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必修1+4模块数学试卷


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必修 1+4 模块数学试卷
(满分:100 分 考试时间:90 分钟) 一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1,已知集合 A ? {x | x2 ? 4 ? 0} ,则集合 A 的所有子集的个数是 A,1 B,2 C,3 2,已知集合 M ? {x | x ? 3}, N ? {x | log2 x ? 1} ,则 M ? N ? B, {x | 0 ? x ? 3} C, {x |1 ? x ? 3} ? ? ? ? 3,已知向量 a ? (2,3), b ? (cos? ,sin ? ) ,且 a // b ,则 tan ? ? 3 2 2 A, B, ? C, 2 3 3 4,函数 y ? ?3sin x ? 1 的最大值是 A, ? D,4 D, {x | 2 ? x ? 3}

D, ?

2 3

A,3 B, ?2 C,1 D,4 5,如图,半径为 r 的定圆,过坐标原点但不与 x 轴重合的动直线 l , x 轴的正半轴及圆围成了两 个区域,它们的面积分别为 m 和 n ,则 m 关于 n 的函数图象的可能形状为

??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 6,已知向量 a, b 不共线,且 AB ? a ? 4b , BC ? ?a ? 9b , CD ? 3a ? b ,则一定共线的三点是 A, A, B, D B, A, B, C C, B, C, D D, A, C, D
7,函数 f ( x) ? ( 2) x ? 3x 在区间( A, (?2, ?1) B,(0,1)
2

A

B

C

D

)内有零点. C, (?1, 0) D,(1,2)

8,函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 1 在区间 [2, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 A, (??,1] B, (??, 2] C, [1, ??) D, [2, ?? ) 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填在题中横线上

1 1 (? )0 ? 2?2 ? (2 ) 2 ? 9,计算: 4 ? 10,在 ?ABC 中, ?C ? 90 ,则 sin( A ? B) ? cos 2 A ? ? ? ? ? ? ? ? 11,已知 a 2 ? 1, b 2 ? 2,(a ? b ) ? a ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为
12,下表显示的是某商品从 4 月份到 10 月份的价格变化统计 6 7 8 9 x (月) 4 5 y (元) 15 16.9 19 20.8 23.1 25.2 10 27

在一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,这四个函数模型中,请确认最能代表上述变化的 函数,并预测该商品 12 月分的价格为 元(精确到整数) 13,若函数 f ( x) ? a sin( x ?

?

) ? b sin( x ? ), (ab ? 0 )是偶函数,则有序数对 ( a, b) 可以是 4 4

?

(写出你认为正确的一组即可)

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??? ? ? ? ???

三,解答题:本大题共 7 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14(本小题满分 6 分) 请将 MN 用 e1 , e2 表示.

在梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 2CD, M , N 分别是 CD, AB 的中点,设 AB ? e1, AD ? e2 ,

?

???? ?

? ?

15(本小题满分 6 分) 已知 sin(5? ? ? ) ?

2 ,求 cos(2? ? 2? ) 的值. 3

16(本小题满分 6 分) 已知 sin(? ? ? ) ?

33 5 ? ? , cos ? ? ? ,且 0 ? ? ? , ? ? ? ? ,求 sin ? 的值. 65 13 2 2

17(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间; (Ⅲ)若 f (? ) ?

3 ,求 sin 4? 的值. 4

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18(本小题满分 6 分) 求函数 y ?

2x ?1 , x ? [?5, ?3] 的最大值与最小值. x?2

19(本小题满分 8 分) 已知向量 a ? b ,| b |? 1 .

?

? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)对任意实数 t ,恒有 | a ? tb |?| a ? b | ,求证: (a ? b ) ? b .
(Ⅰ)若 | a |? 2,| a ? b |? 2 | a ? b | ,求向量 a 与 b 的夹角;

?

?

20(本小题满分 6 分) 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的 含药量 y (微克)与时间 t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲 线 (Ⅰ)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y ? f (t ) ; (Ⅱ)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗 疾病有效,求服药一次治疗该疾病有效的时间多少小时?

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必修 1+4 模块数学试卷 (参考答案)
(满分:100 分 考试时间:90 分钟) 一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1, 已 知 集 合 A ? { x | 2 x? 4 ? ,0 则 集 } (D) A,1 B,2 2, 已 知 集 合 M ? {x | x ? 3}, N (D) A, ? B, {x | 0 ? x ? 3} 3, 已 (A) A, 知 向 量 合 A 的 所 有 子 集 的 个 数 是 C,3 D,4 则

? {x | log2 x ? 1}
C, {x |1 ? x ? 3}

,

M ?N ?

? a ?(

? 2 b ,? 3 ?)

,?
C,

,( 且 c

? ? a s o // b

D, {x | 2 ? x ? 3} ,, 则 s D, ?

? itann ? )

x ?s i的 n最 1 4, 函 数 大 值 是 (D) A,3 B, ?2 C,1 D,4 5,如图,半径为 r 的定圆,过坐标原点但不与 x 轴重合的动直线 l , x 轴的正半轴及圆围成了两 个区域,它们的面积分别为 m 和 n ,则 m 关于 n 的函数图象的可能形状 (C)

3 2

B, ?

2 3 y ? ?3

2 3

2 3

??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 6,已知向量 a, b 不共线,且 AB ? a ? 4b , BC ? ?a ? 9b , CD ? 3a ? b ,则一定共线的三点是
(B) A, A, B, D 7, 函 数 (C) A, (?2, ?1) B, A, B, C C, B, C, D ) D, A, C, D 内 有 零 点 .

A

B

C

D

f ( x) ?

(x ? 2 )在 区 间 ( x 3
B,(0,1) C, (?1, 0)

D,(1,2)

8, 函 数 f ( x) ? x ? 2 (a? 1)x? 在 区 间 [2, ??) 上 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 1 (A) A, (??,1] B, (??, 2] C, [1, ??) D, [2, ?? ) 二,填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填在题中横线上
2

1 1 9,计算: (? ) ? 2 ? (2 ) 2 ? 4
0 ?2
?

11 8
0

10,在 ?ABC 中, ?C ? 90 ,则 sin( A ? B) ? cos 2 A ?

? ? ? ? ? ? ? 11,已知 a 2 ? 1, b 2 ? 2,(a ? b ) ? a ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为

45?
10 27

12,下表显示的是某商品从 4 月份到 10 月份的价格变化统计 6 7 8 9 x (月) 4 5 y (元) 15 16.9 19 20.8 23.1 25.2

在一次函数,二次函数,指数函数,对数函数,这四个函数模型中,请确认最能代表上述变化的
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函数,并预测该商品 12 月分的价格为 13,若函数 f ( x) ? a sin( x ?

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?
31 元(精确到整数)

) ? b sin( x ? ), (ab ? 0 )是偶函数,则有序数对 ( a, b) 可以是 4 4 (写出你认为正确的一组即可)( a , b 互为相反数,且不为 0 即可)

?

三,解答题:本大题共 7 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14(本小题满分 6 分)

? ? ???? ???? ??? ???? ? ? ? 【解:】由 MN ? MD ? DA ? AN (1) ???? ???? ??? ??? ? ? ? ? 又 MN ? MC ? CB ? BN (2) ? M , N 分别是 CD, AB 的中点, ???? ???? ? ???? ??? ? ? ? ? ? MD ? MC ? 0; AN ? BN ? 0
请将 MN 用 e1 , e2 表示. 所以由(1) (2)得

在梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 2CD, M , N 分别是 CD, AB 的中点,设 AB ? e1, AD ? e2 ,

??? ?

? ? ???

?

???? ?

???? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 2MN ? DA ? CB ? DA ? CD ? DA ? AB ??? 1 ??? ??? ? ? ? ??? 1 ??? ? ? ? 2 DA ? BA ? AB ? 2 DA ? AB 2 2 ???? ??? 1 ??? 1 ? ? ? ? ? MN ? DA ? AB ? e1 ? e2 4 4 另解:取 AN 的中点 E , MN // DE 且 MN ? DE 易得
15(本小题满分 6 分)

2 ,求 cos(2? ? 2? ) 的值. 3 2 2 【解:】由 sin(5? ? ? ) ? 得: sin ? ? ? 3 3 1 cos(2? ? 2? ) ? cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 9
已知 sin(5? ? ? ) ? 16(本小题满分 6 分) 已知 sin(? ? ? ) ?

33 5 ? ? , cos ? ? ? ,且 0 ? ? ? , ? ? ? ? ,求 sin ? 的值. 65 13 2 2 ? ? ? 3? 【解:】由 0 ? ? ? , ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 33 5 , cos ? ? ? 又 sin(? ? ? ) ? 65 13 56 12 cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? ,sin ? ? 65 13 3 sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? 5
17(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
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(Ⅲ)若 f (? ) ?

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(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间;

3 ,求 sin 4? 的值. 4

2 sin(2 x ? ) 故该函数的最小正周期为 ? 4 ? ? ? ? 3? ,k ?Z (Ⅱ)由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? x ?[0, ? ] 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [0, ] 和 [ , ? ] 8 8 3 3 9 7 ? sin 4 ? ? (Ⅲ) 因为 f (? ) ? ,所以 sin 2? ? cos 2? ? ? 1 ? sin 4 ? ? 4 4 16 16 7 sin 4? 的值为 16
【解:】(Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 18(本小题满分 6 分)

?

2x ?1 , x ? [?5, ?3] 的最大值与最小值. x?2 2x ?1 5 ? 2? 【解:】因为函数 y ? 可得该函数在 [?5, ?3] 上单调递增, x?2 x?2 11 所以 x ? ?5 时, ymin ? 3 x ? ?3 时, ymax ? 7
求函数 y ? 19(本小题满分 8 分) 已知向量 a ? b ,| b |? 1 .

?

? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)对任意实数 t ,恒有 | a ? tb |?| a ? b | ,求证: (a ? b ) ? b . 3 ? ? 【解:】(Ⅰ)两边平方,可得 cos a, b ? 4 ? ? ? ? (Ⅱ)两边平方,根据二次不等式恒成立,可得 (a ? b ?1) 2 ? 0 ? a ? b ? 1 即证
(Ⅰ)若 | a |? 2,| a ? b |? 2 | a ? b | ,求向量 a 与 b 的夹角;

?

?

20(本小题满分 6 分) 某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫升血液中的 含药量 y (微克)与时间 t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲 线 (Ⅰ)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y ? f (t ) ; (Ⅱ)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗 疾病有效,求服药一次治疗该疾病有效的时间多少小时?

?4t (0 ? t ? 1) ? 【解:】(Ⅰ) y ? f (t ) ? ? 1 t ?3 ?( 2 ) (t ? 1) ? 1 15 (Ⅱ) 0 ? t ? 1 时,由 4t ? 0.25 ? t ? ,治疗疾病的有效时间为 小时 16 16 1 t ? 1 时,由 ( )t ?3 ? 0.25 ? 1 ? t ? 5 ,治疗疾病的有效时间为 4 小时 2
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故治疗疾病的有效时间为 4 ?

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15 ? 4.9375 小时. 16

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