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(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题6.1 数列的概念与简单表示法(讲)


专题 6.1 数列的概念与简单表示法
【考纲解读】 要 内 容 A B C 求 备注

数列的概念



对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在表中分 别用 A、B、C 表示). 了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问

数 等差数列 列 理解: 要求对所列知识有较深刻的认识, 并能解决有一定综合性的问题. 掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为 等比数列 √ 困难的问题. √ 题.

【直击考点】 题组一 常识题 5 7 9 1. 数列 1,- , ,- ,?的一个通项公式是__________________. 8 15 24

2. 在数列{an}中,a1=1,an=1+

1

an-1

(n≥2),则 a5=________.

1 1 3 1 5 1 8 【解析】由题意可知,a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5=1+ = . a1 a2 2 a3 3 a4 5 3.已知数列{an}的通项公式为 an=2n+3, 则数列{an}是________数列(填“递增”或“递 减”). 【解析】由数列{an}的通项公式,得 an+1-an=[2(n+1)+3]-(2n+3)=2>0,所以{an} 是递增数列. 题组二 常错题

4.已知数列{an}的通项公式为 an=

n-1 ,则该数列的第 5 项是________. n+1 n-1 5-1 4 2 ,得 a5= = = ,即数列{an}的第 5 项是 n+1 5+1 6 3
-1-

【解析】由数列{an}的通项公式为 an=

2 . 3 5.已知数列 2, 5,2 2, 11,?,则 2 5是该数列的第________项. 【解析】∵a1= 2,a2= 5,a3= 8,a4= 11,∴a5= 14,a6= 17,a7= 20=2 5, 即 2 5是该数列的第 7 项. 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n+1,则其通项公式为______________. 【解析】当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2×1+1=2;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n -2n+1 -[3(n-1) -2(n-1)+1]=6n-5.
?2,n=1, ? 显然当 n=1 时,不满足上式,故数列{an}的通项公式为 an=? ? ?6n-5,n≥2. ?(3-a)x-3,x≤7, ? ?a ?
x-6
2 2 2 2

7.设函数 f(x)=?

,x>7,

数列{an}满足 an=f(n),n∈N ,且数列{an}是递

*

增数列,该实数 a 的取值范围是________. 3-a>0, ? ? 【解析】∵数列{an}是递增数列,且 an=f(n),n∈N ,∴?a>1, ? 2<a<3. ? ?f(8)>f(7)
*

题组三

常考题

2 1 8. 若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3

1 9. 数列{an}满足 an+1= ,a8=2,则 a1=________. 1-an 1 1 1 1 1 【解析】由题易知 a8= =2,得 a7= ;a7= = ,得 a6=-1;a6= =-1, 1-a7 2 1-a6 2 1-a5 1 得 a5=2,于是可知数列{an}具有周期性,且周期为 3,所以 a1=a7= . 2 10.设数列{an}满足 a1=0, 且 an-an-1=n(n≥2), 则数列{an}的通项公式为____________. 【解析】由题意有 a2-a1=2,a3-a2=3,?,an-an-1=n(n≥2),以上各式相加,得 an (n-1)(n+2) n +n-2 -a1=2+3+?+n= = (n≥2).因为 a1=0 满足上式,所以 an= 2 2
2

n2+n-2
2

. 【知识清单】
-2-

考点 1 数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数,称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中 是第几项,则在数列中是第几项.一般记为数列 {an } . 对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这 些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的数相同 而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别. 2.数列的分类 分类原则 类型 有穷数列 按项数分类 无穷数列 递增数列 按项与项间的 大小关系分类 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准分 类 摆动数列 如 1, -1,1, an 的符号正负相间, -1,? 项数无限 满足条件 项数有限

an?1 ? an an?1 ? an an?1 ? an
存在正数 M ,使 an ? M 其中 n∈N+

3.数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数, 其定义域是正整数集 N 和正整数集 N 的有限子集.所以数列的函数 的图像不是连续的曲线,而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式: 如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个 数列的通项公式. 即 an ? f ? n ? ,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个 通项公式.
? ?

-3-

考点 2 由前 n 项和公式推导通项公式,即 an 与 Sn 的关系求通项 an 1. 数列的前 n 项和: Sn ? a1 ? a2 ???? ? an 2.数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 和通项 an 的关系: an ? ? 考点 3 由递推公式推导通项公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an ?1 (n ? 2) (或前几项)间 的关系可用一个公式 an ? f (an?1 ) 来表示,那么这个公式叫数列的递推公式. 考点 4 数列的性质的应用 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依 次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.所以数列的函数的图像不是连续的曲线, 而是一串孤立的点,因此,在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方 法的特殊性. 【考点深度剖析】 江苏新高考对数列知识的考查要求较高,整个高中共有 8 个 C 能级知识点,本章就占了 两个,高考中以填空题和解答题的形式进行考查,涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的 思想,着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查,如与函数、方 程、不等式、平面解析几何知识结合考查. 【重点难点突破】 考点 1 数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式 【题组全面展示】 【1-1】数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于________. 【答案】32

(n ? 1) ? S1 ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

【1-2】已知函数 f ( x) 满足: f (1) ? 3, f (2) ? 6, f (3) ? 10, f (4) ? 15, ? ,则 f (12) 的值为 _______. 【答案】 91 【解析】从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等

-4-

于前一个式子的值与自变量的值加 1 的和,

? f (2) ? f (1) ? 3, f (3) ? f (2) ? 4, f (4) ? f (3) ? 5,?, f (12) ? f (11) ? 13 ,
? f ?12 ? ? f ?1? ? ? f (2) ? f (1) ? ? ? f (3) ? f (2) ? ? ? ? ? f (12) ? f (11) ? ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 13 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 13 ? 13 ?14 ? 91 2

. 【1-3】已知数列的前几项为 ? 为 .
n

1 1 1 1 , ,? , ,?,则数列的一个通项公式 1? 2 2 ? 3 3? 4 4 ? 5

【答案】 an ? ? ?1?

1 . n ? n ? 1?

【解析】这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶 数项为正,所以它的一个通项公式 an ? ? ?1?
n

1 . n ? n ? 1?
.

【1-4】已知数列的前几项为 9,99,999,9 999,?,则数列的一个通项公式为 【答案】 an ? 10n ?1

【解析】这个数列的前 4 项可以写成 10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一个通项 公式 an ? 10n ?1 . 【1-5】按数列的排列规律猜想数列 【答案】-

2 4 6 8 , ? , , ? ,?的第 10 项是_______. 9 3 5 7

20 21

综合点评:根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方 面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此 进行归纳,联想. 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思 想,由不完全归纳法得出的结果是不可靠,要注意代值验证,对于正负符号变化,可用 ? ? 1? 或 ? ?1?
n ?1 n

来调整.

【方法规律技巧】 1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与 n 之间的
-5-

关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于 正负符号变化,可用 ? ? 1? 或 ? ?1?
n n ?1

来调整.

2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般” 的思想.由不完全归纳法得出的结果是不可靠,要注意代值验证. 3.对于数列的通项公式要掌握:①已知数列的通项公式,就可以求出数列的各项;②根据数 列的前几项,写出数列的一个通项公式,这是一个难点,在学习中要注意观察数列中各项与 其序号的变化情况,分解所给数列的前几项,看看这几项的分解中.哪些部分是变化的,哪 些是不变的,再探索各项中变化部分与序号的联系,从而归纳出构成数列的规律,写出通项 公式. 【新题变式探究】 【变式一】将石子摆成如图的梯形形状.称数列 5,9,14, 20,? 为“梯形数”.根据图形的构

成,此数列的第 2014 项与 5 的差,即 a2014 ? 5 ? _______. 【答案】 1010 ? 2013

【变式二】已知数列{an}中, an ? N * , 对于任意 n ? N * , an ? an?1 , 若对于任意正整数 k ,在数列 中恰有 k 个 k 出现,则 a2014 ? 【答案】 63 【解析】由题意数列 {an } 就是如图数阵.确定 a2014 的值,就是确定数列 {an } 第 2014 个数在数阵 中第几行.因为 1 ? 2 ? ? ? n ?
63 行,所以 a2014 ? 63.



n(n ? 1) 63(63 ? 1) 62(62 ? 1) , ? 2016, ? 1953, 所以 a2014 在数阵中第 2 2 2

1 2, 2 3,3,3 4, 4, 4, 4 5,5,5,5,5
【综合点评】试题一是一个根据定义求数列的通项公式,做这一类题要注意观察每一项的特

-6-

点,观察出项与 n 之间的关系、规律,从而得数列的通项公式.试题二是一个根据数列的规律 找通项公式,可根据数列的变化规律,找出 a2014 在数阵中的位置,从而可求出 a2014 的值. 考点 2 由前 n 项和公式推导通项公式,即 an 与 Sn 的关系求通项 an 【题组全面展示】 【2-1】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an-1(n∈N ),则 a5=_______. 【答案】16 【解析】当 n=1 时,S1=a1=2a1-1,∴a1=1, 又 Sn-1=2an-1-1(n≥2),∴Sn-Sn-1=an=2(an-an-1). ∴
*

an n-1 4 =2.∴an=1×2 ,∴a5=2 =16. an-1

【2-2】数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 1 ? ra n (r 为不等于 0,1 的常数),则 an ? _______. 【答案】 an ?

1 r n ?1 ( ) 1 ? r r ?1

【解析】由 S n ? 1 ? ra n 可得当 n ? 2 时 S n?1 ? 1 ? ran?1 ,? S n ? S n?1 ? r (an ? an?1 ) , ∴ an ? ran ? ran?1 ,∴ an (r ? 1) ? ran?1 , ∵ r ? 1, ∴ {an } 是公比为 ∴

an r ,∵ r ? 0 , ? a n ?1 r ? 1

r 的等比数列. r ?1
1 1 r n ?1 ( ) . ,∴ an ? 1? r 1 ? r r ?1
n

又当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ra1 ,∴ a1 ?

【2-3】已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn=3 -1,则它的通项公式为 an=________. 【答案】2·3
n-1 n n-1

【解析】当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3 -1-(3

-1)=2·3

n-1

;当 n=1 时,a1=S1=2 也满足

an=2·3n-1.故数列{an}的通项公式为 an=2·3n-1.
【2-4】已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ? 1(n ? N * ) ,则 an ? _______. 【答案】 an ? ?

? 4, n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2

【解析】 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 4 , n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? 2n ?1) ? [(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? 1] ? 2n ? 1 ,将 n ? 1 代入得 a1 ? 3 ? 4 ,

-7-

所以 an ? ?

? 4, n ? 1 . ?2n ? 1, n ? 2
1 3 1 1 a ? ? ? n an ? 3n ? 1, n ? N * ,则 an ? 2 2 3 3
.

【2-5】数列 ?an ? 满足 a1 ? 【答案】

综合点评: 这些题都是由 an 与前 n 项和 Sn 的关系来求数列 ?an ? 的通项公式, 可由数列 ?an ? 的 通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an ? ?

(n ? 1) ? S1 , 注意: 当 n ? 1 时, a1 若适合 Sn ? Sn?1 , ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

则 n ? 1 的情况可并入 n ? 2 时的通项 an ;当 n ? 1 时, a1 若不适合 Sn ? Sn?1 ,则用分段函数 的形式表示. 【方法规律技巧】 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,求数列的通项公式,其求解过程分为三步: (1)先利用 a1 ? S1 求出 a1 ; (2)用 n ? 1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 便可求出当 n ? 2 时 an 的表达式; (3)对 n ? 1 时的结果进行检验,看是否符合 n ? 2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把数列的 通项公式合写;如果不符合,则应该分 n ? 1 与 n ? 2 两段来写. 【注】该公式主要是用来求数列的通项,求数列通项时,一定要分两步讨论,结果能并则并, 不并则分. 【新题变式探究】 【变式一】数列{an}满足:a1+3a2+5a3+?+(2n-1)·an=(n-1)·3 {an}的通项公式 an ? ________. 【答案】3
n n+1

+3(n∈N ),则数列

*

【解析】a1+3a2+5a3+?+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3
-8-

n+1

+3,把 n 换成 n-1

得,a1+3a2+5a3+?+(2n-3)·an-1=(n-2)·3 +3,两式相减得 an=3 . 【变式二】已知 a1+2a2+2 a3+?+2
2

n

n

n-1

an=9-6n,则数列{an}的通项公式 an ? ________.

? 3 ? n ? 1? ? 【答案】 an ? ? 3 ? n?2 ? n ? 2 ? ? ? 2

【综合点评】这两个题都是 an 与 Sn 的关系求通项 an 型,利用转化,解决递推公式为 Sn 与 an 的关系式:数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系 an ? ?

(n ? 1) ? S1 ,通过纽带: ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ,根据题目求解特点,消掉一个 an 或 Sn 然后再进行构造成等差或者
等比数列进行求解.如需消掉 Sn ,可以利用已知递推式,把 n 换成( n ? 1 )得到新递推式,两 式相减即可.若要消掉 an ,只需把 an=Sn-Sn-1 代入递推式即可.不论哪种形式,需要注意公 式 an ? Sn ? Sn?1 成立的条件 n ? 2 . 考点 3 由递推公式推导通项公式 【题组全面展示】 【3-1】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? 2n(n ? 2) ,则 a4 ? _______. 【答案】192 【解析】∵ an ? an?1 ? 2n ,∴ 以, a4 ? 1? 4 ? 6 ? 8 ? 192 【3-2】 已知数列 ?a n ? 满足 an ?1 ? 2an ? 3 ? 5n ,a1 ? 6 ,则数列 ?a n ? 的通项公式 .

an a a a ? 2n ,∴ 2 ? 4 , 3 ? 6 , 4 ? 8 ,又因为 a1 ? 1 ,所 an?1 a1 a2 a3

an ?

【答案】 an ? 2n ?1 ? 5n

-9-

【3-3】已知数列 ?a n ? 满足 a1 =1, an ?1 = 2an ? 1 ( n ? N ? ),则数列 ?a n ? 的通项公式

an ?

.
n

【答案】 an = 2 ? 1 . 【解析】构造新数列 ?an ? p? ,其中 p 为常数,使之成为公比是 an 的系数 2 的等比数列 即 an ?1 ? p = 2(an ? p ) 整理得: an ?1 = 2an ? p 使之满足 an ?1 = 2an ? 1
n ?1 即 ?an ? 1? 是首项为 a1 ? 1 =2,q=2 的等比数列∴ an ? 1 = 2 ? 2

∴p=1

an = 2n ? 1 .

【3-4】在数列 ?a n ? 中, a1 =1, an ? an ?1 ? n ? 1 (n=2、3、4??) ,则数列 ?a n ? 的通项公式

an ?
【答案】 an ?

.

n2 ? n ? 2 ( n ? N ? ). 2

【解析】∵ n ? 1时,a1 ? 1

n ? 2时,a2 ? a1 ? 1

? ? a3 ? a2 ? 2 ? n(n ? 1) ? (n-1) = a4 ? a3 ? 3 ? 这 n-1 个等式累加得: an ? a1 ? 1 ? 2 ? ... ? 2 ? ....... ? an ? an ?1 ? n ? 1 ? ?

n(n ? 1) n2 ? n ? 2 n2 ? n ? 2 ? a1 ? 故 an ? 且 a1 ? 1 也满足该式 ∴ an ? ( n ? N ? ). 2 2 2
【3-5】已知数列 ?a n ? 满足 a n ?

a n ?1 , a1 ? 1, 则数列 ?a n ? 的通项公式 an ? 3a n ?1 ? 1
- 10 -

.

【答案】 an ?

1 3n ? 2

综合点评:这些题都是由递推公式推导通项公式,由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特 点,一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法” 、 “构造等比数列” 、 “迭代”等方 法. 【方法规律技巧】 1. 数列的递推关系是相邻项之间的关系,高考对递推关系的考查不多,填空题中出现复杂递 推关系时,可以用不完全归纳法研究.在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来 求解. 2. 由递推公式推导通项公式 (1)对于 ?

?

a1 ? a

? an ? an ?1 ? f (n)

型,求 an ,迭加累加(等差数列的通项公式的推导方法) ,由已 给递推式 an ? an ?1 ? f (n) (n ? 2) 中的 n 从 2 开始赋 (n ? 2) ,

知关系式得 an ? an ?1 ? f (n)

值,一直到 n ,一共得到 n ? 1 个式子,再把这 n ? 1 个式子左右两边对应相加化简,即得到数 列的通项. 也可用迭代,即用 an ? a1 ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) 的方法. (2)对于 ?

?

a1 ? a

? an ? f (n)an ?1

型,求 an ,迭乘累乘(等比数列的通项公式的推导方法) ,由已知

关系式得

an a ? g (n)(n ? 2) ,给递推式 n ? g (n)(n ? 2) 中的 n 从 2 开始赋值,一直到 n , an?1 an ?1

一共得到 n ? 1 个式子,再把这 n ? 1 个式子左右两边对应相乘化简,即得到数列的通项. 也可用迭代,即用 an ? a1 ?

a a2 a3 ? ? ?? n 的方法. a1 a2 an?1

(3)对于 ?

?

a1 ? a

? an ?1 ? pan ? q

(q ? 1, b ? 0) 型,求 an ,一般可以利用待定系数法构造等比数列
- 11 -

{an ? ?} ,其公比为 p. 注意数列 {an ? ?} 的首项为 a1 ? ? ,不是 a1. 对新数列的首项要弄准确.
(4)形如 an ?

an ?1 的递推数列可以用倒数法求通项. kan ?1 ? b

【新题变式探究】 【变式一】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , nan ? ? n ?1? an?1 ( n ? 2, n ? N * ),则 值的 n 的值为_____. 【答案】7
2 an ? 16 取得最小 n ?1

【变式二】 已知 f ( x) ? 的表达式为________.

x ,x ?0, 若 f1 ( x) ? f ( x), f n?1 ( x) ? f ( f n ( x) 则 f4 , n ? N? , ( x) 1 0 2 1? x

x 1 ? 2014 x x x ? 1 ?1 1 1 ? ?1? ? 1, 【解析】 f ( x) ? ,? x ? 0 ,?1 ? x ? 1 ,? 1? x 1? x 1? x 1? x 1 ?1 ? ? 0 ,即 f ( x) ?0 ,当且仅当 x ? 0 时取等号,当 x ? 0 时, f n (0) ? 0 ,当 x ? 0 时 1? x
【答案】

f ( x) ? 0 ,? f n?1 ( x) ? f ( f n ( x))

? f n?1 ( x) ?

f n ( x) 1 ? f n ( x) 1 1 1 1 ,? ? ? ? 1 ,即 ? ?1 1 ? f n ( x) f n?1 ( x) f n ( x) f n ( x) f n?1 ( x) f n ( x)

? 数列 {
?

1 } 是以 f1 ( x) 为首项,以 1 为公差的等差数列 f n ( x)

x 1 1 1 1 ? nx ? f n ( x) ? ( x ? 0) , , 当x ? 0 ? ? (n ? 1) ?1 ? ? (n ? 1) ?1 ? x 1 ? nx f n ( x) f1 ( x) x 1? x x 0 x ? f ( x) ? ? 0 ,? f n ( x) ? ( x ? 0) , 2014 1 ? 2014 x . 1? 0 1 ? nx
- 12 -

时, f n (0) ?

【综合点评】这两个题都是由由递推关系式求数列的通项公式,第一题与不等式结合,第二 题与函数结合,第一题首先由叠乘法求出通项公式,然后代入有基本不等式可得,第二题由 函数的性质找出递推关系,从而找出 f n ( x) ? 考点 4 数列的性质的应用 【题组全面展示】 【4-1】已知 an ? ?n ? 25n ? n ? N? ? ,则数列 ?an ? 的最大项是_______.
2

x ( x ? 0) ,即可得出 f 2014 ( x) 的表达式. 1 ? nx

【答案】 a12或a13 【解析】 an 是关于 n 的二次函数. 【4-2】 设函数 f ( x ) ? ?

?(3 ? a ) x ? 3, x ? 7 ?a
x ?6

,x ?7

, 数列 ?an ? 满足 an ? f (n)(n ? N * ) ,且数列 ?an ? 为

递增数列,则实数 a 的取值范围为_______. 【答案】(2,3)

【4-3】 在数列 ?an ? 中, 前 n 项和为 Sn , 则当 Sn 最小时, an ? (3n ?19) ? 2n , n 的值为_______. 【答案】6 【解析】令 an ? 0 ,得 n ? 6 ,故当 1 ? n ? 6 时,an ? 0 ;当 n ? 7 时,an ? 0 ,故当 n ? 6 时,

Sn 最小.
【4-4】若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和数值最大时,n 的值为_______. 【答案】7
*

- 13 -

【4-5】已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? a ,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n 任意的 n ? N * , an ? an?1 恒成立,则 a 的取值范围是 【答案】 ? 【解析】 .

2

2? .若对 ? n…

? 9 15 ? , ? ?4 4 ?

试题分析:由条件 Sn ? Sn?1 ? 3n (n ? 2) 得 S n?1 ? S n ? 3(n ? 1) ,两式相减得
2

2

an?1 ? an ? 6n ? 3 ,故 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 ,两式再相减得 an?2 ? an ? 6 ,由 n ? 2 得

a1 ? a2 ? a1 ? 12 , a2 ? 12 ? 2a ,从而 a2n ? 6n ? 6 ? 2a ; n ? 3 得
a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a2 ? 27 , a3 ? 3 ? 2a ,从而 a2n?1 ? 6n ? 3 ? 2a ,由条件得
?a ? 12 ? 2a ? 9 15 ,解之得 ? a ? . ?6n ? 6 ? 2a ? 6n ? 3 ? 2a 4 4 ?6n ? 3 ? 2a ? 6(n ? 1) ? 6 ? 2a ?
综合点评:这些题都是数列的函数特征的应用,做这一类题,一是利用函数的性质,同时注 意数列的性质,抓住试题的关键,灵活应用. 【方法规律技巧】 1.数列中项的最值的求法 数列中 an 或 Sn 的最值问题与函数处理方法类似,首先研究数列 an 或 Sn 的特征,再进一步判 断数列的单调性,从而得到最值.要注意的细节是 n 只能取正整数. 数列中最大项和最小项的求法 求最大项的方法:设 an 为最大项,则有 ?

? an ? an ?1 ; ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 . ? an ? an ?1
- 14 -

求最小项的方法:设 an 为最小项,则有 ?

前 n 项和最值的求法 (1)先求出数列的前 n 项和 Sn ,根据 Sn 的表达式求解最值; (2)根据数列的通项公式, 若 am ? 0 , 且 am?1 ? 0 , 则 Sm 最大; 若 am ? 0 , 且 am?1 ? 0 , 则 Sm 最小,这样便可直接利用各项的符号确定最值. 2. 在运用函数判断数列的单调性时,要注意函数的自变量为连续的,数列的自变量为不连 续的,所以函数性质不能够完全等同于数列的性质.有些数列会出现前后几项的大小不一, 从某一项开始才符合递增或递减的特征,这时前几项中每一项都必须研究. 3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程,再进一步论 证该方程是否有整数解问题,其中对方程的研究是关键,一般可从奇偶数、约数、有理数、 无理数等方面论证,也可以先利用参数范围,代入相关的整数研究. 4.数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似,同类型的多项式比较可以作差作商或用基 本不等式,不同类型的比较一般要构造函数来解决. 5.数列可以看作是一类特殊的函数,因此要用函数的知识,函数的思想方法来解决. 注意:对求数列中的最大项是高考的热点,一般难度较大.解决这类问题时,要利用函数的 单调性研究数列的最值,但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同,其自变量的取值 是不连续的,只能取正整数,所以在求数列中的最大(小)项时,应注意数列中的项可以是相 同的,故不应漏掉等号. 【新题变式探究】 【变式一】已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 不等式 S 2 n ? S n ? 【答案】5

1 ,前 n 项和为 Sn ,若对任意的正整数 n , n ?1
.

m 恒成立,则常数 m 所能取得的最大整数为 16

【变式二】定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 , f ( ) ? 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (

x 5

1 f ( x) ,且 2

1 )? 2013



- 15 -

【答案】

1 32

【综合点评】这些题都是数列函数特征的应用,第一题利用函数恒成立问题,转化为求最小 值;第二个题利用数列的增减性,采用赋值法,来确定函数值. 【易错试题常警惕】 易错典例:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n+1,则其通项公式为________. 易错分析:忽略考虑 n ? 1 时情况. 正确解析:当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2×1+1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n -2n+1-[3(n-1) -2(n-1)+1]=6n-5,显然当 n=1 时, 不满足上式.
?2,n=1, ? 故数列的通项公式为 an=? ?6n-5,n≥2. ?
2 2 2 2

温馨提醒:an 与 Sn 关系不清致误:在数列问题中,数列的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之间存在下 列关系: an ? ?

(n ? 1) ? S1 ,这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关系 ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

式是分段的,在 n=1 和 n≥2 时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出 错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.

- 16 -


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