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高考导数常见题型汇总


1 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c, d 的值; (II)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 , 求函数 f ( x) 的解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ?
f ( x) 与 y ?
1 f ?( x) ? 5x ? m 3

的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 2.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f ( x) 的单调区间; ( II ) 函 数 f ( x) 的 图 象 的 在 x ? 4 处 切 线 的 斜 率 为
g ( x) ? 1 3 m x ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间(1,3)上不是单调函数,求 3 2

3 , 若函数 2

m 的取值范围.

3.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围; (II)若方程 f ( x) ? ? (2a ? 3) 恰好有两个不同的根,求 f ( x) 的解析式;
2

9

(III) 对于 (II) 中的函数 f ( x) , 对任意 ?、? ? R , 求证: | f (2 sin ? ) ? f (2 sin ? ) |? 81.

4.已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x . (I)写出 f ( x) 的单调递增区间,并证明 ea ? a ; (II)讨论函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数.

5.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1. (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围;

6.已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值; (II)求函数 f ( x) 在 x ?[ 3 ,3] 的最大值和最小值.
2

7.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0) (I)当 a=18 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)求函数 f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 上的最小值.

8.已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ?
27 f ?( x) ? 6 ? 2 x2

,试证明:对任意两个不

相等正数 x1、x2 ,不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 38 | x1 ? x2 | 恒成立.

9.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1.
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?1. x1 ? x 2

1 2 (I)讨论函数 f ( x) 的单调性;

(II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 , 有

10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 .

1 2 (I)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,求

实数 a 的取值范围; (II)若 a ? (1, e] (e ? 2.71828?) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时, 不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.

11.设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ??? ) , f ?( x) 表示 f ( x) 导函数. (I)求函数 f ( x) 的极值; (II)对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,求证:存在唯一 的 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) . 12.定义 F ( x, y) ? (1 ? x) y , x, y ? (0,??) , (I)令函数 f ( x) ? F (3,log 2 (2 x ? x 2 ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; (II)令函数 g ( x) ? F (1,log2 ( x3 ? ax2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使 得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围;

(III)当 x, y ? N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y) ? F ( y, x) .

的 导 函 数 为 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ? 3a ? 2b …………(2 分) (I)由图可知 函数 f ( x) 的图象过点(0,3) ,且 f ' (1) ? 0 得
f ( x)
' 2

1









?d ? 3 ? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0

?d ? 3 ?? ?c ? 0

……

……(4 分) (II)依题意 f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5
?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5

解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 3 …………(8 分) 2 3 2 2 (III) f ?( x) ? 3x ? 12 x ? 9 .可转化为: x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? ?x ? 4 x ? 3? ? 5x ? m 有三个 不等实根,即: g ?x ? ? x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点; g ??x ? ? 3x 2 ? 14 x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4? ,
x
g ??x ?
g ?x ?
2? ? ? ? ?, ? 3? ?

2 3

?2 ? 4? ? , ?3 ?

4

?4, ? ??
+ 增

+ 增

0 极大值



0 极小值

? 2 ? 68 …………(10 分) g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . ? 3 ? 27 2 ? 68 当且仅当 g ? ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, ? ?? ? 3 ? 27 故而, ? 16 ? m ? 68 为所求. …………(12 27

分)

a(1 ? x) (2 分) ( x ? 0) x 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为?0,1?, 减区间为?1,???

2.解: (I) f ' ( x) ?

当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为?1,???, 减区间为?0,1?; 当 a=1 时, f ( x) 不是单调函数 (II) f ' (4) ? ?

(5 分)

3a 3 ? 得a ? ?2, f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 4 2 1 m ? g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x,? g ' ( x) ? x 2 ? (m ? 4) x ? 2 (6 分) 3 2 ? g ( x)在区间(1,3)上不是单调函数, 且g ' (0) ? ?2

? g ' (1) ? 0, ?? ? g ' (3) ? 0.

?m ? ?3, 19 (8 分)? ? 19 (10 分) m ? (? ,?3) ? 3 m? , ? 3 ?

(12 分)

3.解: (I) f (0) ? 0 ? c ? 0, f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b,
2

f ?(1) ? 0 ? b ? ?2a ? 3

? f ?( x) ? 3x ? 2ax ? (2a ? 3) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 3), 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? ? 2a ? 3 ,因为当 x ? 1 时取得极大值, 3 所以 ? 2a ? 3 ? 1 ? a ? ?3 ,所以 a的取值范围是: (??,?3) ; 3

………

…(4分) (II)由下表:
x
f ?( x)

(??,1)

1

(1,?

2a ? 3 ) 3

?

2a ? 3 3

(?

2a ? 3 ,??) 3

+ 递增

f ( x)

0 极大 值
?a?2

递减

0 极小值
a?6 (2a ? 3) 2 27

递增
2

依题意得: a ? 6 (2a ? 3)2 ? ? (2a ? 3) ,解得: a ? ?9 所以函数 f ( x) 的解析式是:
27 9 3 2 f ( x) ? x ? 9 x ? 15x

……… …(10分) (III)对任意的实数 ? , ? 都有 ? 2 ? 2 sin ? ? 2,?2 ? 2 sin ? ? 2, 在区间[-2,2]有: f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74, f (1) ? 7, f (2) ? 8 ? 36 ? 30 ? 2
f ( x)的最大值是f (1) ? 7, f ( x)的最小值是f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74

函数 f ( x)在区间[?2,2] 上的最大值与最小值的差等于81, 所以 | f (2 sin ? ) ? f (2 sin ? ) |? 81. ……… …(14分) 4.解: (I) f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ,得 f ( x) 的单调递增区间是 (0,??) , …………(2 分) ∵ a ? 0 ,∴ f (a) ? f (0) ? 1 ,∴ e a ? a ? 1 ? a ,即 ea ? a . …………(4 分) (II) g ?( x) ? 2 x ? a ? x
x
g ?( x)

2( x ?

2a 2a )( x ? ) 2 2 ,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a 2 x 2a 2a 2a (0, ) ( ,??) 2 2 2

,列表

g ( x)

单调递减

0 极小值

+ 单调递增

当x? 分)

2a 2

时,函数 y ? g ( x) 取极小值 g (

2a a a ) ? (1 ? ln ) ,无极大值. 2 2 2

…………(6
?e 2 a ? e a 由(I) ea ? a ,∵ ? ? a ?a ? 2 ?

,∴ e2a ? a ,∴ e a ?
2

2a 2

g (1) ? 1 ? 0 , g (e a ) ? e 2 a ? a 2 ? (e a ? a)(e a ? a) ? 0

…………(8 分)

2a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 (ii)当 2a ? 1 ,即 a ? 2 时 2 a 若 (1 ? ln a ) ? 0 ,即 2 ? a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 不存在零点 2 2 若 a (1 ? ln a ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 存在一个零点 x ? e ; 2 2 a a 若 (1 ? ln ) ? 0 ,即 a ? 2e 时,函数 y ? g ( x) 在区间 (1, e a ) 存在两个零点; 2 2 综上所述, y ? g ( x) 在 (1, ea ) 上,我们有结论:

(i)当

当 0 ? a ? 2e 时,函数 f ( x) 无零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x) 有一个零点; 当 a ? 2e 时,函数 f ( x) 有两个零点. …………(12 分) 5.解: (I)当 k ? 1 时, f ?( x) ? 2 ? x ,令 f ( x) 定义域为(1,+ ? )
x ?1 f ?( x) ? 0, 得x ? 2 ,

………………(2

分) ∵当 x ? (1, 2)时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ??)时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x)在(1, 2) 内是增函数, 在(2, ??) 上是减函数 ∴当 x ? 2 时,f ( x) 取最大值 f (2) ? 0 ……………… (4 分) (II)①当 k ? 0时 ,函数 y ? ln( x ? 1) 图象与函数 y ? k ( x ? 1) ? 1图象有公共点, ∴函数 f ( x) 有零点, 不合要求; ……………… (8 分)
1? k k(x ? ) 1 1 ? k ? kx k ②当 k ? 0时 , f ?( x) ? ………………(6 ?k ? ?? x ?1 x ?1 x ?1 令 f ?( x) ? 0, 得x ? k ? 1 ,∵ x ? (1, k ? 1)时, f ?( x) ? 0, x ? (1 ? 1 , ??)时, f ?( x) ? 0 , k k k ∴ f ( x)在(1,1 ? 1 ) 内是增函数, 在[1 ? 1 , ??) 上是减函数, k k

分)

∴ f ( x) 的最大值是 f (1 ? 1 ) ? ? ln k ,
k

∵函数 f ( x) 没有零点,∴ ? ln k ? 0 , k ? 1 , 因此,若函数 f ( x) 没有零点,则实数 k 的取值范围 k ? (1, ??) .……………… (10 分) 6.解: (I)由 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x 可得 f ?( x) ? (2 x ? a)e x ? ( x 2 ? ax ? 2a ? 3)e x ? [ x 2 ? (2 ? a) x ? a ? 3]e x ……(4 分) ∵ x ? 2 是函数 f ( x) 的一个极值点,∴ f ?(2) ? 0 ∴ (a ? 5)e2 ? 0 , 解得 a ? ?5 …………… (6 分) x (II)由 f ?( x) ? ( x ? 2)( x ? 1)e ? 0 ,得 f ( x) 在 (??,1) 递增,在 (2,??) 递增, 由 f ?( x) ? 0 ,得 f ( x) 在在 (1,2) 递减 ∴ f (2) ? e 2 是 f ( x) 在 x ?[ 3 ,3] 的最小值;
2

……………(8 分)

3 7 3 3 7 3 1 3 3 3 3 2 2 f ( ) ? e , f (3) ? e ∵ f (3) ? f ( ) ? e ? e ? e 2 (4e e ? 7) ? 0, f (3) ? f ( ) 2 4 2 4 4 2 3 ∴ f ( x) 在 x ?[ ,3] 的最大值是 f (3) ? e 3 . …………… (12 2

分)

7.解: (Ⅰ) f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 16 ln x ,
16 2( x ? 2)( x ? 4) ? x x 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?2 f ' ( x) ? 2 x ? 4 ?

2分

注意到 x ? 0 ,所以函数 f ( x) 的单调递增区间是(4,+∞) 由 f ' ( x) ? 0 得 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ,解得-2< x <4, 注意到 x ? 0 ,所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,4] . 综上所述,函数 f ( x) 的单调增区间是(4,+∞) ,单调减区间是 (0,4] 6 分 2 2 (Ⅱ)在 x ? [e, e ] 时, f ( x) ? x ? 4 x ? (2 ? a) ln x
2 ? a 2x 2 ? 4x ? 2 ? a ? , x x 设 g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a

所以 f ' ( x) ? 2 x ? 4 ?

当 a ? 0 时,有△ =16+4× 2 (2 ? a) ? 8a ? 0 , 此时 g ( x) ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 [e, e 2 ] 上单调递增, 所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a 当 a ? 0 时,△ =16 ? 4 ? 2(2 ? a) ? 8a ? 0 , 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 ,解得 x ? 1 ? 令 f ' ( x) ? 0 ,即 2 x 2 ? 4 x ? 2 ? a ? 0 , ①若1 ?
2a ≥ e 2 ,即 a ≥ 2(e 2 ? 1) 2 时, 2

8分

2a 2a 或 x ? 1? ; 2 2 2a 2a 解得1 ? . ? x ? 1? 2 2

f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递减,所以 f ( x) min ? f (e 2 ) ? e 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a .

2a ? e 2 ,即 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时间, 2 2a 2a 2 ] 上单调递减,在区间 [1 ? , e ] 上单调递增, f ( x) 在区间 [e,1 ? 2 2 2a a 2a 所以 f ( x) min ? f (1 ? ) ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? ). 2 2 2 2a ③若1 ? ≤ e ,即 0 ? a ≤2 (e ? 1) 2 时, f ( x) 在区间 [e, e 2 ] 单调递增, 2 所以 f ( x) min ? f (e) ? e 2 ? 4e ? 2 ? a

②若 e ? 1 ?

综上所述,当 a ≥2 (e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ? a 4 ? 4e 2 ? 4 ? 2a ; 当 2(e ? 1) 2 ? a ? 2(e 2 ? 1) 2 时, f ( x) min ? ? 2a ? 3 ? (2 ? a) ln(1 ? 当 a ≤ 2(e ? 1) 2 时, f ( x) min 8.解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 6 ? a ? 2 x
x
2

a 2 2 ? e ? 4e ? 2 ? a

2a ); 2

14 分 , ………………

? 6x ? a x

(2 分) ∵ f ( x) 在 x ? (2, ??) 上不具有 单调性,∴在 x ? (2, ??) 上 f ?( x) 有正也有负也有 0, ... 即二次函数 y ? 2 x2 ? 6 x ? a 在 x ? (2, ??) 上有零点
2

………………(4 分) ………………(6

∵ y ? 2 x2 ? 6 x ? a 是对称轴是 x ? 3 ,开口向上的抛物线,∴ y ? 2 ? 22 ? 6 ? 2 ? a ? 0 的实数 a 的取值范围 (??,4) 分) (II)由(I) g ( x) ? 2 x ? a ?
x 2 x2



方法 1: g ( x) ?

2 a 2 ? 6 ? 2 x ? ? 2 ( x ? 0) , 2 x x x 3 x?4 ∵ a ? 4 ,∴ g ?( x) ? 2 ? a2 ? 43 ? 2 ? 42 ? 43 ? 2 x ? 4 ,…………(8 分) 3 x x x x x 4(2 x ? 3) 设 h( x) ? 2 ? 42 ? 43 , h?( x) ? 83 ? 12 ? 4 x x x x x4 3 3 3 38 h( x) 在 (0, ) 是减函数,在 ( , ??) 增函数,当 x ? 时, h( x) 取最小值 2 2 2 27 38 38 38 ∴从而 g ?( x) ? ,∴ ( g ( x) ? x)? ? 0 ,函数 y ? g ( x) ? x 是增函数, 27 27 27 38 38 x1、x2 是两个不相等正数,不妨设 x1 ? x2 ,则 g ( x2 ) ? x2 ? g ( x1 ) ? x1 27 27 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 38 ∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) ,∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴ ? x1 ? x2 27 27 f ?( x) ?



g ( x1 ) ? g ( x2 ) 38 ,即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 38 | x1 ? x2 | ? x1 ? x2 27 27

………………(12 分)

方法 2:

M ( x1 , g ( x1 )) 、 N ( x2 , g ( x2 )) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两相异点,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2( x1 ? x2 ) a ? 2? ? 2 2 x1 ? x2 x1 x2 x1 x2
?2 ?

,? x1 ? x2 ? 2

x1 x2

,a? 4 ………(8 分)

2( x1 ? x2 ) 4 4 a 4 a ?2? ? ? ? 2? ? 2 2 3 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 1 x1 x2

设t ?

, t ? 0 ,令 kMN ? u(t ) ? 2 ? 4t 3 ? 4t 2 , u?(t ) ? 4t (3t ? 2) ,

由 u?(t ) ? 0 ,得 t ? 2 , 由 u?(t ) ? 0 得 0 ? t ? 2 ,
3

3

2 2 ?u (t ) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( ,?? ) 上是增函数, 3 3 2 38 g ( x ) ? g ( x2 ) 38 ,? u (t ) ? 38 ,∴所以 1 ? u (t ) 在 t ? 处取极小值 ? x1 ? x2 27 27 27 3

即 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 38 | x1 ? x2 |
27

……………… (12 分)
2

9. (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? x ? a ? a ? 1 ? x
x

? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? x x

2分
( x ? 1) 2 . 故 f ( x) 在 (0,??) 单调增加. (i)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2 ,则 f ' ( x) ? x (ii)若 a ? 1 ? 1, 而a ? 1, 故1 ? a ? 2, 则当x ? (a ? 1,1)时, f ' ( x) ? 0.

, 当x ? (0, a ? 1)及x ? (1,??)时, f ' ( x) ? 0, 故f ( x)在(a ? 1,1) 单调减少,在(0,a-1)
(1,??) 单调增加.

(iii)若 a ? 1 ? 1,即a ? 2,同理可得f ( x)在(1, a ? 1)单调减少, 在(0,1), (a ? 1,??) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x ? x.
a ?1 a ?1 ? 2 x? ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 . x x 由于 a ? a5, 故g ' ( x) ? 0,即g ( x)在(0,??)单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ,当 0 ? x1 ? x 2 时,有 ? ? ?1 故 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x 2 ? x1

1 2

由 g ' ( x) ? x ? (a ? 1) ?

10







I



a ……………(2 分) f ?( x) ? x ? , g ?( x) ? a ? 1 , x ∵函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,

∴当 x ?[1,3] 时,f ?( x) ? g ?( x) ? 即 (a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立,

(a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, x

…………… (4 分)

∴?

? a ? ?1 ?a ? ? x
2

在 x ?[1,3] 时恒成立,或 ?

? a ? ?1 ?a ? ? x
2

在 x ?[1,3] 时恒成立, ………………

∵ ?9 ? x ? ?1 ,∴ a ? ?1 或 a ? ?9 (6 分) (II) F ( x) ? 1 x2 ? a ln x, ?(a ? 1) x , F ?( x) ? x ? a ? (a ? 1) ? ( x ? a)( x ? 1)
2 x x

∵ F ( x) 定义域是 (0, ??) , a ? (1, e] ,即 a ? 1 ∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, a) 实际减函数,在 (a, ??) 是增函数 ∴当 x ? 1 时, F ( x) 取极大值 M ? F (1) ? ?a ? 1 ,
2 1 2 当 x ? a 时,F ( x) 取极小值 m ? F (a) ? a ln a ? a ? a , 2 ∵ x1 , x2 ?[1, a] ,∴ | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |?| M ? m |? M ? m

……………… (8 分) ……………… ( 10

分) 设 G(a) ? M ? m ? a 2 ? a ln a ? ,则 G?(a) ? a ? ln a ?1 ,
1 a ∴ G?(a) ? a ? ln a ?1 在 a ? (1, e] 是增函数,∴ G?(a) ? G?(1) ? 0 1 1 ∴ G(a) ? a 2 ? a ln a ? 在 a ? (1, e] 也是增函数 ………………(12 2 2

1 2

1 2

∴ [G?(a)]? ? 1 ? ,∵ a ? (1, e] ,∴ [G?(a)]? ? 0

分)
1 1 (e ? 1) 2 ?1 , 2 2 2 1 1 (e ? 1) 2 (3 ? 1) 2 ?1 ? ? 1 ? 1 ,∴ G(a) ? M ? m ? 1 而 e2 ? e ? ? 2 2 2 2 ∴当 x1 , x2 ?[1, a] 时, 不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.

∴ G(a) ? G(e) ,即 G(a) ? e2 ? e ? ?

……………… (14

分) 11.解: (I) f ?( x) ? ? e ?
1 x 1 ? ex 1 ? 0 ,得 x ? e x
1 (0, ) e

当 x 变化时, f ?( x) 与 f ( x) 变化情况如下表:
x

1 e

1 ( , ??) e

f ?( x)
f ( x)

+ 单调递增
e

0 极大值

- 单调递减 …………(4

∴当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f ( 1 ) ? ?2 ,没有极小值;
e

分) (II) (方法 1)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴
ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 x ?x x ?e ? ,∴ 2 1 ? ln 2 ? 0 x0 x2 ? x1 x0 x1

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,设 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1 x x / g ( x1 ) ? x1 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , g ( x1 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x1 ) 是 x1 的增函数, 1 x1 x1 x ∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ; x2 x x / g ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , g ( x2 ) x ? ln 2 ? 1 ? 0 , g ( x2 ) 是 x2 的增函数, 2 x1 x1 x ∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln 1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 , x1 x ∴函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 , ………… (10 x1

即 x0 ln

分)
x2 x x ? 1,? ln 2 ? 0 ,函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1 x ?x x ∴函数 g ( x ) ? 2 1 ? ln 2 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,命题成立…………(12 x x1

又∵

分) (方法 2)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴
ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 , ?e ? x0 x2 ? x1

即 x0 ln x2 ? x0 ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 , x0 ? ( x1 , x2 ) ,且 x0 唯一 设 g ( x) ? x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x2 , 再设 h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 , 0 ? x ? x2 ,∴ h?( x) ? ln x2 ? ln x ? 0 ∴ h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 在 0 ? x ? x2 是增函数 ∴ g ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,同理 g ( x2 ) ? 0 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有解 ………… ( 10 分) ∵一次函数在 ( x1 , x2 ) g ( x) ? (ln x2 ? ln x1 ) x ? x1 ? x2 是增函数 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有唯一解, 命题成立……… (12 分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线 C 不存在拐点,不给分. log 2 (2 x ? x 2 ? 4) ? 0 12 . 解 : ( I ) , 即 2 ……………………(2 分) 2x ? x ? ? 4 1 得函数 f ( x) 的定义域是 ……………………(4 分) (?1,3) , (II) g ( x) ? F (1,log2 ( x2 ? ax 2 ? bx ? 1)) ? x3 ? ax 2 ? bx ? 1, 设曲线 C在x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线, 又由题设 log 2 ( x 3 ? ax2 ? bx ? 1) ? 0, g ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b,

2 ?3x0 ? 2ax0 ? b ? ? 8 ① ? ∴存在实数 b 使得 ?? 4 ? x0 ? ?1 ② ? 3 2 ?1 ? x0 ? ax0 ? bx0 ? 1③

有解,

……………………

(6 分) 由①得 b ? ?8 ? 3x02 ? 2ax0 , 代入③得 ? 2 x02 ? ax0 ? 8 ? 0 ,
? 2 x 2 ? ax0 ? 8 ? 0 ? ?由 ? 0 有 ? ? ?4 ? x0 ? ?1

解, 方法 1: a ? 2(? x0 ) ?

……………………(8 分)
8 ,因为 ?4 ? x0 ? ?1 ,所以 2(? x0 ) ? 8 ?[8,10) , (? x0 ) (? x0 )

当 a ? 10 时,存在实数 b ,使得曲线 C 在 x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线 ………………(10 分) 2 2 方法 2:得 2 ? (?4) ? a ? (?4) ? 8 ? 0或2 ? (?1) ? a ? (?1) ? 8 ? 0 , ……………… ? a ? 10或a ? 10,? a ? 10. (10 分)
2 ?(? 4 ) 方法 3: 是? ? ?
2 ? ? a (? 4 ) ? 8 ? 0 2 1 ) ? ? a (? 1 ) ? 8 ? 0 ? ?2 ?(?

的补集, 即 a ? 10

……………… (10

分)
x ? ln(1 ? x) ln(1 ? x) 1 ? x (III)令 h( x) ? , x ? 1,由h?( x) ? x x2 1 1 ?x x ? ? ? 0, 又令 p( x) ? ? ln(1 ? x), x ? 0, ? p ?( x) ? 2 1 ? x (1 ? x) 2 1? x (1 ? x)
? p( x)在[0,??) 单调递

减.

……………………(12)分

?当x ? 0时有p( x) ? p(0) ? 0,?当x ? 1时有h?( x) ? 0,

? h( x)在[1,??) 单调递减, ln(1 ? x) ln(1 ? y ) ?1 ? x ? y时, 有 ? ,? y ln(1 ? x) ? x ln(1 ? y ),? (1 ? x) y ? (1 ? y ) x , x y
?当x, y ? N ?且x ? y时F ( x, y) ? F ( y, x).

………………(14

分)


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