koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


2016-2017 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.复数 i(2﹣i)在复平面内对应的点的坐标为( A.(﹣2,1) B.(2,﹣1) )

C.(1,2) D.(﹣1,2) )

2.抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为( A. B.1 C.2 D.3

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( A. B.y=﹣x2 C.y=log2x =0,( D.2 D.y=|x|+1 )? =2,则| |=( )



4.已知向量 , 满足 A. B.1 C.

5.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》,若输入 a 的值为 16,b 的值为 24,则执行 该程序框图的结果为( )

A.6

B.7

C.8

D.9 ”的( )

6.在△ABC 中,“A<30°”是“

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

-1-

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知某四棱锥的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.2

D.

8.如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 AD,B1C1 上的动点,设 AE=x, B1F=y,若棱 DD1 与平面 BEF 有公共点,则 x+y 的取值范围是( )

A. B.[ , ] C. D.[ ,2]

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知双曲线 C: ,则双曲线 C 的一条渐近线的方程为 . . .

10.已知数列{an} 满足 an+1﹣an=2,n∈N*,且 a3=3,则 a1= 11.已知圆 C:x +y ﹣2x=0,则圆心 C 的坐标为 12.已知 x,y 满足 ,则 2x+y 的最大值为
2 2

,其前 n 项和 Sn=

,圆 C 截直线 y=x 的弦长为 .

13.如图所示,点 D 在线段 AB 上,∠CAD=30°,∠CDB=50°.给出下列三组条件(给出线 段的长度): ①AD,DB

-2-

②AC,DB ③CD,DB 其中,能使△ABC 唯一确定的条件的序号为 .(写出所有所和要求的条件的序号)

14.已知 A、B 两所大学的专业设置都相同(专业数均不小于 2),数据显示,A 大学的各专 业的男女生比例均高于 B 大学的相应专业的男女生比例(男女生比例是指男生人数与女生人 数的比). 据此, 甲同学说:“A 大学的男女生比例一定高于 B 大学的男女生比例”; 乙同学说:“A 大学的男女生比例不一定高于 B 大学的男女生比例”; 丙同学说:“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于 B 大学的男女生比例”. 其中,说法正确的同学是 .

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(13 分)已知数列{an} 是各项均为正数的等比数列,且 a2=1,a3+a4=6 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)设数列{an﹣n} 的前 n 项和为 Sn,比较 S4 和 S5 的大小,并说明理由. 16.(13 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x) 的定义域及 (Ⅱ)求 f(x) 在 的值; 上的单调递增区间.

17.(13 分)诚信是立身之本,道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”,既便于学生用 水,又推进诚信教育,并用“ ”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析,以四周为一个周期,下 表为该水站连续八周(共两个周期)的诚信度数据统计,如表 1: 第一周 第一个周期 第二个周期 95% 94% 第二周 98% 94% 第三周 92% 83% 第四周 88% 80%

-3-

(Ⅰ)计算表 1 中八周水站诚信度的平均数 (Ⅱ)从表 1 诚信度超过 91% 的数据中,随机抽取 2 个,求至少有 1 个数据出现在第二个周 期的概率; (Ⅲ)学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落,为此学生会举行了“以 诚信为本”主题教育活动,并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据,如表 2: 第一周 第三个周期 85% 第二周 92% 第三周 95% 第四周 96%

请根据提供的数据,判断该主题教育活动是否有效,并根据已有数据说明理由. 18.(14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥DC,CD=2AB,AD⊥CD,E 为 棱 PD 的中点. (Ⅰ)求证:CD⊥AE; (Ⅱ)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (Ⅲ)试判断 PB 与平面 AEC 是否平行?并说明理由.

19 .( 13 分)已知椭圆

的离心率为

,直线 l 过椭圆 G 的右顶点 A(2,0),且交椭圆 G 于另一点 C (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)若以 AC 为直径的圆经过椭圆 G 的上顶点 B,求直线 l 的方程. 20.(14 分)已知函数 .

(Ⅰ)求曲线 y=f(x) 在函数 f(x) 零点处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y=f(x) 的单调区间; ( Ⅲ ) 若 关 于 x 的 方 程 f ( x ) =a 恰 有 两 个 不 同 的 实 根 x1 , x2 , 且 x1 < x2 , 求 证 :

-4-



-5-

2016-2017 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.复数 i(2﹣i)在复平面内对应的点的坐标为( A.(﹣2,1) B.(2,﹣1) )

C.(1,2) D.(﹣1,2)

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解答】解:复数 i(2﹣i)=2i+1 在复平面内对应的点的坐标为(1,2), 故选:C. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

2.抛物线 y =2x 的焦点到准线的距离为( A. B.1 C.2 D.3

2



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】利用抛物线的方程求出 p 即可得到结果. 【解答】解:抛物线 y =2x 的焦点到准线的距离为:p=1. 故选:B. 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,是基础题.
2

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( A. B.y=﹣x2 C.y=log2x D.y=|x|+1



【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可. 【解答】解:A. 是减函数,为非奇非偶函数,不满足条件.

B.y=﹣x2 是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,不满足条件. C.y=log2x 在区间(0,+∞)上单调递增,为非奇非偶函数,不满足条件.
-6-

D.y=|x|+1 是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增,满足条件. 故选:D 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调 性的性质.

4.已知向量 A. B.1



满足 C. D.2

=0,(

)?

=2,则|

|=(



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得 【解答】解:∵向量 =2 故选:C. 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题. ﹣ = , 满足 =2,则| |= =2,可得| |的值. )? = ﹣

=0 ,( ,

5.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》,若输入 a 的值为 16,b 的值为 24,则执行 该程序框图的结果为( )

A.6

B.7

C.8

D.9

-7-

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,根据程序流程,依次判断写出 a,b 的值,可得当 a=b=8 时,不满 足条件 a≠b,输出 a 的值为 8,即可得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得 a=16,b=24 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=24﹣16=8, 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=16﹣8=8, 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 8. 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是循环结构,当循环次数不多时,多采用模拟循环的方法,本题 属于基础题.

6.在△ABC 中,“A<30°”是“ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

”的(



【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】解:由 则 A<30°”是“ 故选:A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据三角函数值的关系是解决本题的关 键. ,则 0°<A<30°或 150°<A<180°, ”的充分不必要条件,

7.已知某四棱锥的三视图如右图所示,则该几何体的体积为(



-8-

A.

B.

C.2

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知,几何体是以俯视图为底面,高为 2 的四棱锥,即可求出体积. 【解答】解:由三视图可知,几何体是以俯视图为底面,高为 2 的四棱锥, 体积为 故选 B. 【点评】本题考查几何体体积的计算,考查三视图与直观图的转化,确定直观图的形状是关 键. = ,

8.如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 AD,B1C1 上的动点,设 AE=x, B1F=y,若棱 DD1 与平面 BEF 有公共点,则 x+y 的取值范围是( )

A. B.[



] C. D.[

,2]

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】由题意,若 x=y=1,则棱 DD1 与平面 BEF 交于点 D,若 x=1,y=0,则棱 DD1 与平面 BEF 交于线段 DD1,即可得出结论. 【解答】解:由题意,若 x=y=1,则棱 DD1 与平面 BEF 交于点 D,符合题意; 若 x=1,y=0,则棱 DD1 与平面 BEF 交于线段 DD1,符合题意.
-9-

故选 C. 【点评】本题考查线面位置关系,考查特殊法的运用,属于中档题.

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 已知双曲线 C: ﹣2x) . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出 a 和 b 的值,再根据焦点在 x 轴上,求出渐近线方程. 【解答】解:由双曲线 C: 则双曲线 C 的渐近线方程为 y=±2x, 故答案为:y=2x 或(y=﹣2x). 【点评】本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用. 得到 a=1,b=2, , 则双曲线 C 的一条渐近线的方程为 y=2x 或 (y=

10. 已知数列{an} 满足 an+1﹣an=2, n∈N , 且 a3=3, 则 a1= ﹣1 , 其前 n 项和 Sn= 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 【分析】推导出数列{an} 是公差 d=2 的等差数列,由此能求出首项和前 n 项和. 【解答】解:∵数列{an} 满足 an+1﹣an=2,n∈N*,且 a3=3, ∴数列{an} 是公差 d=2 的等差数列, ∴a3=a1+2d=a1+4=3, 解得 a1=﹣1, ∴Sn= 故答案为:﹣1,n2﹣2n. =﹣1+

*

n ﹣2n .

2

=n2﹣2n.

【点评】本题考查数列的首项和前 n 项和的求法,是基础题,解题时要 认真审题,注意等差 数列的性质的合理运用.

11. 已知圆 C: x2+y2﹣2x=0, 则圆心 C 的坐标为 (1, 0) , 圆 C 截直线 y=x 的弦长为 【考点】直线与圆的位置关系.



- 10 -

【分析】将圆 C 方程化为标准形式,找出圆 C 的半径及圆心坐标即可;利用点到直线的距离 公式,求直线 l 与圆心 C 的距离,即可求出圆 C 截直线 y=x 的弦长. 【解答】解:圆 C 方程 x2+y2﹣2x=0 化为标准方程得:(x﹣1)2+y2=1, 则圆 C 的半径为 1,圆心 C 坐标为(1,0); 圆心 C(1,0)到直线 l:x﹣y=0 的距离 d= ∴圆 C 截直线 y=x 的弦长为 2 故答案为(1,0), . = , ,

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,圆的标准方程与一般方程的转化,考查计算能力.

12.已知 x,y 满足 【考点】简单线性规划.

,则 2x+y 的最大值为 10 .

【分析】根据目标函数的解析式形式,分析目标函数的几何意义,然后判断目标函数取得最 优解的点的坐标,即可求解 【解答】解:令 z=2x+y,则 y=﹣2x+z, 则 z 表示直线 y=﹣2x+z 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越大 作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分 做直线 2x+y=0,然后把直线 2x+y=0 向上平移,结合图形可知,当直线平移到 B 时,z 最大 由 故答案为:10 可得 B(4,2),此时 z=10

- 11 -

【点评】本题考查线性规划知识的运用,考查学生的计算能力,考查数形结合的数学思想

13.如图所示,点 D 在线段 AB 上,∠CAD=30°,∠CDB=50°.给出下列三组条件(给出线 段的长度): ①AD,DB ②AC,DB ③CD,DB 其中,能使△ABC 唯一确定的条件的序号为 ①②③ .(写出所有所和要求的条件的序号)

【考点】正弦定理. 【 分 析 】 由 已 知 及 正 弦 定 理 可 得

,结合余弦定理即可得 解. 【解答】解:∵∠CAD=30°,∠CDB=50°. ∴可得:∠ACD=20°, ∴在△ACD 中,可得 给一边,可求另外两边,进而利用正弦定理,余弦定理可求△ABC 的各边及角. 故答案为:①②③. ,即

- 12 -

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于 基础题.

14.已知 A、B 两所大学的专业设置都相同(专业数均不小于 2),数据显示,A 大学的各专 业的男女生比例均高于 B 大学的相应专业的男女生比例(男女生比例是指男生人数与女生人 数的比). 据此, 甲同学说:“A 大学的男女生比例一定高于 B 大学的男女生比例”; 乙同学说:“A 大学的男女生比例不一定高于 B 大学的男女生比例”; 丙同学说:“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于 B 大学的男女生比例”. 其中,说法正确的同学是 乙 . 【考点】进行简单的合情推理. 【分析】根据 A 大学的各专业的男女生比例均高于 B 大学的相应专业的男女生比例(男女生 比例是指男生人数与女生人数的比),可知甲、丙不一定正确,即可得出结论. 【解答】解:根据 A 大学的各专业的男女生比例均高于 B 大学的相应专业的男女生比例(男 女生比例是指男生人数与女生人数的比),可知甲、丙不一定正确,A 大学的男女生比例有可 能等于 B 大学的男女生比例,即 A 大学的男女生比例不一定高于 B 大学的男女生比例 故答案为乙 【点评】本小题情境通俗易懂,主要考查逻辑思维和推理能力,难度不大.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(13 分)(2016 秋?海淀区期末)已知数列{an} 是各项均为正数的等比数列,且 a2=1, a3+a4=6 (Ⅰ)求数列{an} 的通项公式; (Ⅱ)设数列{an﹣n} 的前 n 项和为 Sn,比较 S4 和 S5 的大小,并说明理由. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(I)利用等比数列的通项公式即可得出. (Ⅱ)由数列{an﹣n} 的前 n 项和 Sn 的意义可得 S5﹣S4=a5﹣5,进而得出. 【解答】解:(Ⅰ)设数列{an} 的公比为 q,由 a3+a4=6, 可得 又 a2=1,所以 q+q2=6,

- 13 -

解得 q=2 或 q=﹣3, 因为 an>0 (n=1,2,3,?),所以 .

所以 q=2,解得 所以,数列{an} 的通项

, ..

(Ⅱ)由数列{an﹣n} 的前 n 项和 Sn 的意义可得 S5﹣S4=a5﹣5, 所以 所以 S5>S4. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. ,

16. (13 分) (2016 秋?海淀区期末) 已知函数 (Ⅰ)求 f(x) 的定义域及 (Ⅱ)求 f(x) 在 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】(Ⅰ)根据函数成立的条件,结合三角函数的性质进行求解即可. (Ⅱ)将函数进行化简,利用三角函数的单调性进行求解即可. 【解答】解:(Ⅰ)由 cosx≠0,可得 x≠kπ + 所以 f(x)的定义域为 ,k∈Z, , 的值; 上的单调递增区间.

. (

. Ⅱ = =2sinx+2cosx= , . )

因为

,所以

- 14 -

因为函数 y=sinx 在 所 以

上单调递增, 时 单调递增, ,

此时 所以,函数 f(x)在

, 上的单调递增区间为 .

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用条件将函数进行化简是解决本题的关键.

17.(13 分)(2016 秋?海淀区期末)诚信是立身之本,道德之基.某校学生会创设了“诚 信水站”,既便于学生用水,又推进诚信教育,并用“ ”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析,以四 周为一个周期,下表为该水站连续八周(共两个周期)的诚信度数据统计,如表 1: 第一周 第一个周期 第二个周期 95% 94% 第二周 98% 94% 第三周 92% 83% 第四周 88% 80%

(Ⅰ)计算表 1 中八周水站诚信度的平均数 (Ⅱ)从表 1 诚信度超过 91% 的数据中,随机抽取 2 个,求至少有 1 个数据出现在第二个周 期的概率; (Ⅲ)学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落,为此学生会举行了“以 诚信为本”主题教育活动,并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据,如表 2: 第一周 第三个周期 85% 第二周 92% 第三周 95% 第四周 96%

请根据提供的数据,判断该主题教育活动是否有效,并根据已有数据说明理由. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【分析】(Ⅰ)由数据统计表能求出八周诚信水站诚信度的平均数. (Ⅱ)表 1 中超过 91% 的数据共有 5 个,其中第一个周期有 3 个,分别记为 a1、a2、a3,第二 个周期有 2 个,分别记为 b1、b2,由此利用列举法能求出设至少有 1 个数据出现在第二个周期 的概率. (Ⅲ)根据提供的数据,判断该主题教育活动有效.
- 15 -

【解答】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)八周诚信水站诚信度的平均数为 = .

(Ⅱ)表 1 中超过 91% 的数据共有 5 个,其中第一个周期有 3 个,分别记为 a1、a2、a3, 第二个周期有 2 个,分别记为 b1、b2, 从这 5 个数据中任取 2 个共有 10 种情况: a1a2,a1a3,a1b1,a1b2,a2a3,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,b1b2. 其中至少有 1 个数据出现在第二个周期有 7 种情况. 设至少有 1 个数据出现在第二个周期为事件 A 则 (Ⅲ)有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况: ①第三个周期水站诚信度的平均数 92% 高于第二个周期的诚信度平均数 87.75%; ②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言,呈逐步上升趋势; ③第三个周期水站诚信度的平均数 92% 高于第一、二个周期的诚信度平均数 90.5%; ④12 周的整体诚信度平均数为 91%,高于前两个周期的诚信度的平均数 90.5%; 【点评】本题考查数据统计表的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 意列举法的合理运用. .

18.(14 分)(2016 秋?海淀区期末)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥DC, CD=2AB,AD⊥CD,E 为棱 PD 的中点. (Ⅰ)求证:CD⊥AE; (Ⅱ)求证:平面 PAB⊥平面 PAD; (Ⅲ)试判断 PB 与平面 AEC 是否平行?并说明理由.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

- 16 -

【分析】(Ⅰ)PD⊥底面 ABCD,DC? 底面 ABCD? PD⊥DC.又 AD⊥DC,AD∩PD=D 故 CD⊥平面 PAD.又 AE? 平面 PAD,得 CD⊥AE. (Ⅱ) 由 AB∥DC, CD⊥平面 PAD, ? AB⊥平面 PAD. 又由 AB? 平面 PAB, 得平面 PAB⊥平面 PAD. (Ⅲ)PB 与平面 AEC 不平行.假设 PB∥平面 AEC,由已知得到 OB=OD 矛盾. 【解答】解:(Ⅰ)因为 PD⊥底面 ABCD,DC? 底面 ABCD, 所以 PD⊥DC.又 AD⊥DC,AD∩PD=D 故 CD⊥平面 PAD. 又 AE? 平面 PAD,所以 CD⊥AE. (Ⅱ)因为 AB∥DC,CD⊥平面 PAD,所以 AB⊥平面 PAD. 又因为 AB? 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD. (Ⅲ)PB 与平面 AEC 不平行. 假设 PB∥平面 AEC, 设 BD∩AC=O,连结 OE,则平面 EAC∩平面 PDB=OE,又 PB? 平面 PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 所以 PB∥OE.所以,在△PDB 中有 由 E 是 PD 中点可得 因为 AB∥DC,所以 所以假设错误,PB 与平面 AEC 不平行. (注:答案中标灰部分,实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件,故没写不扣分) = , ,这与

,即 OB=OD. ,这与 OB=OD 矛盾,

【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定,属于基础题.

- 17 -

19 . ( 13

分 ) ( 2016

秋 ? 海 淀 区 期 末 ) 已 知 椭 圆 的离心率为 ,直线 l 过椭圆 G

的右顶点 A(2,0),且交椭圆 G 于另一点 C (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)若以 AC 为直径的圆经过椭圆 G 的上顶点 B,求直线 l 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由题设可得 (Ⅱ)法 1:以 AC 为直径的圆经过点 B 等价于 利用数量积运算性质可得: 又 C(xC,yC) 在椭圆 G 上,可得 ,及其 a2=b2+c2,解出即可得出. .由题设可得 B(0,1), . ,解出即可得出.

法 2:由题意,直线 l 的斜率一定存在,故设直线 l 为 y=k(x﹣2),与椭圆方程联立可得 (1+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.利用根与系数的关系可得:由题设可得以 AC 为直径的圆经过 点 B(0,1)等价于 【解答】解:(Ⅰ)由题设可得 解得
2 2 2

.解出即可得出. ,

, , .. . ,

因为 a =b +c ,所以 所以椭圆 G 的标准方程为 (Ⅱ)法 1:以 AC 为直径的圆经过点 B 等价于 由 题 设 可 得

B ( 0 , 1 ) , 所 以 ,

所以



又 C(xC,yC) 在椭圆 G 上,所以





,可得



- 18 -

解得 xC=0 或 所以 C(0,1)或

, ,

所以,直线 l 方程为 x+2y﹣2=0 或 3x﹣10y﹣6=0. 法 2:由题意,直线 l 的斜率一定存在,故设直线 l 为 y=k(x﹣2), 由 ,可得(1+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣4=0.

△>0,



又因为 xA=2,所以

. . 以

由题设可得以 AC 为直径的圆经过点 B(0,1)等价于 所







解得





所以,直线 l 方程为 x+2y﹣2=0 或 3x﹣10y﹣6=0. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运 算性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20.(14 分)(2016 秋?海淀区期末)已知函数 (Ⅰ)求曲线 y=f(x) 在函数 f(x) 零点处的切线方程; (Ⅱ)求函数 y=f(x) 的单调区间;



( Ⅲ ) 若 关 于 x 的 方 程 f ( x ) =a 恰 有 两 个 不 同 的 实 根 x1 , x2 , 且 x1 < x2 , 求 证 : . 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

- 19 -

【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,计算切线的斜率,从而求出切线方程即可; (Ⅱ)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间即可; (Ⅲ)根据函数的单调性得到方程 f(x)=a 有两个不同的实根 x1,x2 时,必有 0<a<1,且 e﹣1<x1<1<x2,从而证出结论. 【解答】解:(Ⅰ)令 f(x)=0,得 所以,函数 f(x) 零点为 由 , ,





所以

, ,

所以曲线 y=f(x) 在零点处的切线方程为 即 y=e x﹣e. (Ⅱ)由函数 令 f'(x)=0,得 x=1. 所以,在区间(0,1)上,f'(x)>0; 在区间(1,+∞) 上,f'(x)<0. 故函数 f(x) 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞); (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f(x) 在(0,e ) 上 f(x)<0, 在(e﹣1,+∞) 上 f(x)>0. 由(Ⅱ)结论可知,函数 f(x) 在 x=1 处取得极大值 f(1)=1, 所以,方程 f(x)=a 有两个不同的实根 x1,x2 时, 必有 0<a<1,且 e <x1<1<x2, 法 1:所以 由 f(x) 在(1,+∞) 上单调递减可知 所以 ; , ,
﹣1 ﹣1 2

得定义域为(0,+∞).

法 2:由 f(x)=a,可得 lnx+1=ax,两个方程同解.

- 20 -

设 g(x)=lnx+1﹣ax,则 当 0<a<1 时,由 g'(x)=0,得 ,



所以 g(x),g'(x) 在区间(0,+∞) 上的情况如下: x g'(x) g(x) 所以 + ↗ , 0 极小 ,所以 ﹣ ↘ .

【点评】本题考查了切线方程问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道综合题.

- 21 -


推荐相关:

北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word....doc

北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题共...


...海淀区高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析版....doc

2017届北京市海淀区高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析版_高中教育_教育专区。2018届高三适应性月考模拟考试综合练习期末测验试题Word版含解析版 ...


北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word....doc

北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题共...


北京市西城区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word....doc

北京市西城区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_...2016-2017 学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题:本大题...


...区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含答....doc

北京市昌平区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本...


...届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市海淀区2019届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 - 温馨


...届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市海淀区2019届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 - 北京市海淀区 2018-2019 学年高三上学期期末数学试卷(文科) 金 榜题名,高考必胜!蝉鸣声里...


...学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 - 北京市 2016-2017 学年高三上学期期末试卷 (文科数学) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5...


北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(全....doc

北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题(Word版,含答案) - 海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2017.1 本试卷共 4 页,150 分。考试时长...


...学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市海淀区2018-2019学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 - 温馨提示:多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中...


...届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市海淀区2019届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析 - 2018-2019 学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 ...


2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 ...


北京市海淀区2019届高三上学期期末数学试卷(理科) Word....doc

北京市海淀区2019届高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区 2018-2019 学年高三上学期期末数学试卷(理科) 金 榜题名...


...届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市西城区2019届高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 - 温馨


...学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市房山区2018-2019学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 - 2018-2019 学年北京市房山区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(共 8 小题,每...


...学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析.doc

北京市通州区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析 - 2017-2018 学年北京市通州区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(共 8 小题,每...


...2017年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科)与答....doc

【真题】2016-2017北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案 - 2016-2017 学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题共 8 小题,每小...


...高三上学期期末联考数学试卷(文科) Word版含解析.doc

重庆市2016-2017学年高三上学期期末联考数学试卷(文科) Word版含解析 - 重庆市 2016-2017 学年高三上学期期末联考试卷 (文科数学) 一、选择题:本大题共 12 ...


...届北京市东城区高三上学期期末数学试卷(文科)word文....doc

2018届北京市东城区高三上学期期末数学试卷(文科)word文档有答案含解析 -


2019年北京市海淀区高三上学期期末考试数学(文)试题 Wo....doc

2019年北京市海淀区高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案 - 祝

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com