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高二数学下期中复习题


注重基础、抓紧复习

高二 27、32 班清明节放假假期作业
9.已知函数 y ?

f ( x) 的图象如图所示,则 y ? f `( x) 的大致图象可以是图中的(



[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

11.某地为了了解该地区 1000 户家庭的用电情况,采用分层抽样的方法抽取了 500 户家庭的 月平均用电量,并根据这 500 户家庭月平均用电量画出频率分布直方图(如图所示) ,则该 地区 1000 户家庭中月平均用电度数在 [70,80] 的家庭有______户. 12. (1 ? x ? x
2

)(1 ? x)10 展开式中 x 4 的系数为______.

13.如果关于 x 的不等式 _____ _. 14.观察下列等式:
1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23

x ?10 ? x ? 20 ? a 的解 集不是空集,则实数

a 的取值范围为

1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27

?? 由以上等式猜想到一个一般的结论:
1 5 9 4 n?1 对于 n ? N ? , C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? ??? ? C4 n?1 ? _________.

15.设集合 P ? {1,2,3,4,5,6,7,8} , P 的子集 A ? {a1 , a2 , a3},其中 a3 足 a3

? a2 ? a1 ,当满

,则这种“好子集”的个数为 ? a2 ? 2 ? a1 ? 5 时,我们称子集 A 为 P 的“好子集”

______. 17. (本小题满分 12 分) 在数列 {an },{bn } 中, a1

? 2, b1 ? 4 且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1, bn?1 成等比数列

(n ? N ? )
(1)求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ;

-1-

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(2)猜想 {an },{bn } 的通 项公式,并证明你的结论. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 点 (1, f (1)) 处的切线方程为 f ( x) ? ax3 ? bx ,曲线 y ? f ( x) 在 .

y ? 2x ? 2 .
(1)求函数

f ( x) 的 解析式; f ( x) 相切?说明理由.

(2)过 点 (2,2) 能作几条直线与曲线 y ? .

20. (本小题满分 13 分) 设 a、b、c 分别是先后掷一枚质地均匀的正方体骰子三次得到的点数. (1)求使函数 率; (2)设随机变量 ? ?

1 1 f ( x) ? bx3 ? (a ? c) x 2 ? (a ? c ? b) x ? 4 在 R 上不存在极值点的概 3 2

a ? b ,求 ? 的分布列和数学期望.

21. (本小题满分 14 分) 设函数

f ( x) ? (1 ? x)2 ? ln(1 ? x)2 ? 2 .
f ( x) 的单调增区间;
1 f ( x) ? m 在 x ? [ ? 1, e ? 1] 恒成立,求实数 m 的取值范围. e
9 ? m 成立,求实数 m 4a

(1)求函数

(2)若不等式

(3)若对任意的 a ? (1, 2) ,总存在 x0 ?[1, 2] ,使不等式 f ( x0 ) ? a ? 的取值范围.

14. ? x ?

? ?

2? ? 的展开式中常数项是___________ x2 ?
-2-

6

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15. 用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 可以组成没有重复数字, 并且比 201345 大的正整数共有 个 16. 下图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会 吉祥物 “福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f ( n) 个“福娃迎迎” , 则 f (n) ? f (n ? 1) ? 。 (答案用含 n 的解析式表示)

20. (本小题满分 12 分) 有一种舞台灯,外形是正六棱柱 ABCDEF ? A 1B 1C1D 1E1F 1 ,在其每一个侧面上(不在 棱 上)安装 5 只颜色各异的彩灯,假设每只灯正常发光的概率是 0.5.若一个面上至少有 3 只 灯发光,则不需要维修,否则需要更换这个面. 假定更换一个面需 100 元,用 ? 表示维修一 次的费用. (Ⅰ)求面 ABB1 A 1 需要维修的概率; (Ⅱ)写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

18. (本小题满分 12 分)

-3-

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某大学研究生入学复试有 50 人参加, 其中英语与政治成绩采用 5 分制, 设政治成绩为 x, 英语成绩为 y,结果如下表: y 人 数 x 1分 政 2分 3分 治 4分 5分 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1 b 0 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 a 3 英 语

(1)求政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分的概率; (2)若“考生的政治成绩为 4 分” 与“英语成绩为 2 分”是相互独立事件,求 a、b 的值; (3)若英语的数学期望为 20 (本小题满分 13 分) 设函数 f ?x? ? ?1 ? x? ? 2 ln?1 ? x? .
2

167 ,求 a、b 的值. 50

(1)求 f ?x ? 的单调区间; (2)试讨论关于 x 的方程: f ?x ? ? x ? x ? a 在区间 ?0,2? 上的根的个数.
2

14 如右图数表满足: (1)第 n 行首尾两数均为 n ; (2)表中递推关系类似杨辉三角。 记第 n (n ? 1) 行第 2 个数为 f ( n) ,根据数表中上下 3

1 2 4 2

3 4 7 7 4 两行数据关系,可以得到递推关系: f ( n) = ____________________ 5 。 11 14 11 5 ? ? ? ? ? 19.(本题满分 14 分) 数列 {an } 的前项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? 3 ( n ? N ),
*

(1) 求出 a1 ,  a2   ,  a3 的值并猜测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想。

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

9、A 11.120

12.135

13. (10, ??) -4-

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14. 24n?1 ? (?1)n ? 22n?1

15.10

2 17.解: (1)由条件得 2bn ? an ? an?1, an ?1 ? bnbn?1

由此可得 a2 ? 6, b2 ? 9, a3 ? 12, b3 ? 16, a4 ? 20, b4 ? 25 ????????????(6 分) (2)猜测 an ? n(n ? 1), bn ? (n ? 1)2 用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,由上可得结论成立 ②假设当 n ? k 时,结论成立,即 ak ? k (k ? 1), bk ? (k ? 1)2 那么当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) [来源:学科网]

bk ?1 ?

2 ak ?1 ? (k ? 2)2 bk

所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立?????????????????????(11 分) 由①②可知, an ? n(n ? 1), bn ? (n ? 1)2 ??????????????????(12 分) 对一切正整数都成立. 答:圆心角 ? 为

2 6 ? 弧度时,漏斗容积最大.???????????????(12 分) 3

19.解(1) f `( x) ? 3ax2 ? b ,由题知???????????????????(1 分)

? f `(1) ? 2 ?3a ? b ? 2 ?a ? 1 ?? ?? ? ? f (1) ? 2 ? 2 ? 0 ?a ? b ? 0 ?b ? ?1
∴ f ( x) ? x3 ? x ????????????????????????????(5 分) (2)设过点(2,2)的直线与曲线 y ? f ( x) 相切于点 (t , f (t )) ,则切线方程为: y ? f (t ) ? f `(t )( x ? t ) [来源:学科网] 即 y ? (3t 2 ?1) x ? 2t 3 ??????????????????????????(7 分) 由切线过点(2,2)得: 2 ? (3t 2 ? 1) ? 2 ? 2t 3 过点(2,2)可作曲线 y ? f ( x) 的切线条数就是方程 t 3 ? 3t 2 ? 2 ? 0 的实根个数??(9 分) 令 g (t ) ? t 3 ? 3t 2 ? 2 ,则 g `(t ) ? 3t (t ? 2) 由 g `(t ) ? 0 得 t1 ? 0, t2 ? 2 当 t 变化时, g (t ) 、 g `(t ) 的变化如下表 t

(??,0)

0 -5-

(0,2)

2

(2, ??)

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g `(t ) g (t )

+ ↗

0 极大值 2



0 极小值-2

+ ↗

由 g (0) ? g (2) ? ?4 ? 0 知,故 g (t ) ? 0 有三个不同实根可作三条切线??????(12 分) 20.解: (1) f `( x) ? bx2 ? (a ? c) x ? (a ? c ? b) ???????????????(1 分) 若 f ( x) 在 R 上不存在 极值点,则 f `( x) ? 0 恒成立 ∴ V? (a ? c)2 ? 4b(a ? c ? b) ? 0 ??????????????????????(2 分)

? (a ? c ? 2b)2 ? 0
∴ a ? c ? 2b 又 a,b,c ?{1, 2,3, 4,5,6} ∴a、b、c 成等差数列??????????????????????????(4 分) 按公差分类,a、b、c 成等 差数列共有 6 ? 4 ? 2 ? 4 ? 18 种情况 故函数 f ( x) 在 R 上不存在极值点的概率 P ? (2)若 ? ? 0 ,则 a ? b ∴ P(? ? 0) ?

18 1 ? ???????????(6 分) 6 ? 6 ? 6 12

6 1 ? 36 6

若 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 或 b ? a ? 1 , P(? ? 1) ? 同理: P(? ? 2) ?

8 2 ? 36 9 4 1 P(? ? 4) ? ? 36 9
1 2

10 5 ? 36 18 6 1 P(? ? 3) ? ? 36 6 2 1 P(? ? 5) ? ? ??????????????(10 分) 36 18
3 4 5

? 的分布列为 ? 0
P

5 2 1 1 1 9 6 9 18 18 1 5 2 1 1 1 35 ∴ E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ????????????(13 分) 6 18 9 6 9 18 18
1 6
21.解: (1)函数的定义域为 {x x ? ?1} ??????????????????(1 分)

f `( x) ? 2(1 ? x) ?

2 2 x( x ? 2) ?????????????????????(2 分) ? x ?1 x ?1

由 f `( x) ? 0 得 ?2 ? x ? ?1 或 x ? 0 故函数 f ( x) 的单调增区间为 ( ?2, ?1) 和 (0, ??) (2)∵当 x ?[ ? 1,0] 时 f `( x) ? 0 ?????????????????????(4 分)

1 e 当 x ? [0, e ? 1] 时 f `( x) ? 0 1 e

∴ f ( x) 在 [ ?1,0] 上单调递减,在 [0, e ? 1] 上单调递减.????????????(6 分)

f ( x)min ? f (0) ? 1 ? 0 ? 2 ? 3

-6-

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∴ m ? 3 ????????????????????????????????(8 分) (3)设 g (a) ? a ?

9 9 3 ? m, g `(a) ?1 ? 2 ? 0 ? a ? 4a 4a 2 3 3 y ? g (a) 在 a ? (1, ) 上单减,在 a ? ( ,2) 上单增??????????????(10 分) 2 2

由(1)知 f ( x) 在 [1, 2] 上单增,∴ f max ? f (2) ? 11 ? ln9 ??????????(12 分)

13 25 g( 1 ) ?g (2) ?m g (2) ? ? m 4 8 13 31 ∴ 11 ? ln9 ? ? m ∴ m ? ? ln9 ??????????????????(14 分) 4 4
又 g (1) ? 14. 60 15. 479 16. 4(n ? 1)

20.解: (1) P 1 ? C5 ( ) ? C5 ( ) ? C5 ( ) ?
3 5 4 5 5 5

1 ??????????6 分 2 1 (Ⅱ)设? 表示需要更换的面数,则 ? ? 100? ,且? ~ B (6, ) 2 1 3 15 5 15 3 P6 (0) ? , P6 (1) ? , P6 (2) ? , P6 (3) ? , P6 (4) ? , P6 (5) ? , 64 32 64 16 64 32 1 P6 (6) ? , 64 ? 0 100 200 300 400 500 1 15 15 3 5 2 P 64 64 64 32 16 32
??????????????????10 分

1 2

1 2

1 2

600

1 64

E? ? 6 ?

1 ?3 2

E? ? E (100? ) ? 100E? ? 300

(元)????12 分 ∴ a ? b ? 3 ??(※)

18(本小题 12 分)解:∵入学复试共有 50 人参加

(1)从表中可以看出, “政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分”的考生人数为 6 人 ∴政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分的概率为

6 ? 0.12 50
b a?b?7 b?4 ? ? 50 50 50

(2)∵“考生的政治成绩为 4 分”与“英语成绩为 2 分”是相互独立事件 ∴ P( x ? 4, y ? 2) = P( x ? 4) ? P( y ? 2) ∴

与(※)式联立可解得: a ? 2 , b ? 1(3)由表易知英语成绩 x 有 1 分、2 分、3 分、4 分、 5 分五个等级,且每个等级分别有 5 人, b ? 4 人,15 人,15 人, a ? 8 人. ∴英语成绩的分布列为:

x

1

2

3

4

5

-7-

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a ?8 b ? 4 15 15 50 50 50 50 167 又∵英语的数学期望为 50 5 b?4 15 15 a ? 8 167 ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? ∴ 1? 50 50 50 50 50 50


5 50

与(※)式联立可解得: a ? 1 , b ? 2 20 (本小题 13 分) 解 (1) 函数的定义域为 ?? 1,???, f ??x ? ? 2??x ? 1? ?

? ?

1 ? 2 x? x ? 2 ? ? x ? 1? x ?1 ?

由 f ??x ? ? 0 得 x ? 0 ; 由 f ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 0 ,则增区间为 ?0,??? ,减区间为 ?? 1,0? (2)方程 f ?x ? ? x 2 ? x ? a, 即 x ? 1 ? 2 ln?1 ? x ? ? a .记 g ?x ? ? x ? 1 ? 2 ln?1 ? x ? ,则

g ??x ? ? 1 ?

2 x ?1 ? .由 g ??x ? ? 0 得 x ? 1 ;由 g ??x ? ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 . 1? x x ?1

所以 g ?x ? 在 ?0,1? 上递减;在 ?1,2? 上递增. 而 g ?0? ? 1, g ?1? ? 2 ? 2 ln 2, g ?2? ? 3 ? 2 ln 3 ,? g ?0? ? g ?2? ? g ?1? 所以,当 a ? 1 时,方程无解; 当 3 ? 2 ln 3 ? a ? 1时,方程有一个解;

当 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 时,方程有两个解; 当 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程有一个解; 当 a ? 2 ? 2 ln 2 时,方程无解.

14. f (n) ? n ?1 ? f (n ?1)

(n ? 1, n ? N * ) (本题若无 n>1 则不得分)
----------3 分 ------------6 分

19. 解: (1) a1 ? 3,a2 ? 6,a3 ? 12 猜想 an ? 3 2n?1 ( n ? N )
*

(2)证明:①当 n=1 时,由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 3? a1 ? 3 ②假设 n=k 时结论成立,即 ak ? 3 2k ?1 则 n=k+1 时,

? n=1 时结论成立---------7 分
-------- 8 分

Sk ? 2ak ? 3? Sk ?1 ? 2ak ?1 ? 3 ,两式相减得 ak ?1 ? 2ak ?1 ? 2ak

?ak ?1 ? 2ak ? 2 3 2k ?1 ? 3 2k

? n=k+1 时结论成立

-------------12 分

由①②可知,对于所有正整数 an ? 3 2n?1 都成立。 -----------13 分

-8-


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