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人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解


人教版数学高中必修 5 数列习题及知识点

第二章 数列
1.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于( A.667 B.668 C.669 D.670 ). ).

2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3,前三项和为 21,则 a3+a4+a5=( A.33 B.72 C.84 D.189 ).

3.如果 a1,a2,…,a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d≠0,则( A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5 C.a1+a8<a4+a5

D.a1a8=a4a5

4.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0 的四个根组成一个首项为 |m-n|等于( A.1 ). B.

1 的等差数列,则 4

3 4

C.

1 2
).

D.

3 8

5.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168

D.192

6.若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是( ). A.4 005 B.4 006 C.4 007 D.4 008 ).

7.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A.-4 B.-6 C.-8
a5 S 5 = ,则 9 =( a3 S5 9

D. -10 ). D.

8.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.-1

C.2

1 2
a2 ? a1 的值是( b2

9.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 A.

).

1 2

B.-

1 2

C.-

1 1 或 2 2

D.

1 4
).

2 10.在等差数列{an}中,an≠0,an-1- an +an+1=0(n≥2),若 S2n-1=38,则 n=(

第 1 页 共 11 页

A.38 二、填空题 11. 设 f(x)= +f(6)的值为
1 2 ? 2
x

B.20

C.10

D.9

, 利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法, 可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5) .

12.已知等比数列{an}中, (1)若 a3·a4·a5=8,则 a2·a3·a4·a5·a6= (2)若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6= (3)若 S4=2,S8=6,则 a17+a18+a19+a20= . . . . .

8 27 13.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 2 3
14.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和为 15.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10= .

16.设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)= 三、解答题 17.(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列. (2)已知 ;当 n>4 时,f(n)= .

1 1 1 b?c c?a a?b , , 成等差数列,求证 , , 也成等差数列. a b c a b c

第 2 页 共 11 页

18.设{an}是公比为 q?的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

19.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 求证:数列{

n?2 Sn(n=1,2,3…). n

Sn }是等比数列. n

20.已知数列{an}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列,Sn 为其前 n 项和,a1,2a7,3a4 成等差数列,求证:12S3, S6,S12-S6 成等比数列.

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第二章
参考答案
一、选择题 1.C

数列

解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴n=699. 2.C 解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力. 设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得 a1+a2+a3=21, 即 a1(1+q+q2)=21,又 a1=3,∴1+q+q2=7. 解得 q=2 或 q=-3(不合题意,舍去), ∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84. 3.B. 解析:由 a1+a8=a4+a5,∴排除 C. 又 a1·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d, ∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d +12d2>a1·a8. 4.C 解析: 解法 1:设 a1= 两根之和也为 2, ∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4, ∴d= ∴

1 1 1 1 ,a2= +d,a3= +2d,a4= +3d,而方程 x2-2x+m=0 中两根之和为 2,x2-2x+n=0 中 4 4 4 4

1 1 7 3 5 ,a1= ,a4= 是一个方程的两个根,a1= ,a3= 是另一个方程的两个根. 2 4 4 4 4

7 15 , 分别为 m 或 n, 16 16 1 ,故选 C. 2
第 4 页 共 11 页

∴|m-n|=

解法 2:设方程的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n.

由等差数列的性质:若?+s=p+q,则 a?+as=ap+aq,若设 x1 为第一项,x2 必为第四项,则 x2= 数列为

7 ,于是可得等差 4

1 3 5 7 , , , , 4 4 4 4 7 15 ,n= , 16 16 1 . 2

∴m=

∴|m-n|= 5.B

解析:∵a2=9,a5=243,

a5 243 =q3= =27, a2 9

∴q=3,a1q=9,a1=3, ∴S4= 6.B 解析: 解法 1:由 a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,知 a2 003 和 a2 004 两项中有一正数一负数,又 a1>0,则公差为负数,否 则各项总为正数,故 a2 003>a2 004,即 a2 003>0,a2 004<0. ∴S4 006= ∴S4 007=
4 006 (a1+a4 006 ) 2
3-3 5 240 = =120. 1-3 2



4 006 (a2 003+a2 004 ) 2

>0,

4 007 4 007 ·(a1+a4 007)= ·2a2 004<0, 2 2

故 4 006 为 Sn>0 的最大自然数. 选 B. 解法 2:由 a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,同 a2 004<0, ∴S2 003 为 Sn 中的最大值. ∵Sn 是关于 n 的二次函数,如草图所示, ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小, ∴
4 007 在对称轴的右侧. 2
(第 6 题)

解法 1 的分析得 a2 003>0,

根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧 都在其右侧,Sn>0 的最大自然数是 4 006. 7.B
第 5 页 共 11 页

零点 B 的左侧, 4 007, 4 008

解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8, ∴a2=-8+2=-6. 8.A

9(a1 ? a9 ) 9 ? a5 S9 9 5 2 解析:∵ = = = · =1,∴选 A. 5 ( a ? a ) 5 ? a3 S5 5 9 1 5 2
9.A 解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4, ∴d=-1,q2=2, ∴
a2 ? a1 d 1 = = . 2 b2 ?q 2

10.C
2 2 解析:∵{an}为等差数列,∴ an =an-1+an+1,∴ an =2an,

又 an≠0,∴an=2,{an}为常数数列, 而 an=

38 S2n ?1 ,即 2n-1= =19, 2 2n ? 1

∴n=10. 二、填空题 11. 3 2 . 解析:∵f(x)=
1 , 2 ? 2
x

1 x 2 1 2x 2 ∴f(1-x)= 1? x = = , 2 ? 2 2 ? 2 ? 2x 2 ? 2x 1 1 1 ? 2x 1? ? 2x ( 2 ? 2x ) 2 2 2 2 ∴f(x)+f(1-x)= + = = = . x x x x 2 2 ?2 2 ?2 2 ?2 2 ?2
1

设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6), 则 S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),
第 6 页 共 11 页

∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=6 2 , ∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3 2 . 12. (1)32; (2)4; (3)32.
2 解析: (1)由 a3·a5= a4 ,得 a4=2,

5 ∴a2·a3·a4·a5·a6= a4 =32.

?a1 ? a2 ? 324 1 (2) ? ? q2 ? , 2 9 ?(a1 ? a2 )q ? 36
∴a5+a6=(a1+a2)q4=4.

? ?S 4=a1+a2+a3+a4=2 (3) ? ? q 4=2 , 4 ? ?S8=a1+a2+? ? ? +a8=S 4+S 4 q
∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32. 13.216.

8 27 解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与 , 同号,由等比中项的 2 3
中间数为
8 27 27 8 ? =6,? 插入的三个数之积为 × ×6=216. 3 2 2 3

14.26. 解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, ∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4, ∴S13=

13 (a1+a13 ) 13 (a4+a10 ) 13? 4 = = =26. 2 2 2

15.-49. 解析:∵d=a6-a5=-5, ∴a4+a5+…+a10

7(a4+a10 ) 2 7 (a5-d+a5+5d ) = 2
= =7(a5+2d)
第 7 页 共 11 页

=-49. 16.5,

1 (n+1)(n-2). 2

解析: 同一平面内两条直线若不平行则一定相交, 故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交, ∴f(k)=f(k -1)+(k-1). 由 f(3)=2, f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(5)=f(4)+4=2+3+4=9, …… f(n)=f(n-1)+(n-1), 相加得 f(n)=2+3+4+…+(n-1)= 三、解答题 17.分析:判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数. 证明: (1)n=1 时,a1=S1=3-2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*). 首项 a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. (2)∵ ∴

1 (n+1)(n-2). 2

1 1 1 , , 成等差数列, a b c

2 1 1 = + 化简得 2ac=b(a+c). b a c

bc+c 2+a 2+ab b(a+c ) +a 2+c 2 (a+c)2 (a+c)2 b+c a+b a+c + = = = = =2· , b(a+c) ac ac ac a c b 2



b+c c+a a+b , , 也成等差数列. a b c

18.解: (1)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1 或-

1 . 2

第 8 页 共 11 页

n(n-1) n 2+3n = . 2 2 (n- 1)(n+2) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= >0,故 Sn>bn. 2
(2)若 q=1,则 Sn=2n+
- n 2+9 n n(n-1) 1 1 ,则 Sn=2n+ (- )= . 4 2 2 2 (n- 1)(10-n) 当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= , 4

若 q=-

故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. 19.证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

n+2 Sn, n

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1) Sn, 所以 故{

S n+1 2S = n . n+1 n

Sn }是以 2 为公比的等比数列. n

20.证明:由 a1,2a7,3a4 成等差数列,得 4a7=a1+3a4,即 4 a1q6=a1+3a1q3, 变形得(4q3+1)(q3-1)=0, ∴q3=-

1 或 q3=1(舍). 4

a1 (1 ? q 6 ) S 1 1 ? q3 1? q 由 6 = = = ; 3 12a1 (1 ? q ) 12S 3 16 12 1? q a1 (1 ? q12 ) S12 ? S 6 S 1 1? q = 12 -1= -1=1+q6-1= ; 6 S6 S6 a1 (1 ? q ) 16 1? q S ? S6 S 得 6 = 12 . S6 12S 3

∴12S3,S6,S12-S6 成等比数列.

第 9 页 共 11 页

数列基础知识点和方法归纳
1. 等差数列的定义与性质 定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , an ? a1 ? ? n ?1? d 等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和 Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差数列,公差为 n 2 d ; (3)若三个成等差数列,可设为 a ? d,a,a ? d (4)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S2 m?1 ? bm T2 m?1

(5) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的二次函数)

Sn 的最值可求二次函数 Sn ? an2 ? bn 的最值;或者求出 ?an ? 中的正、负分界项,

?a ? 0 即:当 a1 ? 0,d ? 0 ,解不等式组 ? n 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an ?1 ? 0 ?a ? 0 当 a1 ? 0,d ? 0 ,由 ? n 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?an ?1 ? 0
(6)项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . a n ?1
, 有

(7)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) ,
第 10 页 共 11 页

S 奇 ? S 偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

2. 等比数列的定义与性质 定义:
an ?1 , an ? ? q ( q 为常数, q ? 0 ) a q1 an
n ?1

.

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意! ) (q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n . 注意:由 Sn 求 an 时应注意什么?
n ? 1 时, a1 ? S1 ;
n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1

.

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