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武昌区2018届高三年级元月调研考试(文数答案)


武昌区 2018 届高三年级元月调研考试

文科数学参考答案及评分细则
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A

二、填空题: 3 3 13. 14. 6 15. a ? b ? c 16. 10 4 三、解答题: 17. (12 分) 解析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,所以 a1 ? 2 . 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 2an ?1 ? 2 . 于是 Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 2) ? (2an ?1 ? 2) ,即 an ? 2an ?1 . 所以数列 {a n } 是以 a1 ? 2 为首项,公式 q ? 2 的等比数列. 所以 an ? 2n . .................................................4 分

(2)因为 bn ? 2n log2 2n ? n ? 2n , 所以 Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n , 于是 2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1 , 两式相减,得 ? Tn ? 21 ? 22 ? 23 ? ? 2n ? n ? 2n ?1 , 于是 Tn ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 . .................................................12 分

18. (12 分) 解析: (1)取 AC 的中点 O,连接 BO,PO. 因为 ABC 是边长为 2 的正三角形, 所以 BO⊥AC,BO= 3 .
1 因为 PA⊥PC,所以 PO= AC ? 1 . A 2 2 2 2 因为 PB=2,所以 OP +OB =PB ,所以 PO⊥OB. 因为 AC,OP 为相交直线,所以 BO⊥平面 PAC. 又 OB?平面 ABC, 所以平面 PAB⊥平面 ABC..................................................6 分 (2)因为 PA=PC,PA⊥PC,AC=2,

P

O

C

B

高三文科数学试题参考答案及评分细则 第 1 页(共 4 页)

所以 PA ? PC ? 2 . 由(1)知 BO⊥平面 PAC.
1 1 1 3 所以 V ? S?PAC ? BO ? ? ( PA? PC) ? BO ? . 3 3 2 3 19. (12 分) 解析:(1) 2 ? 2 列联表为:

.................................................12 分

休闲方式 性别 女 男 合计

看电视 40 20 60

运动 30 35 65

合计 70 55 125

.................................................2 分 (2)假设“休闲方式与性别无关” ,计算
125? (40 ? 35 ? 30 ? 20)2 ? 5.328 . 70 ? 55? 60 ? 65 因为 k ? 5.024,所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“休闲方式与性别有 k?

关”. .................................................6 分 (3)休闲方式为看电视的共 60 人,按分层抽样方法抽取 6 人,则男性有 2 人,可记为 A、 B,女性 4 人,可记为 c,d,e、f. 现从 6 人中抽取 2 人,基本事件是 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、 de、df、ef 共 15 种不同的方法,恰是 2 女性的有 cd、ce、cf、de、df、ef 共 6 种不同的方 法,故所求概率为 p ? 20. (12 分)
?1 ? 2 ? ?a 解析: (1)由题意,知 ? ?c ? ? ?a 1 ? 1, 4b 2 2 , 2
2 ? ?a ? 2, 考虑到 a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 ? 2 ? ?b ? 1.

6 2 ? ? 0.4 . ................................................12 分 15 5

所以,所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

.................................................4 分
x2 ? y2 ? 1 , 2

(2)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,代入椭圆方程 整理得 3x 2 ? 4mx ? 2(m2 ? 1) ? 0 . 由 ? ? (4m)2 ? 24(m2 ? 1) ? 0 ,得 m2 ? 3 . 设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?



4m 2(m2 ? 1) , x1x2 ? . 3 3

高三文科数学试题参考答案及评分细则 第 2 页(共 4 页)

于是 | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2
? 2 ? (? 4m 2 2(m 2 ? 1) 24 ? 8m 2 4 ) ? 4? ? 2? ? 3 ? m2 . 3 3 9 3

又原点 O (0,0) 到直线 AB: x ? y ? m ? 0 的距离 d ? 所以 S?OAB ?

|m| 2

.

1 1 4 |m| 2 | AB | ?d ? ? 3 ? m2 ? ? m 2 (3 ? m 2 ) . 2 2 3 3 2

因为 m2 (3 ? m2 ) ? ( 所以 S?OAB ?

3 m 2 ? 3 ? m2 2 9 ) ? ,当仅且当 m2 ? 3 ? m2 ,即 m2 ? 时取等号. 2 2 4

2 3 2 2 ,即 ?OAB面积的最大值为 . ? ? 3 2 2 2 21. (12 分)

..............................12 分

解析: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,且 f ?( x) ? 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 (0,??) 上单调递增;

1 a x?a ? 2 ? 2 . x x x

当 a ? 0 时,若 x ? a 时,则 f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( a,??) 上单调递增;若 0 ? x ? a 时,则
f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减.

.................................................4 分

(2)由(1)知,当 a ? 0 时, f ( x ) min ? f (a ) ? ln a ? 1 . 要证 f ( x) ?
2a ? 1 2a ? 1 ,只需证 ln a ? 1 ? , a a 1 ?1 ? 0 a

即只需证 ln a ?

1 1 1 a ?1 ? 1 ,则 g ?(a) ? ? 2 ? 2 . a a a a 所以 g ( a ) 在 (0,1) 单调递减,在 (1,??) 单调递增.

构造函数 g (a ) ? ln a ?

所以 g (a ) min ? g (1) ? 0 . 所以 ln a ?
1 ? 1 ? 0 恒成立, a 2a ? 1 . a

所以 f ( x) ?

.................................................12 分

22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 解析: (1)∵ρsin2α﹣2cosα=0,∴ρ2sin2α=4ρcosα, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x. 由?
? x ? 2t ? 1, 消去 t ,得 x ? y ? 1 . ? y ? 2t ,

高三文科数学试题参考答案及评分细则 第 3 页(共 4 页)

∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ..................................................5 分 (2)点 M(1,0)在直线 l 上,
? 2 t, ?x ? 1 ? ? 2 (t 为参数) 设直线 l 的参数方程 ? ,A,B 对应的参数为 t1,t2. 2 ? y? t, ? 2 ?

将 l 的参数方程代入 y2=4x,得 t 2 ? 4 2t ? 8 ? 0 . 于是 t1 ? t2 ? 4 2 , t1t2 ? ?8 . ∴ | MA | ? | MB |?| t1t2 |? 8 . .................................................10 分

23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 解析: (1)由题意知 | x ? 2 | ? | x ? a | ?3 ? 0 恒成立. 因为 | x ? 2 | ? | x ? a |?| ( x ? 2) ? ( x ? a ) |?| a ? 2 | , 所以 | a ? 2 |? 3 ,解得 a ? ?5 或 a ? 1 . (2)因为 m ? n ? 2 ( m ? 0, n ? 0) ,
2 1 m?n 2 1 1 2n m 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ? 3) ? (2 2 ? 3) , m n 2 m n 2 m n 2 2 1 3 即 ? 的取值范围为 [ 2 ? ,??) . .................................................10 分 m n 2

.................................................5 分

所以

高三文科数学试题参考答案及评分细则 第 4 页(共 4 页)


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