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陕西省宝鸡市九校2015届高三3月联合检测(数学理)


宝鸡市九校 2015 届高三 3 月联合检测 数学(理)试题
命题人:宝鸡石油中学 张新会 审题人:宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第 22、23、24 题为三选 一,其它题为必考题.考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题 答案使用 0.5 毫米的黑色中性笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.已知集合 A ? {0, 1, 2} , B ? {1 , m} .

B ? B ,则实数 m 的值是( ☆ ) A. 0 B. 0 或 2 C. 2 D. 0 或 1 或 2 2 .如图 , 在复平面内 , 复数 z1 , z2 对应的向量分别是 数 z1 z2 对应的点位于( ☆ )
若A A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

OA , OB , 则 复

3.若向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误 的是( ☆ ) .. A. a ? b B. 向量 a 与向量 c 的夹角为 90? C. b ∥ c D.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k2 ,使得 d ? k1b + k2 c 4.在△ABC 中,已知 C ?

?
3

, b ? 4 ,△ABC 的面积为 2 3 ,则 c =( ☆ )

A. 7 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 7 5. 已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该 蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是( ☆ ) A. 1 ?

?
2

B. 1 ?

?
3

C. 1 ?

?
6

D. 1 ?

?
12

·1 ·

6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 o ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的主视图时,以 zox 平面为投影面,则得到主视图可以为( ☆ ) A. B. D. 7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出 C.

7 ,则( ☆ ) 4 A. a ? 3 B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 6 8.函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图像如图所示,
的值是 像最有可能的是( ☆ )

那么 f ( x ) 的图

?0 ? x ? 3 ? 9.已知 x,y 满足 ?0 ? y ? 4 ,则 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 的最小值为( ☆ ) ?x ? y ? 0 ?
A. 5 B.

3 2 2
2

C.

3 6
2

D. 17

10 . 已 知 命 题 p : 存 在 a ? R , 曲 线 x ? ay ? 1 为 双 曲 线 ; 命 题 q :

{ x | 1 ? x ? 2} .给出下列结论中正确的有( ☆ ) ①命题“ p 且 q ”是真命题; ②命题“ p 且( ? q )”是真命题; ③命题“( ? p )或 q ”为真命题; ④命题“( ? p )或( ? q )”是真命题.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 11. 如右图二面角 ? ? y ? ? 的大小为 60o , 平面 ? 上

x ?1 ? 0 的解集是 x?2

? 上的正射影为曲线 C 2 ,C 2 在直角坐标系 xOy 下的
2 2

的曲线 C1 在平面 方程

x ? y ? 1 ? 0 ? x ? 1? ,则曲线 C1 的离心率( ☆ )
A. e ? 1 B. e ? 1 C. e ?

3 2

D. e ?

1 2

12. 设函数 f ( x ) ? ?

? x ? [ x] , x ? 0 , 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1.2] ? ?2 , [1.2] ? 1 , ? f ( x ? 1), x ? 0 [1] ? 1 ,若直线 k y ? x ? 1 ( k ? o ) 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有两个不同的交点,则 k 的取值范围是
B. [3, ? ) C. [2, 3]
·2 ·

( ☆ ) A. [2, 3)

D. (2, 3]

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设 (1 - x)(1 + 2 x)5 = a0 + a1 x + a2 x 2 + 鬃 ? a6 x 6 ,则 a2 = 14.函数 f ( x) ? ☆ .

π 2 sin(2 x ? ) ? 4 cos 2 x 的最小值为 ☆ . 4 15.已知函数 f ( x) 是定义在 (??, 0) (0, ??) 上的奇函数,在 (0, ??) 上单调递减,且 f (2) ? 0 ,若 f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值范围为 ☆ .

x2 y2 16.椭圆 ? ? 1 (y ? 0) 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 ☆ . 9 4
三、解答题: (本大题 5 小题,每题 12 分,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 {an } 是一个单调递增的等差数列,且满足 a2 a4 ? 21 , a1 ? a5 ? 10 ,数列 {cn } 的前 n 项和为

S n ? an ? 1 (n ? N? ) ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n cn .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和. 18.某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况,从 A, B, C , D 四所中学的学生当中随机抽取 50 名学生参加问卷调查,已知 A, B, C , D 四所中学各抽取的学生人数分别为 15,20,10,5. (Ⅰ)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率; (Ⅱ)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用 ? 表示 抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列及期望值. 19.在梯形 ABCD 中, AD // BC , BC ? 2 AD , AD ? AB ? BD 翻折,使得平面 ABD ? 平面 BCD . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 ABD ; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离.

2 , AB ? BC ,如图把 ?ABD 沿

A

D

A D

A D C B C

B

C B

20.设 M ( x, y ) 到定点 F ( 3, 0) 的距离和它到直线 x ? (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹方程;

4 3 3 距离的比是 . 3 2

(Ⅱ) O 为坐标原点,斜率为 k 的直线过 F 点,且与点 M 的轨迹交于点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,若

x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,求△ AOB 的面积.
21.设函数 f ( x) ? e , g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? 1 ,其中 e 为自然对数的底数.
x 2

x ?x 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? f ( 1 2 ) ; 2 2 (Ⅱ)函数 h( x ) 是 g ( x) 的导函数,求函数 h( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值.
(Ⅰ)已知 x1 , x2 ? R ,求证:
·3 ·

请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22. (本题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 已知圆内接△ABC 中,D 为 BC 上一点, 形,点 E 为 BC 的延长线上一点,AE 为 B (Ⅰ)求∠BAE 的度数; (Ⅱ)求证: CD 2 =BD EC
A

且△ADC 为正三角 圆 O 的切线.
D C E

23. (本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 OM : ? ?

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数).以 O 为极点,x ? y ? sin ?

?

4

与圆 C 的交点为 O、P 两点,求 P 点的极坐标.

24. (本题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲.

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a 2 2 2 (Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3
(Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

·4 ·

命题人:宝鸡石油中学 张新会
一、选择题(每题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 C 5 C

审题人:宝鸡石油中学 齐宗锁 张亚会
6 A 7 A 8 A 9 B 10 B 11 C 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 30 14. 2 ? 2 15. [?1, 1) 16. (课本 P95 第 6 题)旋转体的体积为
3

[3, ? ? )
3

x2 1 3 V ? 2 ? 4? (1 ? )dx ? 8? ( x ? x ) ? 16? 0 9 27 0
三、解答题:本大题 5 小题,每题 12 分,共 70 分. 由 2a3 ? a1 ? a5 ? 10 ,又可得 a3 ? 5 . 由 a2 a4 ? 21 ,得 (5 ? d )(5 ? d ) ? 21 ,可得 d ? 2 . 所以 a1 ? a3 ? 2d ? 1 .可得 an ? 2n ? 1 (n ? N*) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? an ? 1 ? 2n 当 n ? 2 时, cn ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2 当 n ? 1 时, c1 ? S1 ? 2 满足上式,所以 cn ? 2 (n ? N*) 所以 bn ? 2n cn ? 2n ? 2 ? 2n ?1 ,即 bn ? 2n ?1 , 因为 ????????6 分 17.解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题知 d ? 0 .

bn?1 2n? 2 ? n?1 ? 2 , b1 ? 4 bn 2

所以数列 bn 是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以前 n 项和 Tn ?

? ?

4 ? (1 ? 2n ) ? 2n? 2 ? 4 1? 2

?????????12 分

2 18.解: (Ⅰ)从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种, 2 2 2 来自同一所中学的取法共有 C15 ? C20 ? C10 ? C52 ? 350

350 2 ? . 1225 7 (Ⅱ)因为 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0, 1, 2 ,
∴从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 P ?
2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 P(? ? 0) ? 2 ? ? , P(? ? 2) ? 2 ? , P (? ? 1) ? 2 C25 20 C25 2 C25 20

∴ ? 的分布列为:

3 20 3 1 7 6 ? 的期望值为 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 20 2 20 5

?????????12 分
·5 ·

19.解: (Ⅰ)证明:因为 AD // BC , BC ? 2 AD , AD ? AB ? 所以 BD ?

2 , AB ? BC ,

AB 2 ? AD 2 ? 2 , ?DBC ? ?ADB ? 450

CD ? 22 ? (2 2) 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 cos 45 ? 2 ,
BD 2 ? CD 2 ? BC 2 ,所以 CD ? BD . 因为平面 ABD ? 平面 BCD ,平面 ABD
所以 CD ? 平面 ABD .???? 6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 CD ? BD . 以点 D 为原点, DB 所在的直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴, 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1, 0,1) , B (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , D (0, 0, 0) , M (1,1, 0) . 所以 CD ? (0, ?2, 0) , AD ? (?1, 0, ?1) , MC ? (?1,1, 0) . 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 CD ? n ? 0 且 AD ? n ? 0 , 所以 ? 平面 BCD ? BD ,

??2 y ? 0, 令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1, 0, ?1) ?? x ? z ? 0. | MC n | 1 2 .??????12 分 ? ? |n| 2 2
? 3 2

所以点 M 到平面 ACD 的距离为 d ?

20.解: (Ⅰ)由已知得

( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 | x?

4 3 | 3 x2 ? y 2 ? 1 .?????????6 分 化简得点 M ( x, y ) 的轨迹方程为 4 ? x2 2 ? ? y ?1 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .联立方程组 ? 4 ? y ? k ( x ? 3) ?
消去 y 并整理得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 故 x1 ? x2 ?

8 3k 2 , 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

12k 2 ? 4 4k 2 ? 1
2

?k 2 y1 y2 ? k ( x1 ? 3) k ( x2 ? 3) ? k [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ? 2 4k ? 1 又 x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0
所以

12k 2 ? 4 ?4k 2 4 3 1 ? 2 ? 0 ,可得 k 2 ? ,所以 x1 ? x2 ? , 2 4k ? 1 4k ? 1 3 2

x1 x2 ?

2 3

由 | AB |? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2

·6 ·

原点 O 到直线 AB 的距离 d ? 所以 S ?AOB ?

k (0 ? 3) ? 0 k 2 ?1

?

k 3 k 2 ?1

?1

1 AB ? d ? 1 2

???????????? 12 分
x ?x

21.(Ⅰ)证明:

1 2 1 x1 x1 ? x2 1 x2 2 ? (e ? e ) ? e f ( x ) ? f ( x ) ? f ( ) ? 1 2 ? 2 2 2 x1 ? x2 x1 x2 1 x1 1 2 x2 2 ? (e ? e ? 2e ) ? (e ? e 2 ) 2 ? 0. 2 2 x1 ? x2 1 ?????????6 分 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? f ( ). 2 2 2 x 2 (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? 1 ? e ? ax ? bx ? 1 , h( x) ? g ?( x) ? e x ? 2ax ? b , h?( x) ? e x ? 2a

1 时,∵ x ? [0,1] , 1 ? e x ? e ,∴ 2a ? e x 恒成立, 2 x ? 即 h ( x) ? e ? 2a ? 0 , h( x ) 在 [0,1] 上单调递增, 所以 h( x ) ? h(0) ? 1 ? b . e (2)当 a ? 时,∵ x ? [0,1] , 1 ? e x ? e ,∴ 2a ? e x 恒成立, 2 x 即 h?( x) ? e ? 2a ? 0 , h( x ) 在 [0,1] 上单调递减, 所以 h( x ) ? h(1) ? e ? 2a ? b . 1 e x (3)当 ? a ? 时, h?( x) ? e ? 2a ? 0 得 x ? ln(2a ) 2 2 h( x ) 在 [0, ln 2a ] 上单调递减,在 [ln 2a , 1] 上单调递增, 所以 h( x ) ? h(ln 2a ) ? 2a ? 2a ln 2a ? b ?????????12 分
(1)当 a ?

23.解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是(x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ?????????5 分
2 2

·7 ·

(Ⅱ)因为射线 OM : ? ?

的普通方程为 y ? x, x ? 0 4 ? y ? x, x ? 0 联立方程组 ? 消去 y 并整理得 x 2 ? x ? 0 2 2 ?(x ? 1) ? y ? 1 解得 x ? 1 或 x ? 0 ,所以 P 点的坐标为 (1, 1) 所以 P 点的极坐标为 ( 2,

?

?
4

)

?????????10 分

解法 2:把 ? ?

?
4

代入 ? ? 2 cos ? 得 ? ? 2 cos

?
4

? 2

所以 P 点的极坐标为 ( 2, 24.证明:(Ⅰ)由 a ? 0 , 有 f ( x) =| x ? 所以 f ( x) ? 2 (Ⅱ)

?
4

)

?????????10 分

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a) | ? ? a ? 2 a a a
?????????5 分

x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 3 ,由柯西不等式得: [ x 2 ? (2 y ) 2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z ) 2 x 2y z 6 3 (当且仅当 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时取“ ? ”号) 1 1 1 5 5 2 整理得: ( x ? 2 y ? z ) ? 9 ,即 x ? 2 y ? z ? 3 ????????10 分
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·8 ·


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