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第四篇 三角函数、解三角形第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式


第2讲

同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.考查同角三角函数的基本关系式. 2.考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. 【复习指导】 本讲复习时应紧扣三角函数的定义, 理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导 公式;特别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻,可通过适量训练加强理解,掌 握其规律.

基础梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α, tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. ?π ? ?π ? 公式五:sin?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? ?π ? ?π ? 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. ? ? ? ? π 诱导公式可概括为 k·± 的各三角函数值的化简公式. α 记忆规律是: 奇变偶不变, 2 π 符号看象限.其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的 变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称 不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

一个口诀

诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角 函数,其步骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π+α)=2,则 cos α 的值为( 1 A.± 2 3 C. 2 1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α=2, 1 3 ∴sin α=-2.∴cos α=± 1-sin2α=± 2 . 答案 D 2.(2012· 杭州调研)点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 C.第三象限 解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ), ∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, ∴点 A 位于第三象限. B.第二象限 D.第四象限 ). 1 B.2 3 D.± 2 ).

答案 C 4 3.已知 cos α=5,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( 4 A.3 3 B.4 4 C.± 3 3 D.± 4 ).

3 sin α 3 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α= 1-cos2α=5,∴tan α=cos α=4. 答案 B ? 17π? ? 17π? 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ? ? ? ? A. 2 解析 B.- 2 2 C.0 D. 2 ).

π? 17π π 2 17π ? 17π? ? ? 17π? cos?- 4 ?=cos 4 =cos?4π+4?=cos4= 2 ,sin?- 4 ?=-sin 4 =- ? ? ? ? ? ?

π? π 2 2 2 ? ? 17π? ? 17π? sin?4π+4?=-sin4=- 2 .∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= 2 + 2 = 2. ? ? ? ? ? ? 答案 A 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=-2,则 cos α=________. sin α 1 2 5 解析 由题意知 cos α<0, sin2α+cos2α=1, α=cos α=-2.∴cos α=- 5 . 又 tan 2 5 答案 - 5

考向一 【例 1】?已知 f(α)=

利用诱导公式化简、求值

sin?π-α?cos?2π-α? ?31π? ,求 f? 3 ?. π ? ? ? ? sin?2+α?tan?π+α? ? ?

[审题视点] 先化简 f(α),再代入求解. sin αcos α 解 f(α)=cos αtan α=cos α, π? 31 π 1 ?31π? ? ∴f? 3 ?=cos 3 π=cos?10π+3?=cos 3=2. ? ? ? ? (1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次 数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

(2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. ?π ? cos?2+α?sin?-π-α? ? ? 【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为 11π ? ? ?9π ? cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ? ________. 解析 原式= 3 答案 -4 考向二 同角三角函数关系的应用 ?-sin α?sin α y 3 =tan α,根据三角函数的定义,得 tan α=x=-4. ?-sin α?cos α

【例 2】?(2011· 长沙调研)已知 tan α=2. 求:(1) 2sin α-3cos α ; 4sin α-9cos α

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. [审题视点] (1)同除 cos α; (2)利用 1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除 cos2α. 解 (1)
2

2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α (2)4sin α-3sin αcos α-5cos α= sin2α+cos2α 4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1 (1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一 个式子的值, 其余二式的值可求. 转化的公式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α; (2) 关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 【训练 2】 已知 sin α+3cos α =5.则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α tan α+3 =5,∴tan α=2. 3-tan α

解析 依题意得:
2

sin2α-sin αcos α ∴sin α-sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α-tan α 22-2 2 = = 2 =5. tan2α+1 2 +1

2 答案 5 考向三 三角形中的诱导公式

【例 3】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角. [审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条 件 sin A+cos A= 2知先求角 A,进而求其他角. 解 由已知可得 π? ? 2sin?A+4?= 2, ? ?

π 因为 0<A<π,所以 A=4. π 3 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A=4代入可得 cos B= 2 ,又 0<B<π,从而 π π π 7π B=6,所以 C=π-4-6=12. 在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, C C ?A B? ?A B? tan(A+B)=-tan C,sin? 2 + 2 ?=cos 2 ,cos? 2 + 2 ?=sin 2 . ? ? ? ? 【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A)=- 2 sin(π-B)”其余条件不变,求△ABC 的三个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2sin B,即 sin A= 2sin B,

3cos A= 2cos B,平方相加得: 2 sin2 A+3cos2 A=2?2cos2 A=1,cos A=± 2 . 2 3 2 若 cos A=- 2 ,则 cos B=- 2 ,A,B 均为钝角不可能.故 cos A= 2 ,cos B 3 π π 7π = 2 ,故 A=4,B=6,C=12.

阅卷报告 3——忽视题设的隐含条件致误 【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含

条件,处理好开方、平方关系,避免出现增解与漏解的错误., 【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件 【示例】?若 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 5x2-x+a=0(a 是常数)的两根,θ∈(0, π),求 cos 2θ 的值. 7 错因 忽视隐含条件,产生了增解25. 1 实录 由题意知,sin θ+cos θ=5, 1 24 ∴(sin θ+cos θ)2=25,∴sin 2θ=-25,∵θ∈(0,π),∴2θ∈(0,2π),∴cos 2θ= 7 ± 1-2sin2 2θ=± . 25 1 正解 由题意知,sin θ+cos θ=5. 1 ∴(sin θ+cos θ)2=25. 24 ∴sin 2θ=-25. 24 即 2sin θcos θ=-25<0,

则 sin θ 与 cos θ 异号, 1 又 sin θ+cos θ=5>0, π 3π 3π ∴2<θ< 4 ,∴π<2θ< 2 . 7 故 cos 2θ=- 1-sin22θ=-25. 7 【试一试】 已知 sin θ+cos θ=13,θ∈(0,π),求 tan θ. [尝试解答] 7 ∵sin θ+cos θ=13,θ∈(0,π).

49 ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=169. 60 ∴sin θcos θ=-169.

7 60 12 由根与系数的关系知 sin θ,cos θ 是方程 x2-13x-169=0 的两根,∴x1=13,x2 5 =-13, 60 又 sin θcos θ=-169<0,∴sin θ>0,cos θ<0, 12 5 ∴sin θ=13,cos θ=-13. sin θ 12 ∴tan θ=cos θ=- 5 .


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