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九年级下期末复习专题(二次函数和圆综合)复习(关于动点问题)1


成都龙文学校个性化教育教案
学生: 年级:初三 科目:数学 上课日期:

《二次函数和圆综合复习(关于动点问题) 》
一、知识要点
1、二次函数的三种表示方式:
1、解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; 2、列表法:用列出表格来表示两个变量之间的对应关系; 3、图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系。

2、求二次函数解析式的三种基本方法:
1、一般式:若已知二次函数图像上任意三点的坐标,则设一般式 y ? ax ? bx ? c. 。
2

2、 顶点式: 若已知二次函数图像的顶点坐标、 或对称轴、 最大 (小) 值, 则设顶点式 y ? a( x ? h) ? k 。 3、交点式:若已知二次函数图像的交点坐标 A(x1,0)、B(x2,0)、或与 x 轴的交点有关,则设交
2

点式 y ? a( x ? x1 ) ( x ? x2 ) 。

? 0 ,向上平移 c 个单位 3、抛物线平移规律: 1. y ? ax2 ?c ????? ?? y ? ax2 ? c C<0,向下平移∣c∣个单位
2 h ? 0 ,向右平移 h 个单位 2

????? ?? y ? a ( x ? h) 2. y ? ax ? h<0,向左平移∣h∣个单位 2 例1、 如图,已知抛物线 y=x -ax+a+2 与 x 轴交于 A 和 B 两点,与 y 轴交于点 D(0,8) ,直线 DC 平行于 x 轴,交抛物线于另一点 C。动点 P 以每秒 2 个单位的速度从点 C 出发,沿 C→D 方向运动,同时 点 Q 以每秒 1 个单位的速度从点 A 出发,沿 A→B 方向运动,连结 PQ 和 CB。设点 P 的运动时间为 y t(s) 。 ⑴求 a 的值; P ⑵当 t 为何值时,PQ 平行于 y 轴? D C ⑶当四边形 PQBC 的面积等于 14 时,求 t 的值。
O A Q B x

例 2、如图,已知直线 L:y= x 及抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0),且抛物线 C 的图象上部分点的对应值如下
表: x y ┉ ┉ -2 -5 -1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 4 5 ┉ ┉

3 2

⑴、求抛物线 C 对应的函数关系式; ⑵、求直线 L 与抛物线 C 的交点 A、B 的坐标; ⑶、若动点 M 与直线 L 的上方的抛物线 C 上移动,求△ABM 的边 AB 上的高 h 的最大值。 问题引伸:若动点 M 在直线 L 的上方的抛物线 C 上移动,求△ABM 面积的最大值。

y B

A

O

x

o

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1 2 3 例 3、如图,平面直角坐标系中,抛物线 y=- x + x+2 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于 C 点。 2 2 ⑴、求直线 x=m(0<m<4) ,在线段 OB 上移动,交 x 轴于点 D,交抛物线于点 E,交 BC 于点 F,求当 m 为 何值时,EF=DF; ⑵ 连结 CE 和 BE 后,对于问题“是否存在这样的点 E 使△BCE 的面积最大?” 小红同学认为: “当 E 为抛物线的顶点时,△BCE 的面积最大, ”她的观点是否正确?同意她的观点,请你 替她说明理由。若不同意她的观点,请你判断 E 在抛物线上何处时(坐标)△BCE 的面积存在最大,并求 面积的最大值。
E C A O F D B

例 4、阅读材料:如图所示,过△ABC 的三个顶点分别作 出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫 △ABC 的“水平宽(a) ”中间的这条直线在△ABC 内部线 段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h) ” 。我们可得同一种计算 1 三角形面积的新方法: S△ABC= ah, 即三角形面积等于水平 2

铅垂高 A h B C

宽与铅垂高乘积的一半。 水平宽 解答下列问题: a 如图所示,抛物线顶点坐标为点 C(1,4) ,交 x 轴于点 A (3,0) ,交 y 轴于点 B。 1、 求抛物线和直线 AB 的解析式; 2、 点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结 PA、PB。当点 P 运动到顶点 C 时,求△CAB 的铅 垂高 CD 及 S△CAB; 9 3、 是否存在一点 P,使 S△PAB= S△CAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由。 8
y B D O A x C

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变式励练:
2 1、 抛物线 y ? ax ? bx ? c 交 x 轴于 A,B 两点, 交 y 轴于点 C , 对称轴为直线 x ? 1 , 已知:A(?1 , 0) , C (0, ? 3) . 2 (1)求抛物线 y ? ax ? bx ? c 的解析式; (2)求 △AOC 和 △BOC 的面积的比; (3)在对称轴是否存在一个点 P ,使 △PAC 的周长最小.若存在,请求出点 P 的坐标;

若不存在,请说明理由. y O 1 C x

A

B

7 2、 如图,二次函数的图象经过点 D(0,9

3 ) ,且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截得的线段

AB 的长为 6。 ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使Δ QAB 与Δ ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理 由。

例 5. (2011 江苏南京,26,8 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AC=6 ㎝,BC=8 ㎝,P 为 BC 的中点.动 点 Q 从点 P 出发,沿射线 PC 方向以 2 ㎝/s 的速度运动,以 P 为圆心,PQ 长为半径作圆.设点 Q 运动 的时间为 t s. ⑴当 t=1.2 时,判断直线 AB 与⊙P 的位置关系,并说明理由; ⑵已知⊙O 为△ ABC 的外接圆,若⊙P 与⊙O 相切,求 t 的值. A O C Q P (第 26 题) B

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例 6. (2011 湖北黄石,24,9 分)已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,点 O1 在⊙O2 上,C 为 O2 上一点(不 与 A,B,O1 重合) ,直线 CB 与⊙O1 交于另一点 D。

(1)如图(8) ,若 AC 是⊙O2 的直径,求证:AC=CD (2)如图(9) ,若 C 是⊙O1 外一点,求证:O1C⊥AD (3)如图(10) ,若 C 是⊙O1 内的一点,判断(2)中的结论是否成立。

变式励练: 1. (2011 宁波市,11,3 分)如图,⊙O1 的半径为 1,正方形 ABCD 的边长为 6,点 O2 为正方形 ABCD 的 中心,O1O2 垂直 AB 与 P 点,O1O2=8.若将⊙O1 绕点 P 按顺时针方向旋转 360°,在旋转过程中,⊙O1 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现

A. 3 次

B.5 次

C. 6 次

D. 7 次

2. (2011 浙江台州,10,4 分)如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个 动点,PB 切⊙O 于点 B,则 PB 的最小值是( A. ) D.2

13

B. 5

C. 3

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课外练习:
1. (2011 浙江省,16,3 分)如图,图①中圆与正方形各边都相切,设这个圆的周长为 C1;图②中的四个 圆的半径相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设这四个圆的周长为 C2;图③中的九个圆的半径 相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设这九个圆的周长为 C3;??,依次规律,当正方形边长 为 2 时,则 C1+ C2+ C3+?C99+ C100=

【答案】10100 ? 2. (2011 浙江义乌,13,4 分)已知⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 3 和 5,且⊙O1 与⊙O2 相切,则 O1O2 等于 ▲ .

【答案】2 或 8 3. (2011 四川广安,14,3 分)已知⊙O1 与⊙O2 的半径 r1 、 r2 分别是方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 的两实根,若
2

⊙O1 与⊙O2 的圆心距 d =5.则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是____
【答案】相交 4. (2011 江苏南通,18,3 分)已知:如图,三个半圆以此相外切,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上并与 直线 y=
3 x 相切,设半圆 C1、半圆 C2、半圆 C3 的半径分别是 r1、r2、r3,则当 r1=1 时,r3= ▲ 3

【答案】9. 5. (2011 广东肇庆, 14, 3 分) 已知两圆的半径分别为 1 和 3,若两圆相切, 则两圆的圆心距为 【答案】4 或 2 6. (2011 山东枣庄,17,4 分)如图,小圆的圆心在原点,半径为 3,大圆的圆心坐标为(a,0) ,半径 为 5.如果两圆内含,那么 a 的取值范围是________. y 3 5 · O ( a,0) ▲ .

x

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