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襄阳高级中学高三数学综合练习(4)


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

襄阳高级中学高三数学综合练习(4)
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 z1 ? (1 ? i) 2 , z2 ? 1 ? i ,则 z ? A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内的对应点位于 z2
C.第三象限 D.第四象限

2.函数 y ?| 2sin 2 x ?1| 的最小正周期是 A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D. 2?

3.若函数 f ( x) ? x2 ? lg a ? 2x ? 1的图象与 x 轴有两个交点,则实数 a 的取值范围是 A、 0 ? a ? 10 4.设 a ? A.c<a<b B、 1 ? a ? 10 C、 0 ? a ? 1 D、 0 ? a ? 1或1 ? a ? 10 则

2 3 (sin17? ? cos17?), b ? 2 cos2 13? ? 1, c ? , 2 2
B.b<c<a C.a<b<c

D.b<a<c

5.函数 f ( x) ? x 2 ? 2( x ? 0) 的反函数的图象大致是

?x x ? 0 6.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 xf ( x) ? 2 x ? 0 的解集是 ?1 x<0
A [-1,2] B [0,2] C [2,+∞) D (-∞,2]
2

7. 若一系列函数的解析式和值域相同, 但定义域互不相同, 则称这些函数为 “同族函数” 例如函数 y ? x , ,

x ? [1, 2] 与函数 y ? x2 , x ?[?2, ?1] 即为“同族函数” 。下面 4 个函数中,能够被用来构造“同族函数”
的是 A、 y ? sin x 8.如果椭圆 B、 y ? x C、 y ? 2x D、 y ? log 2 x

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 36 9 (A) x ? 2 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (D) x ? 2 y ? 8 ? 0

9.等差数列 {an } 中,S9=-36,S13=-104,等比数列 {bn } 中, b5 ? a5 , b7 ? a7 ,则 b6 等于 ( A. 4 2 B. 2 3 ) C.± 4 2 D. ? 2 3

10.在△ABC 中,如果 lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 2 ,并且 B 为锐角,则△ABC 的形状是

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A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 11.由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中,取出两条,这两条直线是异面直线的概率为 A.

29 189

B.

29 63

C.

34 63

D.

12.不等式 loga x ? sin 2x(a ? 0且a ? 1) 对任意 x ? (0, A、 (0,

?
4

4 7

) 都成立,则 a 的取值范围为

?
4

)

B、 (

?
4

,1)

C、 (

?

,1) ? (1, ) 4 2

?

D、 (0,1)

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分)

1 ? cot 750 ? ___ 13. 1 ? tan150
14.若点 A(1,2)和 B(1,1)在直线 3x-y+m=0 的异侧,则 m 的取值范围是______________ 15.在数列 { a n } 中, a1 ? 3 ,且对任意大于 1 的正整数 n ,点 ( an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则
n ??

lim

an (n ? 1) 2

? _____________.

16.以下四个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作该圆的动弦 AB, 为坐标原点,若 OP ? O 椭圆; ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2

1 (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为 2

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为

三.解答题(第 17、18、19、20、21 题每题 12 分,第 22 题 14 分,共 74 分) 17.已知:函数 f ( x) ? ?

?a ? x, x ? 0 f ( x) (a ? 0 ) .解不等式: ?1 x?2 ? a, x ? 0
?
3
,其中 A, B, C 是⊿ABC 的内角.

18.已知向量 m =(sinB,1-cosB),且与向量 n ? (2,0)所成角为 (1)求角B的大小; (2)求 sinA+sinC 的取值范围.

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19.已知函数 f(x)=(x +

3 )(x+a)(a ? R) 2 (1)若函数 f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的范围;
2

(2)若 f ' (-1)=0, (I)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明对任意的 x1、x2 ? (-1,0),不等式|f(x1)-f(x2)|<
5 恒成立。 16

20.如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形, PA⊥底面 ABCD, PA=AD=2, 点 M、N 分别为棱 PD、PC 的中点. (1) 求证: PD⊥平面 AMN; (2) 求三棱锥 P-AMN 的体积 (3) 求二面角 P-AN-M 的大小.

21.已知双曲线 准线为 l : x =

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0)的左、右顶点分别为 A、B,右焦点为 F(c,0) > 0) (c ,右 a2 b2

1 ,| AF | = 3.过点 F 作直线交双曲线的右支于 P,Q 两点,延长 PB 2

交右准线 l 于 M

点. (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)若 OP? OQ = – 17,求△PBQ 的面积 S;

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22.已知数列 ?an ?的首项 a1 =4,前 n 项和为 Sn ,且 S n?1 ? 3S n ? 2n ? 4 ? 0(n ? N * ). (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设函数 f (x ) =

a1 x ? a2 x 2 ? ?? an x n , f ' ( x)是函数f ( x)的导函数 求f ' (1). ,

襄阳高级中学高三数学综合练习(4)参考答案
一.选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 A 5 B 6 A 7 A 8 D 9 C 10 D 11 B 12 B

二.填空题 13. 3 / 3 ;14. (-2,-1) ;15.3;16③、④ . 。 三.解答题 17.解:1)当 x ? 0 时,即解

a?x (2分) ? 1, x?2

x?


a?2 2 ? 0, (4分)不等式恒成立,即 x ? 0 ; (6分) x?2

2)当 x ? 0 时,即解

x ? (a ? 2) a ?0, ,即 (10分) ? 1 (8分) x?2 x?2

因为 a ? 2 ? 2 ,所以 0 ? x ? 2或x ? a ? 2 . (11分) 由 1) 、2)得,原不等式解集为 {x | x ? 2或x ? a ? 2}. (12分) 18.解: (1)∵ m =(sinB,1-cosB) , 且与向量 n ? (2,0)所成角为

? , 3

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2(1 ? cos B) 2 1 2 2 ∴ 2 sin B ? 1 ? cos B, cos B ? ? ,1; 又0 ? ? ? ? ?, 即B ? ? , 2 3 ? ? 1 3 ? cos A ? sin(A ? ) (2)由(1)得 A+C= , sin A ? sin C ? sin A ? sin( ? A) ? sin A ? 3 2 2 3 3
| m|| n|
∵0? A?

cos m, n ?

m?n

,∴

2 sin B

?

1 2

?
3



?
3

? A?

?
3

?

? 3 ? ? ? 3 ? 2? ∴ sin(A ? ) ? ? , 1? , ? sin A ? sin C ? ? , 1? ? 2 3 ? 2 3 ? ? ? ? ? ?

当且仅当 A ? C ?

?
6

时, sin A ? sin C ? 1

19.解:? f ( x) ? x ? ax ?
3 2

3 3 3 x ? a ,? f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 2 2

⑴? 函数 f ( x ) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解

9 , 2 3 3 ( ? 2] ? [ 2, ?) ? 所以 a 的取值范围是 ? ?, 2 2 3 9 9 3 1 2 ⑵? f '(?1) ? 0 ,? 3 ? 2a ? ? 0 , a ? ,? f '( x) ? 3x ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) 2 4 2 2 2 1 1 (Ⅰ)由 f '( x) ? 0得x ? ?1或 x ? ? ;由 f '( x) ? 0得 ? 1 ? x ? ? 2 2 1 1 ? f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1), (? , ??) ;单调减区间为 ( ?1, ? ) 2 2 25 1 49 27 (Ⅱ)易知 f ( x ) 的最大值为 f (?1) ? , f ( x ) 的极小值为 f ( ? ) ? ,又 f (0) ? 8 2 16 8 27 49 ? f ( x) 在 [?1, 上的最大值 M ? 0] ,最小值 m ? 8 16 27 49 5 ? ? ? 对任意 x1 , x2 ? (?1,0) ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ? 8 16 16 ?, a 2 ? 0
20.(1) ∵ABCD 是正方形, ∴CD⊥AD ∵PA⊥底面 ABCD, ∴AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影,∴CD⊥PD??(2 分) 在△PCD 中 M、N 分别是 PD、PC 的中点, 则 MN∥CD, ∴PD⊥MN, 在△PCD 中 PA=AD=2, M 为 PD 的中点. ∴PD⊥AM, ∴PD⊥平面 AMN??(4 分) (2) ∵CD⊥AD, CD⊥PD, ∴CD⊥平面 PAD. ∵MN∥CD, MN⊥平面 PAD 又 AM ? 平面 PAD ∴ MN⊥AM, ∠AMN=90° 在 Rt△PCD 中,PA=AD=2, M 为 PD 的中点, AM=PM= 2 .??(6 分) 又 MN=

3 则? ?4a 2 ?4 ?3 ? 2

1 1 2 CD=1∴ S ?AMN ? AM ? MN ? .??(7 分) 2 2 2

∵PM⊥平面 AMN, PM 为三棱锥 P—AMN 的高.

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1 1 V三棱锥P ? AMN ? S ?AMN ? PM ? . ??(8 分) 3 3
(3) ∵作 MH⊥AN 于 H, 连接 PH, ∵PM⊥平面 AMN, ∴PH⊥AN , ∠PHM 为二面角 P—AN—M 的平面角. ??(10 分) ∵PM⊥平面 AMN, ∴PM⊥MH. 在 Rt△AMN 中, MH ? 在 Rt△PMH 中, tan∠PHM ?

AM ? MN 2 ? AN 3

PM ? MH

2 2 3

? 3 ,??(11 分)

∴∠PHM=60°, 则二面角 P—AN—M 的大小为 60°??(12 分) 21.
?a ? c ? 3, ?a ? 1, ? 2 ? 1 ?a ? ?b ? 3 , 解: (Ⅰ)由题意知 ? ? , 2 ?c ?c ? 2. 2 ?b ? c 2 ? a 2 . ? ?

则双曲线方程为:x2 –

y2 ?1. 3

(5 分)

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,易得,F(2,0) ,A(– 1,0) ,B(1,0) ,右准线 l : x = 方程为:y = k (x – 2). 代入双曲线方程可得:(3 – k2) x2 + 4k2x – (4k2 + 3) = 0 由于 P、Q 都在双曲线的右支上,所以,

1 ,设 PQ 2

?3 ? k 2 ? 0, ? 4 2 2 ?? ? 16k ? 4(3 ? k )(4k ? 3) ? 0, ? 2 ? ? k2 ? 3 ? x1 ? x2 ? 4k ? 0, 2 ? k ?3 ? 2 ? x1 x2 ? 4k ? 3 ? 0. ? k2 ?3 ?

(7 分)

∴y1y2 = k (x1 – 2) · (x2 – 2) = k2 [x1x2 – 2(x1 + x2) + 4] = k 由于 OP ? ( x1 , y1 ) ,

? 9k 2 k2 ?3

(9 分)

6
(10 分)

由 OP ? OQ ? ?17 可得:x1x2 + y1y2 = – 17
4k 2 ? 3 9k 2 ? 2 ? ?17 ? k 2 ? 4 k2 ?3 k ?3 此时 x1 + x2 = 16,x1x2 = 19,y1y2 = – 36 ?

(11 分)

∴y1 + y2 = k (x1 – 2) + k (x2 – 2) = k (x1 + x2 – 4) = 12k ∴ S ?PBQ ?

1 1 | BF | ? | y1 ? y2 |? ?1? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 2 2

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=

1 1 (12k ) 2 ? 4 ? 36 ? 144? 4 ? 4 ? 36 ? 6 5 . 2 2
① ②

(12 分)

22. 解:① ? S n?1 ? 3S n ? 2n ? 4 ? 0, (n ≥ 1)

? S n ? 3S n?1 ? 2(n ? 1) ? 4 ? 0, (n ≥ 2) ? ①—②得 an?1 ? 3an ? 2 ? 0(n ≥ 2)
又? (a2 ? a1 ) ? 3a1 ? 2 ?1 ? 4 ? 0且a1 ? 4

(2 分)

? a2 ? 14

a2 ? 3a1 ? 2 ? 0

? an?1 ? 3an ? 2 ? 0(n ≥ 1)
an?1 ? 1 ? 3(an ? 1)

(4 分)

?an ? 1?

为等比数列 an?1 ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 (6 分)

an ? 5 ? 3n?1 ? 1
② f ' ( x) ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x 2 ? 4a4 x 3 ? ? ? nan x n?1

?

f ' (1) ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan

? (5 ? 30 ? 1) ? (10.31 ? 2) ? (15.32 ? 3) ? ? ? (5n ? 3n?1 ? n)

? 5 ? 30 ? 10 ? 31 ? 15 ? 32 ? ? ? 5n ? 3n?1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

? 3 f ' (1) ? 5 ? 31 ? 10 ? 32 ? 15? 33 ? ? ? 5n ? 3n ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?
f (1) ? 3 f ' (1) ? 5(30 ? 31 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ) ? 5n ? 3n ? n(n ? 1)
(12 分) (14 分)

?

5 (1 ? 3 n ) ? 5n ? 3 n ? n(n ? 1) 2 5 5 ? 10n n2 ? n f ' (1) ? ? ? 3n ? 4 4 2 ? 2 f ' (1) ? ?

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