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湖南省衡阳八中2013届高三第三次教育质量检测理科数学试题


湖南省衡阳八中 2013 届高三第三次教育质量检测

数学(理)试题
(考试内容:集合、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何) 考生注意:本试卷共 150 分;考试时间为 120 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分) 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? x 2 ? 4 ? 0 ,则 C U M =
x

?

?

A. ? x x ? 2 ?

B. ? x x ? 2 ?
Z2 Z1 ?

C. ? x x ? 2 ?

D. ? x x ? 2 ?

2.若复数 Z 1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A. 1 ? 3 i

B. 2 ? i

C. ? 1 ? 3 i

D. 3 ? i

3.已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2 a n ? 2 , 则 a 2 等于 B.2 D. ? 2 4.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( A. 12 ? B. 45 ? C. 57 ? D. 81 ?
3 2

A.4

C )



1

5.对任意 x ? R ,函数 f ( x ) ? a x ? a x ? 7 x 不存在极值点的 ... 充要条件是 A、 0 ? a ? 21 C、 a ? 0 或 a ? 2 1

B、 0 ? a ? 21 D、 a ? 0 或 a ? 2 1

6.在 ? ABC 中, AB ? 4 , AC ? 5 , AB ? BC ? 2 ,则 BC ? A.
3

B.

5
2

C.

7

D. 3

7.将一根钢管锯成三段,焊接成一个面积为 1m ,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供 选用,其中最合理(够用且最省)的是 ..... A、 4 . 7 m B、 4 . 8 m

C、 4 . 9 m

D、 5 m

1

8.设 f ( x ) ? x ? ax
3

2

? bx ? c ,又 k 是一个常数,已知当 k ? 0 或 k ? 4 时, f ( x ) ? k ? 0 只有一个实

根, 当 0 ? k ? 4 时, f ( x ) ? k ? 0 有三个相异实根,现给出下列命题: (1) f ( x ) ? 4 ? 0 和 f ? ( x ) ? 0 有且只有一个相同的实根. (2) f ( x ) ? 0 和 f ? ( x ) ? 0 有且只有一个相同的实根. (3) f ( x ) ? 3 ? 0 的任一实根大于 f ( x ) ? 1 ? 0 的任一实根. (4) f ( x ) ? 5 ? 0 的任一实根小于 f ( x ) ? 2 ? 0 的任一实根. 其中错误命题的个数为 .... A.4 B.3 二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分) 9. ? ( x ? 3 ) dx ?
0 1

C.2

D.1


?x

10.设 f ( x ) ?

e ?e
x

, g ( x) ?

e ?e
x

?x



2

2

计算可知 f (1) g (3) ? g (1) f (3) ? g (4) ? 0 ,
f (3) g (2) ? g (3) f (2) ? g (5) ? 0 ,

并由此概括出关于函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的一个等式,使上面的两个等式是 你写出的等式的特例,这个等式是_____________________________
? x ? y ≥ 2, ? 11.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2, 则目标函数 z ? 2 x ? y ? 0 ≤ y ≤ 3, ?

的最小值为 . 12.已知如图所示圆锥的母线长为 6 ,底面半径为 1,现有一只蚂蚁 从底面圆的 A 点出发,绕圆锥侧面一圈后回到点 A, 则这只蚂蚁爬过的最短距离为 . 13.已知 a ? (cos x , 2 ) , b ? ( 2 sin x , 3 ) , a // b ,则 sin 2 x ? 2 cos
?

?

?

?

2

x ?

14.已知 ? ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则该三角形的形状 为 15.如图,正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 ,则下列四个命题: ① P 在直线 B C 1 上运动时,三棱锥 A ? D1 P C 的体积不变; ② P 在直线 B C 1 上运动时,直线 A P 与平面 A C D 1 所成角的大小不变;
2

③ P 在直线 B C 1 上运动时,二面角 P ? A D 1 ? C 的大小不变; ④ M 是平面 A1 B1C 1 D 1 上到点 D 和 C 1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D 1 点的直线 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) ... 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 4 sin x (sin x ?
3 cos x ) ? 5

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期以及最大值和最小值; (2)求函数 f ( x ) 的增区间。

17. (本题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A、B、C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 (2 a ? c ) B A ? B C ? c C B ? C A . (1)求角 B 的大小; (2)若 | B A ? B C | ?
??? ? ??? ? 6 ,求 ? A B C 面积的最大值. ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图所示, A B C D 是边长为 a 的正方形, ? A B P 是以角 B 为直角的等腰三角形. (1) H 为 B D 上一点,且 A H ? 平面 P D B ,求证:平面 A B C D ? 平面 A P B ; (2)若 PC ?
3 a ,求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

19. (本小题满分 13 分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所 需的学费、住宿费及生活费。每一年度申请总额不超过 6000 元。某大学 2012 届毕业生在本科期间
3

共申请了 24000 元助学贷款,并承诺在毕业后 3 年内(按 36 个月计)全部还清。 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元,第 13 个月开始,每月工资比前一个月增 加 5% 直到 4000 元。该同学计划前 12 个月每个月还款额为 500,第 13 个月开始,每月还款额比前 一月多 x 元。 (Ⅰ)若该同学恰好在第 36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求 x 的值; (Ⅱ)当 x = 50 时,该同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满足每 月 3000 元的基本生活费? (参考数据: 1 . 05
18

? 2 . 406 ,1 . 05

19

? 2 . 526 ,1 . 05

20

? 2 . 653 ,1 . 05

21

? 2 . 786



20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 3 , a n a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1 . (1)求 a 2 , a 3 , a 4 ; (2)求证:数列 ?
? ? ? 是等差数列,并求出 ?a n ? 的通项公式。 an ? 1 ? ? 1
n

(3)若 b n ? ( 2 n ? 1) 2 a n ,求 ?b n ? 的前 n 项和 T n

21. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ?
b x ? 2 ln x , f (1) ? 0 .

(1)若函数 f(x)在其定义域内为单调函数,求 a 的取值范围; (2)若函数 f(x)的图象在 x = 1 处的切线的斜率为 0,且 a n ? 1 ? f ? (
a 1 ? 4 ,求证: a n ? 2 n ? 2 ;
1 1 ? a1 ? 1 1 ? a2 ? 1 1 ? a3 ?? ? 1 1 ? an
2 5

1 an ? n ? 1

) ? n ? 1 ,已知
2

(3)在(2)的条件下,试比较 的理由.



的大小,并说明你

参考答案
4

解答题:

(12 分+ 12 分+ 12 分+ 13 分+ 13 分+ 13 分)

5

18 .

6

故 co s ? n , m ? ? ?

? ??

1 7 1 7

即二面角 A ? P D ? B 的余弦值为 19 .



7



1 an ? 1

?

1 2

? n ?1 ? n ?

1 2

? an ?

2 2n ? 1

?1?

2n ? 1 2n ? 1

(3) b n ? ( 2 n ? 1) 2

n

利用错项相减的办法解得: T n ? ( 2 n ? 1) 2

n ?1

?2

8


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