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【最新】2018-2019学年度高中北师大版数学选修4-1教学案:第二章4&5平面截圆锥面圆锥曲线的几何性质

§ 4&§ 5 平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质 [对应学生用书 P39] [自主学习] 1.平面截圆锥面 (1)当截面 β 与圆锥面的轴 l 垂直时,所得交线是一个圆. (2)任取一平面 β, 它与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ(β 与 l 平行时, 记 θ=0° ), 当 θ>σ(σ 为圆锥母线与轴交角)时, 平面截圆锥面所得交线为椭圆; 当 θ=σ 时, 交线为抛物线; 当 θ<σ 时,交线为双曲线. 2.圆锥曲线的几何性质 抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e(离心 率)的动点的轨迹,此时定点称为焦点,定直线称为准线. 当 e=1 时,轨迹为抛物线; 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆; 当 e>1 时,轨迹为双曲线. [合作探究] π 1.当平面 β 与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ= 时,其交线应为什么? 2 提示:圆 2.由圆锥曲线的统一定义可知,椭圆、双曲线的准线有几条?定义 e 时,定点与定直 线有怎样的关系? 提示:因为椭圆、双曲线各有两个焦点,故其准线有两条.定义 e 时,定点与定直线是 对应的.即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线. [对应学生用书 P40] 圆锥曲线的探讨 [例 1] 在空间中,取直线 l 为轴,直线 l′与 l 相交于 O 点,夹角为 α,l′围绕 l 旋转 得到以 O 为顶点, l′为母线的圆锥面, 任取平面 γ, 若它与轴 l 的交角为 β(当 γ 与 l 平行时, 记 β=0),求证:β=α 时,平面 γ 与圆锥的交线是抛物线. [思路点拨] 本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题.解题时,注意利用条件, 结合图形利用抛物线的定义求解. [精解详析] 如图,设平面 γ 与圆锥内切球相切于点 F,球与圆锥的交线为 S,过该交 线的平面为 γ′,γ 与 γ′相交于直线 m. 在平面 γ 与圆锥的截线上任取一点 P,连接 PF.过点 P 作 PA⊥m,交 m 于点 A,过点 P 作 γ′的垂线, 垂足为 B, 连接 AB, 则 AB⊥m, ∴∠PAB 是 γ 与 γ′所成二面角的平面角. 连 接点 P 与圆锥的顶点,与 S 相交于点 Q,连接 BQ,则∠BPQ=α,∠APB=β. 在 Rt△APB 中,PB=PAcos β. 在 Rt△PBQ 中,PB=PQcos α. PQ cos β ∴ PA = . cos α PF 又∵PQ=PF,α=β,∴ =1, PA 即 PF=PA,动点 P 到定点 F 的距离等于它到定直线 m 的距离,故当 α=β 时,平面与 圆锥的交线为抛物线. 已知平面与圆锥面的轴的夹角为 β,曲线与轴的夹角为 α,当 α=β 时,平面与圆锥的 交线为抛物线.β<α 时为双曲线,β>α 时为椭圆.讨论曲线类型时注意结合图形. 1.一圆锥面的母线和轴线成 30° 角,当用一与轴线成 60° 的不过顶点的平面去截圆锥面 时,所截得的截线是( A.椭圆 C.抛物线 解析:选 A 如图可知应为椭圆. ) B.双曲线 D.两条相交直线 圆锥曲线的几何性质 [例 2] 如图,已知圆锥母线与轴的夹角为 α,平面 γ 与轴线夹角为 β,焦球的半径分 别为 R,r,且 α<β,R>r,求平面 γ 与圆锥面交线的焦距 F1F2,轴长 G1G2. [思路点拨] 本题主要考查圆锥曲线的几何性质.由 β>α 知截线为椭圆.通过数形结 合转化到相应平面中求解. [精解详析] 如图,在 Rt△O1F1O 中, OF1= O1F1 r = . tan∠O1OF1 tan β O2F2 R = . tan β tan∠O2OF2 在 Rt△O2F2O 中,OF2= ∴F1F2=OF1+OF2= 同理,O1O2= R+r . tan β R+r .在 Rt△O1O2H 中, sin β R+r O1H=O1O2· cos α= · cos α.又 O1H=A1A2,由切线定理,容易验证 G1G2=A1A2,∴ sin β G1G2= R+r · cos α. sin β 已知圆锥曲线的结构特点,解决有关计算问题,通常利用圆锥曲线结构特点中的数量 等式关系,列出方程来解决. 2.已知圆锥母线与轴夹角为 60° ,平面 γ 与轴夹角为 45° ,则平面 γ 与圆锥交线的离心 率是 ,该曲线的形状是 . cos 45° 解析:e= = 2. cos 60° ∵e>1,∴曲线为双曲线. 答案: 2 双曲线 圆锥曲线的统一定义 [例 3] 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且 BF=2FD,则 C 的离心率为 . [精解详析] 法一:如图,|BF|= b2+c2=a,作 DD1⊥y 轴于点 D1,则由 BF=2FD, |OF| |BF| 2 得 = = , |DD1| |BD| 3 3 3 所以|DD1|= |OF|= c, 2 2 3c a2 3c 3c2 即 xD= ,由椭圆的第二定义得|FD|=e( - )=a- . c 2 2 2a 又由|BF|=2|FD|, 3c2 3 得 a=2a- a ?e= . 3 x2 y2 法二:设椭圆方程为第一标准形式 2+ 2=1, a b 设 D(x2,y2),F 分 BD 所成的比为 2, xc= yc= 0+2x2 3 3 ?x2= xc= c; 2 2 1+2 b+2y2 3yc-b 3×0-b b ?y2= = =- , 2 2 2 1+2 1 2 b 9c2 4 3 代入椭圆方程得: 2+ 2 =1?e= . 4a b 3 [答案] 3 3 由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与 e 的关系,故涉及焦半径问题可考虑使 圆锥曲线的定义进行转化.同时注意数形结合思想的应用. x2 y2 3.点 A(x0,y0)在双曲线 - =1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2x0,则 x0

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