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河南省周口市商水县第一高级中学高一数学下学期期中试题 文


商水一高 2015—2016 学年度下学期期中考试 高一数学(文科)试题
一、选择题(单项选择 共 60 分) 4 1.若 sin α = ,且 α 是第二象限角,则 tan α 等于 5 4 A.- 3 3 B. 4 3 C.± 4 4 D.± 3

2.下列命题中:①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;②若 a ? b , (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ;③若

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b = a ? c ,则 b = c ;④若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4 3.在△ABC 中,cosAcosB>sinAsinB,则△ABC 为 A. 锐角△ B. Rt△ C.钝角△ D.无法判定 → → → 4.已知 O,A,B,C 为同一平面内的四个点,若 2AC+CB=0,则OC= 2→ 1→ A. OA- OB 3 3 1→ 2→ B.- OA+ OB 3 3 → → C.2OA-OB → → D.-OA+2OB

5.已知角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 π? ? sin?2θ + ?的值为 4? ? 7 A.- 2 10 7 B. 2 10 C.- 2 10 D. 2 10

6. 函数 f ( x) 是周期为 π 的偶函数, 且当 x ? [0, 值是 A. ? 4 B. ? 2

?
2

) 时, f ( x) ? 3 tan x ? 1, 则 f(

8? )的 3

C. 0

D. 2

?π ? 7.已知函数 y=tan(2x+φ )的图像过点? ,0?,则 φ 的值可以是 ?12 ?
π A.- 6 B。 π 6 π C.- 12 π D. 12

8.给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x).f(y),f(x+y)= 函数中不满足其中任何一个等式的是 A f(x)= 3
X

f ( x) ? f ( y ) 下列 1 ? f ( x) f ( y )

B

f(x)=sinx

C f(x)= log2

x

D f(x)=tanx

→ → → → → → 9.在△ABC 中,AB=4,∠ABC=30°,D 是 BC 上的一点,且AD?AB=AD?AC,则AD?AB的 值为( A.0 ) B.-4 C.8 D.4

1

π? 2 ? 10.已知 θ ∈(0,π ),且 sin?θ - ?= ,则 tan 2θ = 4 ? 10 ? 4 A . 3 λ b 垂直,则 λ = A. 1 2 B.1 C.2 D.3 3 B . 4 24 C.- 7 24 D.. 7

11.设向量 a 与 b 满足|a|=2,b 在 a 方向上的投影为 1,若存在实数 λ ,使得 a 与 a-

12.如图,在△ ABC 中, AD 、 BE 、 CF 分别是 BC 、 CA 、 AB 上的中线,它们交于 点 G ,则下列各等式中不正确 的是 ... A ??? ? ??? ? ???? 1 ???? A. DG ? AG B. CG ? 2GF 2 F E C. BG ?

??? ?

? 2 ??? BE 3

D. GA ? GB ? GC ? 0

??? ? ??? ? ??? ?

?

G B D C

二 填空题(本大题共 20 分) 13.(1+tan17°)(1+tan28°)=________ 14.化简: AB ? CD ? EC ? EB ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?



?3 ? 15.已知 f1(x)=sin? π +x?cos x,f2(x)=s in xsin(π +x),设 f(x)=f1(x)-f2(x),则 ?2 ?
f(x)的单调递增区间是________________. π? π ? 16.将函数 f(x)= 2sin?2x- ?+1 的图像向左平移 个单位长度,再向下平移 1 个单位 4 8 ? ? 长度,得到函数 g(x)的图像,则函数 g(x)具有性质________.(填入所有正确性质的序 号) 3π ①最大值为 2,图像关于 直线 x= 对称; 4

? π ? ②在?- ,0?上单调递增,且为偶函数; ? 2 ?
③最小正周期为 π ;

?π ? ④图像关于点? ,0?对称; ?4 ? ? π? ⑤在?0, ?上单调递增,且为奇函数. 4? ?
三 解答题(本大题共 70 分) π 1 17.(本小题满分 10 分)已知- <x<0,sinx+cosx= ,求: (1)sinx-cosx 的值; 2 5 x x 2x 2x 3sin -2sin cos +cos 2 2 2 2 (2)求 的值. 1 tanx+ tanx

2

18. (本小题满分 12 分)已知

=(6,1), ,求 x 与 y 的值

,且



(1)求 x 与 y 间的关系; (2)若

tan? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根. 19. (本小题满分 12 分) 已 知 ?、? ? ?0, ? ? ,且 tan?、
2

①求 ? ? ? 的值.

②求 cos?? ? ? ? 的值.

20.(本小 题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ,x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

π 个单位,再将图象上各点横坐标伸长到原来 4

的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的最大值及取得最大 值时的 x 的集合.

3

21.(本小题满分 12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 为 BC 边 → 上的高,求|AD|与点 D 的坐标.

22. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? ? cos

?

? ?

3 3 ? ? ? x x? x, sin x ?, b ? ? cos ,? sin ? , 2 2 ? 2 2? ?

且 x ? ?0,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? f x ? a ? b ? 2 ? a ? b a ?b ; a ? b , ( 为常数)求 (1) 及 , ? 2? ?
3 ,求实数 ? 的值. 2

(2)若 f ?x ? 的最小值是 ?

4

商水一高 2015—2016 学年度下学期期中考试题 高一数学(文科)参考答案 3 2 1.答案 A[解析] 因为 α 是第二象限角,所以 cos α =- 1-sin α =- , 5 sin α 4 于是 tan α = =- . cos α 3 2. 答案 A 3.答案 C → → → → → → → → → → → → 4.答案 C [解析] 因为AC=OC-OA,CB=OB-OC,所以 2AC+CB=2(OC-OA)+(OB-OC) → → → → → → =OC-2OA+OB=0,所以OC=2OA-OB. 5 5 答案.D [解析] 由三角函数的定义得 tan θ =2,cos θ =± , 5 2tan θ 4 3 2 则 tan 2θ = =- ,cos 2θ =2cos θ -1=- ,sin 2θ =cos 2 1-tan θ 3 5 π? 4 2 2 ?4 3? ? 2θ tan 2θ = ,所以 sin?2θ + ? = (sin 2 θ +cos 2θ )= ?? - ? 4? 5 2 2 ?5 5? ? = 2 . 10

6. 【答案】D 7.答案

?12 ? ? 12 ? π π =0,得 φ =- +kπ (k∈Z),取 k=0,可知 φ 的值可以是- . 6 6

?π ? ? π ? ?π ? A [解析] 因为函数图像过点? ,0?,所以 0=tan?2? +φ ?,即 tan? +φ ? ?6 ?

8.答案 B → → → → → → → → → → 9.答案 D [解析] 由AD?AB=AD?AC,得AD?(AB-AC)=0,即AD?CB=0 所以AD → ⊥CB,即 AD⊥BC.又 AB=4,∠ABC=30°,所以 AD=ABsin 30°=2,∠BAD=60°,于 1 → → → → 是AD?AB=|AD|?|AB|cos∠BAD=2?4? =4. 2 π? 2 2 2 ? 10.答案 C [解析] 由 sin?θ - ?= ,得 (sin θ -cos θ )= , 4 ? 10 2 10 ? 4 3 1 sin θ = , sin θ =- , ? 5 5 ?sin θ -cos θ = , 1 5 得 即 sin θ -cos θ = .由? 或 5 3 4 ? cos θ = cos θ =- . ?sin2θ +cos2θ =1, 5 5 3 sin θ =- , 5 4 又 θ ∈(0,π ),所以 sin θ >0,则 不合题意,舍去,所以 tan θ = , 3 4 cos θ =- 5 4 2? 3 2tan θ 24 于是 tan 2θ = = =- . 2 1-tan θ 2 7 ?4? 1-? ? ?3?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

5

11.答案 C [解析] 由 a⊥(a-λ b),得 a?(a-λ b)=a -λ a?b=0,即 λ a?b=4①. 又 因为|b|cos〈a,b〉=1,所以 a?b=2②. 由①②联立解得 λ =2. 12.答案 A 二 填空题 13. 【答案】2 【解析】原式=1+tan17°+tan28°+tan17°?tan28°,又 tan(17°+ 28°) = tan17°+tan28° = tan45° = 1 , ∴ tan17° + tan28° = 1 - 1-tan17°?tan28°

2

tan17°?tan28°,代入原式可得结果为 2.

???? 14. 答案 AD
π? ? 15. 答案.?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ? [解析] 由题意知 f1(x)=-cos x,f2(x)=-sin x,则
2 2

f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x.令 2x∈[2kπ , 2kπ +π ](k∈Z), 得 x∈?kπ ,kπ + ? 2

? ?

π?

?

π? ? (k∈Z).所以 f(x)的单调递增区间是?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 2? ? π? π ? 16 .答案.①③⑤ [解析] 将函数 f(x)= 2sin?2x- ?+1 的图像向左平移 个单位长 4? 8 ? 度,再向下平移 1 个单位长度,得到函数 g(x)= 2sin 2x 的图像.易知函数 g(x)具有 π kπ 以下性质:g(x)为奇函数,最大值为 2,最小正周期为 π ,图像关于直线 x= + 4 2 π ? kπ ? ? π ? (k∈Z)对称,关于点? ,0?(k∈Z)中心对称,在区间?- +kπ , +kπ ?(k∈Z)上 4 ? 2 ? ? 4 ? 单调递增.综上可知应填①③⑤. 三 解答题 1 24 17. 解:(1)由 sinx+cosx= ,得 2sinxcosx=- . 5 25 49 2 ∵(sinx-cosx) =1-2sinxcosx= , 25 π ∵- <x<0.∴sinx<0,cosx>0. 2 7 ∴sinx-cosx<0.故 sinx-cosx=- . 5 3sin -2sin cos +cos 2 2 2 2 (2) 1 tanx+ tanx 2sin -sinx+1 2 = sinx cosx + cosx sinx
2 2

x

x

x

2

x

x

? ? =sinxcosx?2sin -sinx+1? 2 ? ?
2

x

6

=sinxcosx[2(1-cos )-sinx+1)] 2

2

x

? ? =sinxcosx?1-2cos +2-sinx? 2 ? ?
2

x

=sinxcosx(-cosx+2-sinx) 108 ? 12? ? 1? =?- ???2- ? =- . 125 ? 25? ? 5? 18.解:(1)∵ ∴ 由 (2) 由 ,得 x(y-2)=y(4+x), x+2y=0. =(6+x, 1+y), 。 ,



, ∴ (6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又 x+2y=0,





. 19、解析:①. 由根与系数的关系得:

?tan? ? tan ? ? 5? (1) ? ?tan? tan ? ? 6? (2) tan? ? tan ? 5 ? tan( ? ? ?) ? ? ? ?1. 1 ? tan? tan ? 1 ? 6
又 t an? ? 0, t an ? ? 0, 且? , ? ? (0, ? ),? ? , ? ? (0, ),? ? ? ? (0, ? ), 2 3? 所以? ? ? ? . 4
②. 由(1)得 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

?

2 ?(3) 2

? 3 2 ?sin ? sin ? ? ? 5 由(2)得 sin ? sin ? ? 6 cos? cos ? ? (4)联立(3)(4)得? ?cos? cos ? ? 2 ? 10 ?

? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? ?

7 2 10
? ? π? ? .…4 分 4?

20. 解: (1) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ?

7

当 2 k? ?

,(k ? Z) 2 4 2 ? 3? 即 k? ? ? x ? k? ? ,(k ? Z) …6 分 8 4
因此,函数 f ( x ) 的单调递增取间为 ? k? ? ,k? ? ………7 分 (k ? Z) 8 4? ? ? (2)有已知, g ( x) ? ∴当 sin( x ?

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

?

?

3? ?

?
4

2 sin( x ? ) 4

?

……11 分

) ? 1,即 x ?

?

4

? 2 k? ?

?
2

,也即 x ? 2k? ?

?
4

(k ? Z) 时,

g ( x)max ? 2

……13 分 →

21 解 设 D 点坐标为(x,y),则AD=(x-2,y+1), → → → → → →

BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2),
∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, ∴存在实数 λ ,使BD=λ BC, 即(x-3,y-2)=λ (-6,-3). ∴?
?x-3=-6λ , ? ? ?y-2=-3λ ,

∴x-3=2(y-2),

即 x-2y+1=0.① → → 又∵AD⊥BC,∴AD?BC=0, 即(x-2,y+1)?(-6,-3)=0. ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.② 由①②可得? → ∴|AD|= → 即|AD|= 5,D(1,1). ?1-2? +2 = 5,
2 2

?x=1, ? ? ?y=1.

22. 解:⑴ a ? b ? cos

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x 2 2 2 2

8

3 x 3 x | a ? b |? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 2 2 2 2

? 2 ? 2 cos2x ? 2 cos2 x
? x ? [0, ],? cos x ? 0,?| a ? b |? 2 cos x 2
⑵ f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ? 2(cosx ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2
? x ? [0, ],? 0 ? cos x ? 1. 2

?

?

① ②

当 ? ? 0 时,当且 仅当 cos x ? 0 时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当cos x ? ? 时, f ( x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得:
2

3 1 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? ; 2 2

③当 ? ? 1时,当且仅当cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得1 ? 4? ? ? 3
2

解得 ? ?

5 ,这与 ? ? 1 相矛盾, 8 1 为所求. 2

综上所述, ? ?

9


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