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高一数学寒假辅导7——三角函数的图像和性质2

高一数学寒假辅导 7——三角函数的图像性质 2
一、选择题 1.(2011~2012·山东日照调研)有下列三个函数:①y=x +1;②y=sin3x;③y=x 2 + ,其中奇函数的个数是(
3

x

) B.1 D.3 ) B.0≤m≤2 D.m<-1 或 m>1 )

A.0 C.2 2.使 cosx=1-m 有意义的 m 的取值范围为( A.m≥0 C.-1<m<1

3.函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数( π π A.[- , ] 4 4 π C.[0, ] 2

π 3π B.[ , ] 4 4 π D.[ ,π ] 2

[点评] 求形如 y=Asin(ω x+φ )(其中 A≠0, >0)的函数的单调区间, ω 可以通过解 不等式的方法来解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ (ω >0)”视为一个“整体”(若 ω <0,可利用三角函数的诱导公式化 x 系数为正).②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y =sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式的方向相同(反). 4.y=2sinx 的值域是( A.[-2,2] C.[-2,0] sinx 5.函数 y= 是( 2+cosx A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 6.已知 a∈R,函数 f(x)=sinx-|a|,x∈R 为奇函数,则 a 等于( A.0 C =.-1 B.1 D.±1 ) ) )
2

) B.[0,2] D.R

π π 7.(2010·重庆文,6)下列函数中,周期为 π ,且在[ , ]上为减函数的是( 4 2 π A.y=sin(2x+ ) 2 π B.y=cos (2x+ ) 2

π C.y=sin(x+ ) 2

π D.y=cos(x+ ) 2 )

8.已知 A={x|y=sinx},B={y|y=sinx},则 A∩B 等于( A.{y=sinx} C.{x|x=2π }
2

B.{x|-1≤x≤1} D.R )

9.函数 f(x)=-cos xln x 的部分图象大致是图中的(

10.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这 个封闭图形的面积为( A.4 C.2π 二、填空题 3π π 11.比较大小:sin ______cos . 5 5 π 12. (2011~2012·无锡高一检测)函数 y=sin(x- ), ∈[0, ]的值域为________. x π 6 13.函数 y=cosx 在区间[-π ,a]上为增函数,则 a 的范围是________. π? ? 14.函数 y=3sin?2x+ ?的单调递减区间是________. 6? ? 三、解答题 ) B.8 D.4π

?π ? 15.求函数 y=sinx,x∈? ,π ?的最大值和最小值. ?4 ?

π? 1 ? 16.求函数 y= cos?2x- ?+1 的最大值,及此时自变量 x 的取值集合. 4? 3 ?

1 17.已知函数 f(x)=log |sinx|. 2 (1)求其定义域和值域; (2)判断其奇偶性; (3)求其周期; (4)写出单调区间.

π π 18.已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sinω x 在区间[- , ]上是增函数,求 ω 的取值 3 4 范围.

高一数学寒假辅导 7——三角函数的图像性质 2 答案
一、选择题 1.(2011~2012·山东日照调研)有下列三个函数:①y=x +1;②y=sin3x;③y=x 2 + ,其中奇函数的个数是(
3

x

) B.1 D.3

A.0 C.2 [答案] C

2 3 [解析] 函数 y=x +1 不是奇函数也不是偶函数; 函数 y=sin3x 和 y=x+ 是奇函数.

x

2.使 cosx=1-m 有意义的 m 的取值范围为( A.m≥0 C.-1<m<1 [答案] B [解析] ∵-1≤cosx≤-1,∴-1≤1-m≤1. ∴0≤m≤2. 3.函数 y=cos2x 在下列哪个区间上是减函数( π π A.[- , ] 4 4 π C.[0, ] 2 [答案] C [解析] ∵y=cos2x, ∴2kπ ≤2x≤2kπ +π (k∈Z), π 即 kπ ≤x≤kπ + (k∈Z), 2

) B.0≤m≤2 D.m<-1 或 m>1

)

π 3π B.[ , ] 4 4 π D.[ ,π ] 2

π 亦即[kπ ,kπ + ](k∈Z)为 y=cos2x 的单调递减区间. 2 π 而 C,[0, ]显然满足上述区间,故选 C. 2 [点评] 求形如 y=Asin(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的单调区间,可以通过解 不等式的方法来解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ (ω >0)”视为一个“整体”(若 ω <0,可利用三角函数的诱导公式化 x 系数为正).②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y =sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式的方向相同(反). 4.y=2sinx 的值域是( A.[-2,2]
2

) B.[0,2]

C.[-2,0] [答案] A [解析] ∵x ≥0,∴sinx ∈[-1,1], ∴y=2sinx ∈[-2,2]. sinx 5.函数 y= 是( 2+cosx A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 [答案] A sin? -x? [解析] 定义域为 R,f(-x)= 2+cos? -x? )
2 2 2

D.R

-sinx = =-f(x),则 f(x)是奇函数. 2+cosx )

6.已知 a∈R,函数 f(x)=sinx-|a|,x∈R 为奇函数,则 a 等于( A.0 C =.-1 [答案] A [解析] 解法一:易知 y=sinx 在 R 上为奇函数,∴f(0)=0,∴a=0. B.1 D.±1

解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 sin(-x)-|a|=-sinx+|a|,- sinx-|a|=-sinx+|a|. ∴|a|=0,即 a=0. π π 7.(2010·重庆文,6)下列函数中,周期为 π ,且在[ , ]上为减函数的是( 4 2 π A.y=sin(2x+ ) 2 π C.y=sin(x+ ) 2 [答案] A π π π [解析] 选项 A:y=sin(2x+ )=cos2x,周期为 π ,在[ , ]上为减函数; 2 4 2 π π π 选项 B:y=cos(2x+ )=-sin2x,周期为 π ,在[ , ]上为增函数; 2 4 2 π 选项 C:y=sin(x+ )=cosx,周期为 2π ; 2 π 选项 D:y=cos(x+ )=-sinx,周期为 2π .故选 A. 2 8.已知 A={x|y=sinx},B={y|y=sinx},则 A∩B 等于( ) π B.y=cos (2x+ ) 2 π D.y=cos(x+ ) 2 )

A.{y=sinx} C.{x|x=2π } [答案] B [解析] A=R,B={y|-1≤y≤1}, 则 A∩B={y|-1≤y≤1}.

B.{x|-1≤x≤1} D.R

9.函数 f(x)=-cos xln x 的部分图象大致是图中的(

2

)

[答案] A [解析] 函数的定义域是(-∞, 0)∪(0, +∞), (-x)=-cos(-x)ln(-x) =-cos f
2

xln x2=f(x),
则函数 f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,排除选项 C 和 D;当 x∈(0,1)时, cosx>0,0<x <1,则 ln x <0,此时 f(x)>0,此时函数 f(x)的图象位于 x 轴的上方,排除选 项 B. 10.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这 个封闭图形的面积为( A.4 C.2π [答案] D [解析] 如图所示. ) B.8 D.4π
2 2

由图可知,S1=S2,S3=S4,因此函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象与直线 y=2 所围成 的图形面积即为矩形 OABC 的面积. ∵|OA|=2,|OC|=2π ,∴S 矩形=2×2π =4π . 二、填空题 3π π 11.比较大小:sin ______cos . 5 5 [答案] > π 12. (2011~2012·无锡高一检测)函数 y=sin(x- ), ∈[0, ]的值域为________. x π 6 1 [答案] [- ,1] 2 13.函数 y=cosx 在区间[-π ,a]上为增函数,则 a 的范围是________. [答案] (-π ,0] [解析] 由 y=cosx 在[-π ,a]上是增函数, 则-π <a≤0. π? ? 14.函数 y=3sin?2x+ ?的单调递减区间是________. 6? ? π 2π ? ? [答案] ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π π 3π [解析] 令 +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π 2π 则 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 6 3 三、解答题

?π ? 15.求函数 y=sinx,x∈? ,π ?的最大值和最小值. ?4 ?
[解析] 函数 y=sinx 在区间?

?π ,π ?上是增函数,在区间?π ,π ?上是减函数,所以 ? ?2 ? ?4 2? ? ?

函数 y=sinx 在区间? 在区间?

?π ,π ?上的最大值是 sinπ =1,最小值是 sinπ = 2;函数 y=sinx ? 2 4 2 ?4 2?

?π ,π ?上的最大值是 sinπ =1,最小值是 sinπ =0. ? 2 ?2 ?

?π ? 所以函数 y=sinx,x∈? ,π ?的最大值是 1,最小值是 0. ?4 ?
π? 1 ? 16.求函数 y= cos?2x- ?+1 的最大值,及此时自变量 x 的取值集合. 4? 3 ? π? ? [解析] ∵x∈R,∴-1≤cos?2x- ?≤1. 4? ? π? 2 1 ? 4 ∴ ≤ cos?2x- ?+1≤ . 4? 3 3 ? 3 π? 1 ? 4 ∴函数 y= cos?2x- ?+1 的最大值是 . 4? 3 ? 3 π π 此时 2x- =2kπ (k∈Z),∴x=kπ + . 4 8 即此时自变量 x 的取值集合是
? ? ? π ?x?x=kπ + ,k∈Z 8 ? ? ? ? ? ?. ? ?

1 17.已知函数 f(x)=log |sinx|. 2 (1)求其定义域和值域; (2)判断其奇偶性; (3)求其周期; (4)写出单调区间. [解析] (1)由|sinx|>0 得 sinx≠0,∴x≠kπ (k∈Z). 即函数定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. 1 又 0<|sinx|≤1,∴log |sinx|≥0. 2 ∴函数的值域为[0,+∞). (2)∵f(x)的定义域关于原点对称, 1 1 且 f(-x)=log |sin(-x)|=log |-sinx| 2 2 1 =log |sinx|=f(x). 2 ∴f(x)为偶函数. (3)函数 f(x)是周期函数,

1 1 ∵f(x+π )=log |sin(x+π )|=log |-sinx| 2 2 1 =log |sinx|=f(x), 2 ∴f(x)的周期 T=π . 1 (4)∵y=log u 在(0,+∞)上是减函数, 2

u=|sinx|在?kπ ,kπ + ?(k∈Z)上是增函数, 2

? ?

π?

?

π ? ? 在?kπ - ,kπ ?(k∈Z)上是减函数. 2 ? ? π ? ? ∴f(x)在?kπ - ,kπ ?(k∈Z)上是增函数, 2 ? ? π? ? 在?kπ ,kπ + ?(k∈Z)上是减函数. 2? ? π ? ? 即 f(x)的单调增区间是?kπ - ,kπ ?(k∈Z), 2 ? ? π? ? 单调减区间是?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 2? ? π π 18.已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sinω x 在区间[- , ]上是增函数,求 ω 的取值 3 4 范围. π π [解析] 由 2kπ - ≤ω x≤2kπ + (k∈Z)得 2 2 - π 2kπ π 2kπ + ≤x≤ + (k∈Z). 2ω ω 2ω ω

∴f(x)的单调递增区间是

?- π +2kπ , π +2kπ ?(k∈Z). ? 2ω ω 2ω ω ? ? ? ? π π ? ? π 2kπ , π +2kπ ?(k∈Z). 据题意,?- , ???- + ω 2ω ω ? ? 3 4 ? ? 2ω ?

?-2ω ≤- 3 ? π 从而有? π ≥ 2ω 4 ?ω >0 ?
π π 3 故 ω 的取值范围是(0, ]. 2

3 ,解得 0<ω ≤ . 2


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