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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学3.1不等关系与不等式yy导学案(无答案)新人教版必修5

3.1

不等关系与不等式

学习目标 了解不等式(组)的实际背景;掌握比较两个实数大小的方法;掌握不等式的八条性质. 预习篇 1.不等式:用数学符号<,≤,>,≥或≠表示 的式子叫做不等式. 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 大于 > 小于 < 大于等于 ≥ 小于等于 ≤ 至多 ≤ 至少 ≥ 不少于 ≥ 不多于 ≤

3.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性); (3)a>b?a+c b+c(可加性); (5)a>b,c>d?a+c b+d; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?an 课堂篇 bn;

(2)a>b,b>c?a c(传递性); (4)a>b,c>0?ac bc;a>b,c<0?ac (6)a>b>0,c>d>0?ac bd; n (8)a>b>0,n∈N,n≥2? a n b.

bc;

探究一 实数比较大小的依据 在数轴上不同的点 A 与点 B 分别表示两个不同的实数 a 与 b, 右边的点表示的数比左边的点表示 的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出 a,b 之间具有以下性质: 如果 a-b 是正数,那么 ; 如果 a-b 是负数,那么 ;如果 a-b 等于零,那么 . 以上结论反过来也成立,即 a>b? ;a=b? ;a<b? . 探究 比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.作差比较实数的大小一般步骤是:作 差→恒等变形→判断差的符号→下结论. 例 1 已知 a,b∈R+.试利用作差法比较 a3+b3 与 a2b+ab2 的大小.

探究二 不等式的基本性质 问题 在实数大小比较的基础上,可以给出不等式 8 条基本性质的严格证明.证明时,可以利 用前面的性质推证后续的性质.如果 a>b>0,c>d>0,那么 ac>bd.

问题 初学者对不等式的 8 条基本性质往往重视不够,其实不等式的基本性质是不等式变形(证 明不等式和求解不等式)的重要依据. 请解下面这个简单的一元一次不等式, 体会并证明不等式基 本性质的应用. 1 3 2 1 解不等式:- x+ < x- . 6 4 3 12

典型例题 例 1 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表:

甲 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) 600 800 11

乙 700 400 9

丙 400 500 4

若用甲、乙、丙三种食物各 x kg、y kg、z kg 配成 100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 63 000 单位维生素 B. 试用 x、y 表示混合食物成本 c 元,并写出 x、y 所满足的不等关系. 跟踪训练 1 某用户计划购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过 500 元,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 例 2 已知 x<1,试比较 x3-1 与 2x2-2x 的大小. 跟踪训练 2 (1)比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小; (2)设 x,y,z∈R,比较 5x2+y2+z2 与 2xy+4x+2z-2 的大小.

例 3 已知 a、b、c 为实数,判断以下各命题的真假: (1)若 a>b,则 ac<bc; (2)若 ac2>bc2,则 a>b; (4)若 c>a>b>0,则 a b > ; c-a c-b

(3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2;

1 1 (5)若 a>b, > ,则 a>0,b<0. a b

跟踪训练 3 判断下列各命题是否正确,并说明理由: c c (1)若 < 且 c>0,则 a>b; a b (2)若 a>b>0 且 c>d>0,则 1 1 (3)若 a>b,ab≠0,则 < ; a b (4)若 a>b,c>d,则 ac>bd. a > d b ; c

巩固篇 1.若 a>b,c>d,则下列不等关系中不一定成立的是( ) A.a-b>d-c B.a+d>b+c C.a-c>b-c D.a-c<a-d 2.设 m=x2+y2+2y,n=2x-5,则 m,n 的大小关系是( ) A.m>n B.m<n C.m=n D.与 x,y 取值有关 3.下列不等式: ①x2+3>2x (x∈R);②a3+b3≥a2b+ab2 (a,b∈R);③a2+b2≥2(a-b-1)中真命题有______. 4.试比较(x2- 2x+1)(x2+ 2x+1)与(x2-x+1)(x2+x+1)的大小.


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