数3.1.1有理指数幂及其运算同步训练

小学+初中+高中+努力=大学

5 分钟训练

3.1.1 有理指数幂及其运算

1.将 3 ? 2 2 化为分数指数幂,其形式是( )

1
A. 2 2
答案:B

1
B. ? 22

1
C. 2 2

解析: 3 ? 2

1 3
2 ? ?2?22

3 3
? ?22

31 ?

1

? ?2 2 3 ? ?2 2 .

2.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( )

1
A. ? x ? (?x) 2 (x≠0)

?1
B. x 3 ? ?3 x

?1
D. ? 2 2

C.

(

x

)

?

3 4

?4

( y)3

(xy≠0)

y

x

1
D. 6 y 2 ? y 3 (y<0)

答案:C 解析:根据根式、分数指数幂的意义和转化法则可知,选项 A 中负号应在括号外;选项 B

应等于 1 ;选项 D 指数 2 不能约分成 1 ,这样值域会发生变化,左边的值域为(0,+∞),

3x

6

3

右边的值域为(-∞,0).

2
3.化简 a 3

1
?b2

1
? (?3a 2

1
?b3)

? (1

1
a6

5
? b 6 ) 的结果是(

6

A.6a 答案:C

B.-a

C.-9a

2?1?1 1?1?5
解析:原式=-9· a 3 2 6 b 2 3 6

?

?9a

7?1 66

b0

? ?9a .

1

4.若

10x=3,10y=4,则10

x? 2

y

=______________.

答案: 3 2

1

1

1

x? y
解析:10 2

? 10 x

?10 2 y =10x÷ (10 y ) 2

=3÷

4?3.

2

10 分钟训练

) D.9a

1.把根式 ? 25 (a ? b)?2 改写成分数指数幂的形式为( )

?2
A. ? 2(a ? b) 5

2

2

?

?

C. ? 2(a 5 ? b 5 )

答案:A

?5
B. ? 2(a ? b) 2

?5

?5

D. ? 2(a 2 ? b 2 )

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

2.以下各式中,成立且结果为最简根式的是( )

A. a ? 5 a3 ? 10 a 4 a ? 10 a 7

B. 3 xy 2 ( xy )3 ? y ? 6 x5 ? y

C. a 2 b

b3 a

a b3

? 8 a 7b15

D. (3 5 ? 125 )3 ? 5 ? 125 125 ? 23 5 ? 125

答案:B 3.下列结论中,正确的个数是( )

3
①当 a<0 时, (a 2 ) 2 =a3 ② n an =|a|(n>0)

(2,+∞) ④若 100a=5,10b=2,则 2a+b=1

A.0

B.1

C.2

答案:C

1
③函数 y= (x ? 2) 2 -(3x-7)0 的定义域是
D.3

3

1

解析:①中,当 a<0 时, (a 2 ) 2 ? [(a 2 ) 2 ]3 =(-a)3=-a3,∴①不正确;

②正确;③中,有

?x ? 2 ? 0, ??3x ? 7 ? 0,



x≥2



x≠

7 3

,故定义域为[2,

7 3

)∪(

7 3

,+∞);

④中,∵100a=5,10b=2, ∴102a=5,10b=2,102a×10b=10.

∴2a+b=1.④正确.

4.若-2x2+5x-2>0,则 4x2 ? 4x ?1 +2|x-2|等于( )

A.4x-5

B.-3

C.3

D.5-4x

答案:C

解 析 : 由 -2x2+5x-2 > 0, 得 1 < x < 2. 4x2 ? 4x ?1 ? 2 | x ? 2 |? 2
=2x-1+2(2-x)=2x-1+4-2x=3.

5.计算下列各式:

(2x ?1)2 +2|x-2|

(1)

(2a

2 3

b

1 2

c

?

1 3

)

?

(?6a

1 2

b

?1 3

c

2 3

)

?

(?3a

1 3

b

5 6

c

1 2

)

2



4

1

(2) x 3 ? 8x 3 y ? (1 ? 23 y ) ? 3 x .

2

2

x

4 y 3 ? 23 xy ? x 3





(1)





=

(3a

2 1 ?1
3b2c 3

)

?

(?6a

1 ?1
2b 3c

2 3

)

?

(9a

25
3b 3c)

?

?

2

?

6

a

1

?3

2 ?

2b 2c 3

?

?

4

a

1

?3

2 ?

2b 2c 3

.

9

3

(2)原式=

1

11

1

x3 (x ? 8y)

1
? (x3

1
? 2y3 )

?

x 3[(x 3 )2

?

(2

y

3

)

3

]

?

(

x

1 3

1
? 2y3 )

2

11

2

2

11

2

4y 3 ? 2x3 y3 ? x3

4y 3 ? 2x3 y3 ? x3

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

11

12

11

2

?

x3 (x3

? 2y 3 )(x 3

? 2x3 y3

? 4y3)

1
? (x 3

1
? 2y3 )

?

1
x3 .

2

11

2

4y 3 ? 2x3 y3 ? x3

6.求值:

1
(1)已知 a 2

?

a

?

1 2

=3,求

a+a-1,a2+a-2

的值;

1

1

(2)已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求 x 2 ? y 2 的值.

1

1

x2 ? y2

1

1

解:(1)∵( a 2

?

?
a2

)2=a+2+a-1=9,

∴a+a-1=7.

又(a+a-1)2=a2+2+a-2=49,

∴a2+a-2=47.

1

1

1

11

1

11

(2) x 2 ? y 2 ? (x 2 ? y 2 )(x 2 ? y 2 ) ? x ? 2x 2 y 2 ? y .

1

1

1

11

1

x? y

x 2 ? y 2 (x 2 ? y 2 )(x 2 ? y 2 )

∵x+y=12,xy=9, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. ∵x<y,

∴x-y=-2× 3 3 ? ?6 3 .

∴原式= 12 ? 6 ? ? 3 . ?6 3 3

30 分钟训练

1. [( ?

2)2

?1
]2

的值为(

)

A. 2

B. ? 2

答案:C

?1
解析:原式= 2 2 ?

1

?

2.

22

C. 2 2

D. ? 2 2

2. (3 6 a9 ) ? (6 3 a9 )4 的结果是( )

A.a16

B.a8

C.a4

答案:C

D.a2

解析:原式=( 3

9
a6

)4·( 6

9
a3

)4=(

a

3?1 23

)4·(

(a

3? 1 6

)

4

?

1?4
a2

?

a

1 2

?4

=a2·a2=a4.

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

3.某工厂在 1997 年年底制定生产计划,要使 2007 年年底总产值在原有基础上翻两番,则总产 值的年平均增长率为( )

1
A. 510 ?1

1
B. 410 ?1

1
C. 511 ?1
答案:B

1
D. 411 ?1

1
解析:由题意 m(1+x)10=4m,解得 x= 410 ?1 .

4.若 a=( 2 ? 3 )-1,b=( 2 ? 3 )-1,则(a+1)-2+(b+1)-2 的值是( )

A.1

B. 1

4

答案:D

C. 2

D. 2

2

3

解析:a= 1 ? 2 ? 3 ,b= 1 ? 2 ? 3 .

2? 3

2? 3

(a+1)-2+(b+1)-2= (3 ? 3)?2 ? (3 ? 3)?2

= 1 ? 1 ? (3 ? 3)2 ? (3 ? 3)2 ? 12 ? 6 3 ?12 ? 63 ? 24 ? 24 ? 2 (3 ? 3)2 (3 ? 3)2 (3 ? 3)2 ? (3 ? 3)2 [(3 ? 3)(3 ? 3)]2 62 36 3

.

?1

?1

?1

1 ?

1 ?

5.(探究题)若 S=(1+ 2 32 )(1+ 2 16 )(1+ 2 8 )(1+ 2 4 )(1+ 2 2 ),那么 S 等于( )

A.

1

(1

?

2

?1 32

)

?1

2

B.

(1

?

2

?

1 32

)

?1

?1
C.1 ? 2 32

D.

1

(1

?

?
2

1 32

)

2

答案:A 解析:原式

?1

?1

?1

?1

?1

?1

?1

?1

? (1 ? 2 32 )(1 ? 2 32 )(1 ? 2 16 )?(1 ? 2 2 ) ? (1 ? 2 16 )(1 ? 2 16 )(1 ? 2 8 )?(1 ? 2 2 )

?1

?1

1 ? 2 32

1 ? 2 32

?1

?1

=…= (1 ? 2 2 )(1 ? 2 2 )

?1

?

1 ? 2?1
?1

?

1

(1 ?

?1
2 32

) ?1 .

2

1 ? 2 32

1 ? 2 32

6.设 α 、β 是方程 2x2+3x+1=0 的两个根,则 2α ·2β =____________.

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

答案: 2 4

解析:由韦达定理,得 α +β = ? 3 . 2



·2β

=2α



=

?
2

3 2

?

1

?

2.

23 4

7.化简(1+ 2 )-1+( 2 + 3 )-1+( 3 +2)-1+…+( n + n ? 1 )-1 的结果是_____________.

答案: n ? 1 -1

解析:原式= ( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? n ? 1 ?1 .

8.已知 a= 2 7 ,b= 5 2 ,求

a6b?6 ? 9b4

? b5 的值.

a6b?6 ? 6a3b?1 ? 9b4 a3 ? 3b5

解:a6b-6-6a3b-1+9b4=(a3b-3-3b2)2,

由 a= 2 7 ,b= 5 2 ,得 a3b-3<3b2.

∴原式= (a3b?3 ? 3b2 )(a3b?3 ? 3b2 ) ? b5 ? ? (a3b?3 ? 3b2 )b5 ? ? (a3 ? 3b5 )b2

3b2 ? a3b?3

a3 ? 3b5

a3 ? 3b5

a3 ? 3b5

=-b2= ? (5 2 )2 =-50.

9.若 x>0,y>0,且 x( x ? y) ? 3 y( x ? 5 y),

求 2x ? 2 xy ? 3y 的值. x ? xy ? y

解: x( x ? y) ? 3 y( x ? 5 y)可化为 x ? 2 xy ?15y ? 0 .

因式分解得 ( x ? 5 y)( x ? 3 y) =0.

∵x>0,y>0,∴ x ? 5 y =0,即 x=25y.

∴ 2x ? 2 xy ? 3y ? 50y ? 10y ? 3y =3. x ? xy ? y 25y ? 5y ? y

?

10.(创新题)已知

x=

1

(5

1 n

1
? 5? n ) ,n∈N*,求(x+

1? x2 )n 的值.

2

解:∵x= 1

1
(5n

?

5

?

1 n

),∴1+x2=1+

1

1
(5n

?

?
5

1 n

)2=

1

[( 5

1 n

)2+2+(

?1
5n

)2]

2

4

4

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

=[ 1

1
(5n

?1
?5 n

)]2.

2

∴x?

1? x2

?

1

(5

1 n

1 ?)
?5 n

?

1

1
(5 n

1

1

?

?5 n ) ? 5n .

2

2

1
∴(x+ 1? x2 )n=( 5 n )n=5.

小学+初中+高中+努力=大学


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