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4数学科目高二年级教案、函数的奇偶性、周期性


个性化教案
授课日期: 2013 年 7月 15 日

学生姓名 年 级 高二

教师姓名 学 科 数学

授课时长 课 型 一对一

2H

知识点:函数的奇偶性、周期性

教学目标 教学步骤及 教学方法

考点/重点:函数的奇偶性 培养的能力:知识能力,情感能力,实际动手能力,运算能力 由浅入深,由旧知识引出新知识,从知识点到解题,再到总结, 采取小步子原理,分化难题,最后解决难题

一、知识梳理
1 、 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 : ① 对 于 函 数 f (x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有 ,则称 f (x) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点 f (? x) ? ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 对 称 。 ② 对 于 函 数 f (x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有 f (? x) ? f ( x) 〔 或 ,则称 f (x) 为偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称。 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 〕 ③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称 (也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断 f ( x) ? ? f (? x) (2)利用定义的等价形式, f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

课程资料

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称 3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在 关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 . 若 f (x) 是偶函数,则 f ( x) ? f ( x ) (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个 f ( x) ? f (? x) 偶函数的和(或差) 。如设 f (x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ? ” , 2

G ( x) ?

f ( x) ? f (? x) 。 2

(4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. (5)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇= 奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. 中小学全脑教育培训专家 1/6

二、典型例题
题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)·

1? x ; 1? x

(3) f ( x) ?

? x(1 ? x) 1? x2 ; (4) f ( x) ? ? | x ? 2 | ?2 ? x(1 ? x)

( x ? 0), ( x ? 0).

例 2(1) .(2009 年高考福建卷)定义在 R 上的偶 函数 f(x)的部分图象如右图所示, 则在(-2,0)上 , 下列函数中与 f(x)的单调性不同的是( ) 2 A.y=x +1 B.y=|x|+1 ?2x+1,x≥0 ?ex,x≥0 ? ? C.y=? 3 D.y=? -x ?x +1,x<0 ?e ,x<0 ? ? (2) .(2009 年高考陕西卷)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意 的 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,则当 n∈N* 时,有( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)
变式练习

1.对于定义在 R 上的任何奇函数,均有( A.f(x)· f(-x)≤0 B.f(x)-f(-x)≤0 Cf(x)· f(-x)> D.f(x)-f(-x)>0
中小学全脑教育培训专家 2/6

)

2.(2010 年重庆联合诊断) 已知函数 f(x)的定义域为 [a,b],函数 y=f(x)的图象 如下图所示,则函数 f(|x|) 的图象是( ) 3. R 上定义的函数 在 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2 -x),若 f(x)在区间[1,2]上 是减函数,则 f(x)( ) A.在区间[-2,-1] 上是增函数,在区间[3,4] 上是增函数 B.在区间[-2,-1] 上是增函数,在区间[3,4] 上是减函数 C.在区间[-2,-1] 上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
题型 2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 .(09 年山东)定义在区间 (?1,1) 上的函数 f (x)满足:对任意的 x, y ? (?1,1) ,都 有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ) . 求证 f (x)为奇函数; 1 ? xy

变式练习 1.(1)函数 f (x) , x ? R ,若对于任意实数 a, b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证:

f (x) 为奇函数。

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(2)设函数 f (x) 定义在 (?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是奇函 数。

考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例1. 已知奇函数 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求 实数 m 的取值范围。

变式练习 1.已知函数 f(x)=x3+x,对任意的 m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0 恒成立,则 x 的取值范 围为________. 2.已知函数 f(x)在定义域[-2,2]内递减,求满足 f(1-m)+f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范 围.

?-x +2x,x>0 ? x=0 3.已知函数 f(x)=?0, ?x2+mx, x<0 ?

2

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

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周期性: 1.函数的周期性的定义:对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内 的每一个 x 值,都满足 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫 做这个函数的周期。 2.周期性的性质 (1) y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) , y ? f ( x) 必是周期函数, 若 则 且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; (2)若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数, 且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; (3)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则 函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) 周期为 2 a 的周期函数; ③若 f ( x ? a) ? 成立,则 T ? 2a . 1.若 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (x) 的周期是____; 2.若 f ( x ? 1) ? 则 T=|b-a|;②函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是

1 1 (a ? 0) 恒成立, T ? 2a ; (a ? 0) 恒 则 ④若 f ( x ? a) ? ? f ( x) f ( x)

1 ,则 f (x) 的周期是____; f ( x) 1 ,则 f (x) 的周期是____; f ( x)

3. 若 f ( x ? 1) ? ?

4.若 f (x) 是偶函数,且图象关于 x ? 2 对称,则 f (x) 的周期是____; 练习:

1、已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , (1)求证: f ( x) 是奇函数; (2)若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) .

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2、设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R .
2

(1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最小值.

1. (2010 年皖南八校联考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, f(-3)=-2, f(3)+f(0) 且 则 =( ) A.3 B.-3 C.2 D.7 1 2.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(| |)<f(1)的实数 x 的取值范围是( ) x A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 1 3.(原创题)已知 f(x)=x2+x,则 f(a+ )________f(1).(填“≤”“≥”). a 4(2008 辽宁卷 12)设 f ( x) 是连续的偶函数,且当 x>0 时 f ( x) 是单调函数,则满足

? x?3? f ( x) ? f ? ? 的所有 x 之和为 ? x?4?

作业布置

5 (安徽卷 11) 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,
x

则有(

) A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3) B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

5.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当 x<0 时,f(x)=________. 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 7.(2008 年高考上海卷)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域 为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)=________________. 8.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? cos x ? sin x ? 1 ( x ? R) 的最大值为M,最小值为m,则M+m= x 2 ? cos x ? 1

学生表现

上次作业完成情况 优秀 良好 一般

良好 教师签字:

本次课堂表现 优秀

一般

学生满意度 审阅者签字

非常满意

满意

一般

学生签字: 教研负责人签字:

注:教师每次上课前,把教案交给校区教研负责人审阅,反馈修改意见,并把教案电子档发给校区教研负责人存档,至少一周 一报告。校区教研负责人每月 1 号把上月教案分科目分年级发给总部教研负责人。

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