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2008年全国普通高等学校招生统一考试(上海) 数学试卷(理工农医类)

2008 年全国普通高等学校招生统一考试(上海) 数学试卷(理工农医类) 一、填空题(本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 x ?1 < 1的解集是___________________. 2.若集合 A ? {x | x ? 2}、B ? {x | x ? a} 满足 A ? B ? {2} ,则实数 a ? 3.若复数 z 满足 z ? i(2 ? z) ( i 是虚数单位),则 z = . . . 4.若函数 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x) ? x2 ( x ? 0) (x>0),则 f (4) ? 5.若向量 a、 b 满足 a ? 1, b ? 2, 且 a 与 b 的夹角为 6.函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ,则 a ? b =___________________ 3 ?? ? ? x ? 的最大值是___________________. ?2 ? 7. 在平面直角坐标系中, 从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0, 2)、E(2, 2)、F (3,3) 中任取三个,这三点能构成三角形的概率是___________________(结果用分数表示). 8. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数.若当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x , 则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是___________________. 9.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是___________________ . 10.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界) ,其边界是 长轴长为 2 a ,短轴长为 2b 椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1 , h2 ,且两个 导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。 现有船只经过该海域 (船只的大小忽 略不计) ,在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ?1、?2 ,那么船只已进入该浅水区的判别 条件是___________________ 11.方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ? 2 4 1 的图像交点的横 x 坐标。 若方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各个实根 x1 , x2 ,? xk (k ? 4) 所对应的点 ? ? xi , ? ? 4? ?(I=1,2,?, x1 ? ? k)均在直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是___________________. 第 1 页 共 6 页 二、选择(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零分. 12. 组合数 C r 恒等于 , n、r ∈Z) n (n ? r ? 1 (A) [答( ] ?1 (C)nrC r n?1 ) 13.给定空间中的直线 l 及平面 ? 。条件“直线 l 与平面 ? 内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面 ? 垂直”的 [答] ( ) (A)充要条件. (B)充分非必要条件. (C)必要非充分条件. (D)既非充分又非必要条件. 14.若数列 {an } 是首项为 l,公比为 a ? 是 (A)1. (B)2. (C) r ? 1 r ?1 C n ?1 . n ?1 ?1 (B)(n+1)(r+1)C r n?1 (D) n C r r ?1 n?1 . 3 的无穷等比数列,且 {an } 各项的和为 a ,则 a 值 2 [答]( ) 1 . 2 (D) . y A · 5 4 15.如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴 的正半轴分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域(含边界) , A、B、C、D 是被圆的四等分点。若点 P( x, y ) 、点 P '( x ', y ') )满 足 x ? x ' 且 y ? y ' ,则称 P 优于 P ' 。如果 ? 中的点 Q 满足:不存 在 ? 中的其它点优于 Q ,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 [答]( (A) ? AB ) D· ? · C ·B O x ? (B) BC ? (D) DA ? (C) CD 三、解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 16.(本题满分 12 分) E 是 BC1 的中点。求直线 DE 与平 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 面 ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). [解] A1 D1 B1 E D A B C1 C 第 2 页 共 6 页 17. (本题满分 13 分) 如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB 。 小区的两个出入口设置在点 o A 及点 C 处,且小区里有一条平行于 BO 的小路 CD 。已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟。若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) [解] C A D O B 18. (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 个题满分 5 分,第 2 小题满分 10 分. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x) ? c

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