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江门市2014届普通高中高三调研测试(理数)


江门市 2014 届普通高中高三调研测试 数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | 1 ? x ? 3?,则 A ? B ? A. (?1 , 3 ) B. ( 1 , 2 ) C. [?1 , 3 ] D. [ 1 , 2 ]

⒉若复数 (m 2 ? 5m ? 6) ? (m 2 ? 3m)i 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则实数 m ? A. m ? 2 B. m ? 3 C. m ? 0 D. m ? 2 或 m ? 3

⒊已知平面向量 a ? (? , ? 3) , b ? (4 , ? 2) ,若 a ? b ,则实数 ? ? A. ?
3 2

B.

3 2

C. ? 6

D. 6

⒋已知点 A(1 , 2) , B(2 , 1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0

⒌设 a 、 b ? R ,若 a ? | b |? 0 ,则下列不等式中正确的是 A. a ? b ? 0 B. a 3 ? b 3 ? 0 C. a 2 ? b 2 ? 0 D. a ? b ? 0

⒍如图 1, E 、 F 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AD1 、 B1C 上的动点(不含端 点) ,则四边形 B1 FDE 的俯视图可能是

A.

B.
x ? 0, x ? 0,

C. ,则该函数是

D.

图1

?1 ? 2 ? x , ? ⒎已知函数 f ( x) ? ? x ?2 ? 1 , ?

A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增 ⒏平面直角坐标系中,抛物线 y 2 ?

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
1 x 与函数 y ? ln x 图象的交点个数为 2
1

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐ log 2 3 . l o g 2 (填“ ? ”或“ ? ” ) 3 .

⒑在 ?ABC 中, c ? 3 , A ? 45 0 , B ? 75 0 ,则 a ?

⒒若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ( 10 , 0) ,则双曲线方程 是 .

?x ? 0 ? ⒓若 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?3 x ? y ? 4 ?



⒔若 ? 、 ? 是不重合的平面, a 、 b 、 c 是互不相同的空间直线,则下列命题中 为真命题的是 . (写出所有真命题的序号)

① 若 a // ? , b // ? ,则 a // b ② 若 c // ? , b ? ? ,则 c ? b ③ 若 c ? ? , c // ? ,则 ? ? ? ④ 若 b ? ? , c ? ? 且 a ? b , a ? c ,则 a ? ? (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕直线 y ? x 和抛物线 y ? x 2 所围成封闭图形的面积 S ? ⒖在数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 ?
an ?



an ( n? N? ) ,试归纳出这个数列的通项 1 ? an



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分)
x x x 已知 f ( x) ? 2 cos ( 3 sin ? cos ) ? 1, x ? R . 2 2 2

⑴ 求 f (x) 的最小正周期; ⑵ 设 ? 、 ? ? (0 ,

?
2

) , f (? ) ? 2 , f ( ? ) ?

8 ,求 f (? ? ? ) 的值. 5

2

⒘(本小题满分 13 分) 如图 2, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ? CB , ? CB ? 1 , AA1 ? 2 ,M 、 棱 CA CA

N 分别是 A1 B1 、 A1 A 的中点.
⑴ 求证: C1 N ? 平面 BCN ; ⑵ 求直线 B1C 与平面 C1 MN 所成角 ? 的正弦值.
A1

C1

M

B1

N C

A
⒙(本小题满分 13 分)

图2

B

为配制一种药液,进行了三次稀释,先在体积为 V 的桶中盛满纯药液,第一 次将桶中药液倒出 10 升后用水补满,搅拌均匀第二次倒出 8 升后用水补满,然后 第三次倒出 10 升后用水补满. ⑴ 求第一次稀释后桶中药液的含量; ⑵ 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 60%,求 V 的取值范围; ⑶ 在第⑵问的条件下,第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的 50%,为 什么?

⒚(本小题满分 14 分) 如图 3, 椭圆 ? 的中心在坐标原点 O , 过右焦点 F (1 , 0) 且垂直于椭圆对称轴 的弦 MN 的长为 3. ⑴ 求椭圆 ? 的方程; ⑵ 直线 l 经过点 O 交椭圆 ? 于 P 、 Q 两点, NP ? NQ ,求直线 l 的方程.

图3
3

⒛(本小题满分 14 分) 已知正项等比数列 ?a n ?( n ? N ? ) ,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,且 S 3 ? a3 、
S 5 ? a5 、 S 4 ? a 4 成等差数列.

⑴ 求数列 ?a n ?的通项公式; ⑵ 求数列 ? nSn ?的前 n 项和 Tn .

21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ,曲线 y ? f (x) 经过点 P(0 , 2) ,且在点 P 处的切 线为 l : y ? 4 x ? 2 . ⑴ 求常数 a , b 的值; ⑵ 求证:曲线 y ? f (x) 和直线 l 只有一个公共点; ⑶ 是否存在常数 k ,使得 x ? [?2 , ? 1] , f ( x) ? k (4 x ? 2) 恒成立?若存在, 求常数 k 的取值范围;若不存在,简要说明理由.

4

参考答案
一、选择题 二、填空题 ⒐> ⒕
1 6

BAAC

DBCD

⒑ 2 ⒖
1 n

⒒ x2 ?

y2 ?1 9

⒓0

⒔②③(对 1 个 3 分,错 1 个 ? 2 分)

三、解答题 ⒗解:⑴ f ( x) ? 3 sin x ? cos x ……2 分, ? 2 sin(x ?
f (x) 的最小正周期 T ? 2? ……5 分

?
6

) ……4 分,

⑵因为 2 sin(? ? 所以 ? ?

?
6

) ? 2 , sin(? ?

?
6

) ? 1,

?
6

?? ?

?
6

?

……7 分, 2 3 ? 8 ? 4 ? ? 2? ……8 分, 2 sin(? ? ) ? , sin(? ? ) ? , ? ? ? ? 6 5 6 5 6 6 3 4 3 ? ? ? ? 3 因为 ? ,所以 ? ? ? ? , cos(? ? ) ? ……9 分, 5 2 6 6 2 6 5
6

?

?

?

,? ?

?

2? ……6 分, 3

所以 f (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ?
? 2 cos[(? ?
?

?

?

) ? ] ? 2 cos(? ? ) cos ? 2 sin(? ? ) sin ……11 分, 6 6 6 6 6 6

?

) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ……10 分, 6 2

?

?

?

?

?

3 3?4 ……12 分。 5

(或者在第 7 分之后: f (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ? 分,
? 2c o s? ( [?

?

) ? ] ? 2 c o s (? ) c o s ? 2 s i n?( ? ) s i n ……9 分, ? 6 6 6 6 6 6 ? 8 ? 4 ? 3 因为 2 sin(? ? ) ? , sin(? ? ) ? ,所以 cos(? ? ) ? ? ……10 分, 6 5 6 5 6 5 4?3 3 所以 f (? ? ? ) ? ……11 分, 5 4?3 3 ? 因为 ? ? (0 , ) , f (? ? ? ) ? 2 cos ? ? 0 ,所以 f (? ? ? ) ? …12 分) 5 2

?

?

?

?

) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ……8 6 2

?

?

?

⒘证明与求解: CA ? AN ? NA1 ? A1C1 ? 1 ,AA1 ? 底面,?ANC ? ?A1 NC1 ? ⑴ ……1 分, ?CNC1 ?

?

, C1 N ? NC ……2 分,因为 CA ? CB , BC ? CC1 , 2 AC ? CC1 ? C ,所以 BC ? 平面 CAA1C1 ……3 分, BC ? C1 N ……4 分,因为
5

?

4

BC ? NC ? C ,所以 C1 N ? 平面 BCN ……5 分 ⑵(方法一)以 C 为原点,CA、CB、CC1 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 建立空间直角坐标系……6 分, 则 C (0 , 0 , 0) 、 C1 (0 , 0 , 2) 、 B1 (0 , 1 , 2) ……7 分, 1 1 M ( , , 2) 、 N (1 , 0 , 1) ……8 分, 2 2 1 1 C1 M ? ( , , 0) 、 C1 N ? (1 , 0 , ? 1) 、 CB1 ? (0 , 1 , 2) ……9 分, 2 2 ?n ? C1 M ? 0 ? 设平面 C1 MN 的一个法向为 n ? (a , b , c) ,则 ? ……10 分, ?n ? C1 N ? 0 ? ?a ? b ? 0 即? ,取 n ? (1 , ? 1 , 1) ……11 分, ?a ? c ? 0
所以 sin ? ?| cos ? n , CB1 ?|? (方法二)
| n ? CB1 | | n || CB1 |

……12 分, ?

15 ……13 分。 15

A1 M AN 2 ? ? ? ,?BAN ? ?NA1 M ? ,?BAN ~ ?NA1 M …… A1 N AB 2 2

6 分, 所以 ?BNA ? ?A1 MN , ?MNB ?

, ? MN ……7 分, 由⑴知 BN ? C1 N , BN 2 C1 N ? MN ? N ,所以 BN ? 平面 C1 MN ……8 分。 延长 B1 B 到 B2 ,延长 C1C 到 C 2 ,使 BB2 ? CC2 ? 2 ,连接 BC 2 、 NC 2 ……9
cos ?NBC2 ? BN 2 ? BC 2 ? NC2 15 ……11 分, ? ? 2 BN ? BC 2 15
2 2

?

分,在 ?NBC2 中, BN ? 3 , BC 2 ? 5 , NC2 ? 10 ……10 分,

BN 是平面 C1 MN 的法向量,由所作知 BC2 // B1C ,从而 ? ? ?NBC2 ?

?
2

,所

以 sin ? ? ? cos ?NBC2 ?

15 ……13 分。 15 其他方法,例如将直三棱柱补成长方体,可参照给分。

⒙解:⑴第一次稀释后桶中药液为 V ? 10 (升)……2 分 V ? 10 ⑵第 2 次倒出后桶中剩余农药 (V ? 10) ? ? 8 升……3 分,依题意 V V ? 10 (V ? 10) ? ? 8 ? V ? 60% ……5 分,即 V 2 ? 45V ? 200 ? 0 ……6 分, V 解得 5 ? V ? 40 ……7 分,又 V ? 10 ,所以 10 ? V ? 40 ……8 分。 ⑵不能达到 50% ……9 分,再次倒出 10 升后用水补满,桶中的农药占容积 V ? 10 的比率不超过 60 % ? ……10 分,因为 10 ? V ? 40 , V
6

V ? 10 10 10 ? 60% ? (1 ? ) ? 60% ? (1 ? ) ? 45% ……12 分, V V 40 答: (略)……13 分。 x2 y2 ⒚解:⑴设椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )……1 分 a b 2b 2 2(a 2 ? c 2 ) 2 2 依题意, c ? a ? b ? 1 ……2 分, ? ? 3 ……4 分 a a x2 y2 解得 a ? 2 , b ? 3 ……6 分,椭圆 ? 的方程为 ? ? 1 ……7 分 4 3 ⑵(方法一)连接 ON,由椭圆的对称性 OP ? OQ ……8 分,因为 NP ? NQ , 3 3 所以 ON ? PQ ……9 分,依题意, N (1 , ? ) ……10 分,所以 k ON ? ? ……11 2 2 1 2 2 分, k l ? ? ? ……13 分,所以直线 l 的方程为 y ? x ……14 分。 k ON 3 3

所以 60% ?

? x2 y2 ?1 ? ? (方法二)设直线 l 的方程为 y ? kx ……8 分,解 ? 4 ……9 分,得 3 ?y ? kx ?

12 12 12 12 , k ) , Q(? , ?k ) …… 10 分,依题 意, 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3 3 N (1 , ? ) ……11 分,由 NP ? NQ 得 2 12 3 12 12 3 12 (1 ? ) 2 ? (? ? k ) 2 = (1 ? ) 2 ? (? ? k )2 … 2 2 2 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 2 2 …12 分,解得 k ? ……13 分,所求直线 l 的方程为 y ? x ……14 分。 3 3 n ?1 ⒛解:⑴依题意,设 an ? 3q ……1 分, S 3 ? a3 、 S 5 ? a5 、 S 4 ? a 4 成等差数列, P(

所以 2( S 5 ? a5 ) ? ( S 3 ? a3 ) ? ( S 4 ? a 4 ) ……2 分,即
2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2a5 ) ? (a1 ? a2 ? 2a3 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? 2a4 ) , 1 化简得 4a5 ? a3 ……4 分,从而 4q 2 ? 1 ,解得 q ? ? ……5 分, 2 1 6 因为 ?a n ?( n ? N ? )是单调数列,所以 q ? , a n ? n ……6 分 2 2 1 ⑵由⑴知 S n ? 6(1 ? n ) ……7 分, 2 1 2 3 n Tn ? 6(1 ? ) ? 6(2 ? 2 ) ? 6(3 ? 3 ) ? ? ? 6(n ? n ) ……8 分, 2 2 2 2 1 2 3 n Tn ? 3n(n ? 1) ? 6( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ……9 分, 2 2 2 2 1 2 3 n 2 3 n 设 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 2 Rn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ……11 分, 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n?2 两式相减得 Rn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n ? 2 ? n ……13 分, 2 2 2 2 2 2
7

所以 Tn ? 3n(n ? 1) ? 6 Rn ? 3n(n ? 1) ? 12 ? 21 解:⑴ f / ( x) ? e x (ax ? a ? b) ……1 分,

3(n ? 2) ……14 分。 2 n?1

?e 0 ( a ? 0 ? b) ? 2 ? f ( 0) ? 2 ? 依题意, ? / 即? 0 ……3 分, f (0) ? 4 ?e (a ? 0 ? a ? b) ? 4 ? ? 解得 a ? b ? 2 ……5 分。 ⑵记 g ( x) ? e x (ax ? b) ? (4 x ? 2) ? 2e x ( x ? 1) ? 2(2 x ? 1) , 则 g / ( x) ? 2e x ( x ? 2) ? 4 ……6 分,

当 x ? 0 时, g / ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, g / ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, g / ( x) ? 0 ……8 分,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,等号当且仅当 x ? 0 时成立,即 f ( x) ? 4 x ? 2 ,等号当 且仅当 x ? 0 时成立,曲线 y ? f (x) 和直线 l 只有一个公共点……9 分。 ⑶ x ? [?2 , ? 1] 时, 4x ? 2 ? 0 ,所以 f ( x) ? k (4 x ? 2) 恒成立当且仅当
k? f ( x) e x ( x ? 1) ? ……10 分, 4x ? 2 2x ? 1 e x (2 x 2 ? 3 x) e x ( x ? 1) 记 h( x ) ? , x ? [?2 , ? 1] , h / ( x) ? ……11 分, 2x ? 1 (2 x ? 1) 2 3 由 h / ( x) ? 0 得 x ? 0 (舍去) x ? ? ……12 分 , 2 3 3 当 ? 2 ? x ? ? 时, h / ( x) ? 0 ;当 ? ? x ? ?1 时, h / ( x) ? 0 ……13 分, 2 2 3 x e ( x ? 1) 3 1 ? 所以 h( x) ? 在区间 [?2 , ? 1] 上的最大值为 h(? ) ? e 2 ,常数 k 的 2 4 2x ? 1
3

1 ? 取值范围为 ( e 2 , ? ?) ……14 分. 4

8


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