koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> >>

高等数学常用概念及公式

高等数学常用概念及公式

? 极限的概念

当 x 无限增大(x→∞)或 x 无限的趋近于 x0(x→x0)时,函数 f(x)无限

的趋近于常数 A,则称函数 f(x)当 x→∞或 x→x0 时,以常数 A 为极限,记

作:

limf(x)=A 或limf(x)=A

x??

x ? x0

? 导数的概念

设函数 y=f(x)在点 x0 某邻域内有定义,对自变量的增量Δ x=x-x0,函数有

增量Δ

y=f(x)-f(x0),如果增量比

?y ?x

当Δ

x→0

时有极限,则称函数

f(x)在点

x0 可导,并把该极限值叫函数 y=f(x)在点 x0 的导数,记为 f’(x0),即

lim lim f’(x0)=

?y =

f (x) ? f (x0 )

?x ?x?0

x ? x0

x ? x0

也可以记为

y’=|x=x0,

dy dx

|x=x0



df (x) dx

|x=x0

? 函数的微分概念

设函数 y=f(x)在某区间内有定义,x 及 x+Δ x 都在此区间内,如果函数

的增量

Δ y=f(x+Δ x)-f(x)可表示成Δ y=AΔ x+α Δ x

其中 A 是常数或只是 x 的函数,而与Δ x 无关,α 当Δ x→0 时是无穷小量

(即α Δ x 这一项是个比Δ x 更高阶的无穷小),那么称函数 y=f(x)在点 x

可微,而 AΔ x 叫函数 y=f(x)在点 x 的微分。记作 dy,即:

dy=AΔ x=f’(x)dx

? 不定积分的概念

原函数:设 f(x)是定义在某个区间上的已知函数,如果存在一个函数

F(x),对于该区间上每一点都满足

F’(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx

则称函数 F(x)是已知函数 f(x)在该区间上的一个原函数。

不定积分:设 F(x)是函数 f(x)的任意一个原函数,则所有原函数 F(x)+c(c

为任意常数)叫做函数 f(x)的不定积分,记作

求已知函数的原函数的方法,叫不定积分法,简称积分法。

其中“ ? ”是不定积分的记号;f(x)称为被积函数;f(x)dx 称为被积表达
式;x 称为积分变量;c 为任意实数,称为积分常数。

? 定积分的概念

设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,用分点

a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b,把区间[a,b]任意分成 n 个小区间 [xi-1,xi](i=1,2,…,n)每个小区间的长度为Δ xi=xi-xi-1(i=1,2,…,n),在每 个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξ i,作和式

n
? In= f (?i )?xi i ?1

当分点无限增加(n→∞)且所有小区间长度中的最大值λ =max{Δ xi}→0

时,和式 In 的极限,叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作

b
?a

f

(x)dx ,即

? lim ? = b

n

f (x)dx
a

f (?i?xi )
n??(? ?0) i?1

其中 f(x)称为被积函数,b 和 a 分别称为定积分的上限和下限,区间[a,b]

叫积分区间,x 为积分变量。

? 极限的性质及运算法则

无穷小的概念:若函数 f(x)当 x→x0(或 x→∞)时的极限为零,则称 f(x)当 x →x0(或 x→∞)时为无穷小量,简称无穷小。须要注意的是,无穷小是变 量,不能与一个很小的数混为一谈。

无穷小的性质:性质 1:有限个无穷小的代数和也是无穷小。性质 2:有

界函数与无穷小的乘积也是无穷小。推论 1:常数与无穷小的乘积也是无

穷小。推论 2:有限个无穷小的乘积也是无穷小。

无穷大的概念:若当 x→x0(或 x→∞)时,函数 f(x)的绝对值无限增大,则 称函数 f(x)当 x→x0(或 x→∞)时为无穷大量,简称无穷大。注意无穷大是 变量,不能与一个绝对值很大的数混为一谈;另外,一个变量是无穷

大,也不能脱离开自变量的变化过程。

无穷大与无穷小的关系:定理:在同一变化过程中,若 f(x)为无穷大,则

f

1 (x)

为无穷小;反之,若

f(x)为无穷小,且

f(x)≠0,则

f

1 (x)

就为无穷大。

极限运算法则:

法则 1:lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A+B

法则 2:lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B

特别的:limcf(x)=c·limf(x)=c·A(c 为常数)

法则

3:lim

f g

(x) (x)

=

lim lim

f g

(x) (x)

=

A B

(其中

B≠0)

注意用法则 3 求极限时:如果分子、分母均为无穷大,可先将其变成无穷

小;如果均为无穷小,就用约分及分子分母有理化来解;以上情况均可

用导数的应用中的罗必塔法则求解。

两个重要极限:重要极限

1:

lim x?0

sin x

x

=1==》

lim ()?0

sin() ()

=1

重要极限

2: lim (1+ x??

1 x

)x=e=》 lim (1+ ()??

1 ()

)()=e

或lim ()?0

1
(1+())()=e

等价无穷小(x→0):在求极限过程中经常使用等价无穷小互相代替

sin x ~ x ; tan x ~ x ; arcsin x ~ x ; arctan x ~ x ; ln(1? x) ~ x ; ex ?1 ~ x ;

1? cos x ~ 1 x2 ; 1? x ?1 ~ 1 x ; ax ?1 ~ x ln a .

2

2

? 导数的性质、求导法则及常用求导公式

连续的概念:若函数 f(x)在 x0 的某邻域内有定义,当 x→x0 时,函数的极
限存在,且极限值等于函数在 x0 处的函数值 f(x0)即limf(x)=f(x0)则称函数 x?x0
在 x0 处是连续的。 连续与可导的关系:定理:若函数 f(x)在点 x0 处可导,则函数在点 x0 处连 续。(连续是可导的必要条件,其逆命题不成立,即函数在某一点连续,

但在该点不一定可导)

导数的计算步骤(按定义计算):

第一步求增量,在 x 处给自变量增量Δ x,计算函数增量Δ y,即Δ y=f(x+

Δ x)-f(x);

第二步算比值,写出并化简比式:

Δy Δx

=

f

( x+Δx ) Δx

- f (x)

;(化简比式的关键

是使分式中仅分母或分子中含有Δ x 项,避免出现 0 或 ? )
0?

第三步取极限,计算极限

lim
?x?0

Δy Δx

=f’(x)

常用基本初等函数的导数公式:

? ? ? ? ? ? x? / ? ? x??1 ; ax / ? ax ln a ; ex / ? ex ;

?loga

x?/

?

1 x ln a

; ?ln x?/

?

1 x

; ?sin x?/

?

cos x ;

?cos x?/ ? ?sin x ; ?tan x?/ ? sec2 x ; ?cot x?/ ? ? csc2 x ;

?sec x?/ ? sec x tan x ; ?csc x?/ ? ?csc xcot x ; ?arcsin x?/ ? 1 ;
1? x2

?arccos x?/ ? ?

1 1?

x2

; ?arctan x?/

?

1 1? x2

; ?arccot

x?/

?

1 ?
1? x2

导数的四则运算法则:设 u=u(x),v=v(x),则

(u±v)’=u’±v’;(cu)’=cu’;

(uv)’=u’v+uv’;( u )’= u 'v ? uv' .

v

v2

反函数的导数:y=f(x)是 x=φ (y)的反函数,则

y’=

1 x'

,即

f’(x)=φ‘1( y)

复合函数求导法则:设 y=f(u),u=φ (x),则复合函数 y=f[φ (x)]的导数为

dy dx

= dy
du

du 或
dx

y’x=f’u·φ

’x

隐函数求导方法:隐函数的概念针对因变量 y 写成自变量 x 的明显表达式

的函数 y=f(x),这种函数叫显函数;而两个变量 x 和 y 的对应关系是由一

个方程 F(x,y)=0 所确定,函数关系隐含在这个方程中,这种函数称为由方

程所确定的隐函数。

求隐函数的导数,并不需要先化为显函数(事实上也很难都显化),

只需把 y 看成中间变量 y=y(x),利用复合函数求导法则,即可求出隐函数 y 对 x 的导数。例:求方程 x2+y2=1 所确定的函数的导数。解在方程的两 端对 x 求导,并将 y2 看作 x 的复合函数,则
(x2+y2)’=(1)’即 2x+2yy’=0,yy’=-x

得 y’=- x
y

参数方程所表示函数的导数:如下方程组,其中 t 为参数

x=φ (t)

y=ψ (t)

设函数φ (t)和ψ (t)都可导,且函数φ (t)存在连续反函数 t=φ -1(t),当φ -1(t)

≠0 时,这个反函数也可导;这时 y 是 x 的复合函数

y=ψ [φ -1(t)]=f(x)

它可导,由复合函数求导法则知

dy

y’x=

dy dx

=

dy dt

dt = dt
dx dx

=ψ ' (x)
φ '(x)

dt

罗必塔法则:当 x→x0(或 x→∞)时,函数 f(x),g(x)同时趋向于零或同时

趋向于无穷大,这时分式 f (x) 的极限可能存在,也可能不存在。我们称
g(x)

其为未定式,并记作 0 型或 ? ,这类极限将无法用“商的极限等于极限的

0

?

商”这一极限法则求出。

未定式

0 0

(罗必塔法则一): lim x ? x0

f (x) g(x)

=lim x ? x0

f '(x) g ' ( x)

=A(或无穷大)。

若其中 x→∞时,结论仍然成立。使用罗必塔法则时,分子分母分别求导

之后,应该整理化简,如果化简后的分式还是未定式,可以继续使用这

个法则。

未定式

? ?

(罗必塔法则二): lim x ? x0

f (x) g(x)

=lim x ? x0

f '(x) g ' ( x)

=A(或无穷大)。

若其中 x→∞时,结论也成立。

未定式 0·∞型及∞-∞型:这两类未定式可转化为 0 型或 ? 型。

0

?

未定式 00,∞0,1∞型:该类未定式可以通过对数转化为前面的未定式。

? 微分的运算及法则

由微分的的概念 dy=f’(x)dx 可知,求一个函数的微分,只要求出导数 f’(x)

再乘以 dx 就得到微分 dy,因此不难由导数公式做出相应的微分公式。

例,对于 y=sinx,有 y’=cosx,从而 dy=cosxdx。

微分的法则:设 u=u(x),v=v(x),则

d(cu)=cdu;d(u±v)=du±dv;

d(uv)=udv+vdu;d( u )= vdu ? udv

v

v2

? 不定积分的性质、基本公式及计算方法

由不定积分定义及微分知识,可直接推出不定积分的性质:
性质一:[ ? f (x)dx ]’=f(x)或 d[ ? f (x)dx ]=f(x)dx; 性质二: ? F' (x)dx =F(x)+c; 性质三: ? kf (x)dx =k ? f (x)dx (k 是不为 0 的常数); 性质四: ?[ f (x) ? g(x)]dx = ? f (x)dx ± ? g(x)dx 。
不定积分的基本公式(均应加上常数 C):

? ? ? 0dx =c; kdx ? kx ; x?dx ? x??1 ;
? ?1

? ? ? dx ? ln x ; exdx ? ex ; axdx ? ax ;

x

ln a

? cos xdx ? sin x ? sin xdx ? ? cos x ; ? tan xdx ? ?ln cos x ;

? cot xdx ? ln sin x ; ? sec xdx ? ln sec x ? tan x ; ? csc xdx ? ln csc x ? cot x

? sec2 xdx ? tan x ; ? cs c2 xdx ? ?cot x ; ? sec x tan xdx ? sec x ;

? ? ? csc x cot xdx ? ? csc x ;

dx 1? x2

?

arctan x ;

dx ? arcsin x ; 1? x2

? ? x2

1 ? a2

dx ?

1 arctan a

x a



1 x2 ? a2

dx ?

1 ln 2a

x?a x?a



? ? 1 dx ? ln x ? x2 ? a2 ;

1 dx ? arcsin x 。

x2 ? a2

a2 ? x2

a

第一换元积分法:设函数 u=φ (x),且 f(u)有原函数 F(u),

∴du=φ ’(x)dx(即 dx=du/φ ’(x))《=参见微分概念及计算
∴ ? f [φ (x)]φ ' (x)dx = ? f (u)du =F(u)+c=F[φ (x)]+c
注意:该公式有一个隐含的条件,即要求原积分公式中已含有

φ ’(x),方可在换元时代入 dx=du/φ ’(x)并约去φ ’(x)。

提示:该积分法的步骤是先找出适当的 u=φ (x),将函数转化为关于 u

的积分公式,再求出关于 u 原函数,最后根据 u 与 x 的关系代

入 x。

第二换元积分法:设函数 x=φ (t)单调可微且φ ’(t)≠0,

∴dx=φ ’(t)dt《=参见微分概念及计算
∴ ? f (x)dx = ? f [φ (t)]φ '(t)dt =F(t)+c=F[φ -1(x)]+c

提示:该积分法的步骤是先找出适当的 x=φ (t),将函数转化为关于 t

的积分公式,再求出关于 t 原函数,最后根据 x 与 t 的关系代入

x。

分部积分法:设函数 u=u(x),v=v(x)具有连续导数,则

? uv' dx =uv- ? vu' dx 《=解题时这个为 u 不行就换那个为 u 提示:运用此公式有时可以使难求的不定积分 ? uv' dx 转化为易求的不定积

分 ? vu' dx ,从而得所求结果。

? 定积分的性质及计算方法:

性质一:

b
?a

kf

(x)dx

=k

b
?a

f

(x)dx

(k

为常数);

性质二:

b
?a

dx

=b-a;

性质三:

b
?a

[

f

(x) ?

? g(x)]dx = b a

f

(x)dx

? ± b a

g(x)dx ;

性质四:若把区间[a,b]分为两个区间[a,c]与[c,b],则

? ? ? b f (x)dx =

c f (x)dx +

b
f (x)dx

a

a

c

注意:c 有任意性,可在[a,b]之外;

性质五:若 f(x)与 g(x)在[a,b]上有 f(x)≤g(x),则

? ? b f (x)dx ≤ b g(x)dx ;

a

a

性质六:若 M,m 分别是 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,则

m(b-a)≤

b
?a

f

(x)dx

≤M(b-a)《=估值定理

性质七:若 f(x)在[a,b]上连续,则至少有一点ξ ∈(a,b),使得

b
?a

f

(x)dx

=f(ξ

)(b-a)《=定积分中值定理,求平均值。

牛顿—莱布尼兹公式:若 f(x)在[a,b]上连续,F(x)是 f(x)的一个原函数,



b
?a

f

(x)dx =F(x)

b a

=F(b)-F(a)

可见,计算定积分,先用不定积分的方法求出一个原函数,然后把上、

下限 a,b 代入原函数作减法运算。

换元积分法:设函数 x=φ (t),则 dx=φ ’(t)dt,若满足:

(1)、当 t=α 时,x=a;当 t=β 时,x=b;

(2)、当 t 在[α ,β ]上取值时,φ (t)的变化单调且范围是[a,b],则

? ? b a

f (x)dx =

? ?

f [?(t)]?' (t)dt =F(t)

? ?

提示:运用此公式时,要同时换上下限,新的积分上、下限代入自变量 t

的原函数相减即可,不必再回到原来的积分变量 x。

分部积分法:设函数 u(x),v(x)在[a,b]上有连续的导数 u’(x)、v’(x),则

b
?a

u(

x)v'

(

x)dx

=[u(x)v(x)]

b a

?-

b
u' ( x)v( x)dx

a

? ? 即

b udv =uv
a

b a

-

b
vdu
a


网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。3088529994@qq.com