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高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试[1]

奇偶性 1.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx( A.奇函数 B.偶函数
2 2 3 2



C.既奇又偶函数

D.非奇非偶函数 )

2.已知函数 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则( A. a

?

1 ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0
2

D.a=3,b=0 )

3.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x,则 f(x)在 R 上的表达式是( A.y=x(x-2)
5 3

B.y =x(|x|-1)

C.y =|x|(x-2) )

D.y=x(|x|-2)

4.已知 f(x)=x +ax +bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于( A.-26 B.-18 C.-10 D.10

5.函数

f ( x) ?

? x ?1 是( 1? x2 ? x ?1
B.奇函数

1? x2

) D.既是奇函数又是偶函数 )

A.偶函数

C.非奇非偶函数

6.若 ? ( x ) ,g(x)都是奇函数, f ( x) A.最小值-5 7.函数

? a? ? bg( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f(x)在(-∞,0)上有(
C.最小值-1 . D.最大值-3

B.最大值-5

f ( x) ?

x?2 ?2 1? x2
2

的奇偶性为________(填奇函数或偶函数)

8.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m=_________. 9.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若

f ( x) ? g ( x) ?

x ?1

1

,则 f(x)的解析式为_______.

10.已知函数 f(x)为偶函数,且其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和为________. 11.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m) ,求实数 m 的取值范围. 12.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0,试证 f(x)是偶函数. 13.已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x +2x —1,求 f(x)在 R 上的表达式. 14.f(x)是定义在(-∞,-5] ? [5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在[5,+∞)上单调递减,试判断 f(x)在(-∞, -5]上的单调性,并用定义给予证明. 15.设函数 y=f(x) (x ? R 且 x≠0)对任意非零实数 x1、x2 满足 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) , 求证 f(x)是偶函数. 函数的奇偶性练习参考答案 1. 件. 选 A. 3.解析:由 x≥0 时,f(x)=x -2x,f(x)为奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-(x +2x)=-x -2x=x (-x-2) .∴
2 2 2 3 2

解析:f(x)=ax +bx+c 为偶函数, ? ( x)
2 2

· ? ( x ) 满足奇函数的条 ? x 为奇函数,∴g(x)=ax +bx +cx=f(x)
3 2

答案: A 2. 解析: 由f (x) =ax +bx+3a+b 为偶函数, 得 b=0. 又定义域为 [a-1, 2a] , ∴a-1=2a, ∴a

?

1 . 故 3

? x( x ? 2) f ( x) ? ? ? x(? x ? 2)

( x ? 0), 即 f(x)=x(|x|-2)答案:D 4.解析:f(x)+8=x +ax +bx 为奇 ( x ? 0),
5 3

函数,f(-2)+8=18,∴f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.答案:A 5.解析:此题直接证明较烦,可用等价形式 f(-

x)+f(x)=0.

答案:B 6.解析: ? ( x ) 、g(x)为奇函数,∴

f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数.又 f(x)
∴f(x)在(-

在(0,+∞)上有最大值 5,

∴f(x)-2 有最大值 3.∴f(x)-2 在(-∞,0)上有最小值-3,

∞,0)上有最小值-1.答案:C7.答案:奇函数 8.答案:0 解析:因为函数 y=(m-1)x +2mx+3 为偶函数,∴f(-x) =f(x) ,即(m-1) (-x) +2m(-x)+3=(m—1)x +2mx+3,整理,得 m=0.9.解析:由 f(x)是偶函数,g(x) 是 奇 函 数 , 可 得
2 2

2

f ( x) ? g ( x) ?

1 ? x ?1







f ( x) ? g ( x) ?
11.答案: m

x ?1
1 2

1





f ( x) ?

1 1 1 1 1 ( ? )? 2 .答案: f ( x ) ? 2 10.答案:0 2 x ?1 ? x ?1 x ?1 x ?1

?

12.证明:令 。

x=y=0,有 f(0)+f(0)=2f(0) ·f(0) ,又 f(0)≠0,∴可证 f(0)=1.令 x=0,∴f(y)+f(-y)=2f(0) ·f
(y) ? f(-y)=f(y) ,故 f(x)为偶函数.13.解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.f(x)=x +2x -1.因 f
3 2

(x)为奇函数,∴f(0)=0.当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x) +2(-x) -1=-x +2x -1,∴f(x)=x -2x

3

2

3

2

3

2

+1.因此,

?x 3 ? f ( x) ? ?0 ?x 3 ?

? 2x 2 ?1 ? 2x 2 ? 1

( x ? 0), ( x ? 0),
14.解析:任取 x1<x2≤-5,则-x1>-x2≥-5. 因 f(x)在[5, 。

( x ? 0).

+∞]上单调递减,所以 f(-x1)<f(-x2) ? f(x1)<-f(x2) ? f(x1)>f(x2) ,即单调减函数.15.解析:由 x1,

x2 ? R 且不为 0 的任意性,令 x1=x2=1 代入可证, f(1)=2f(1) ,∴f(1)=0. 又令 x1=x2=-1,∴f[-1×(-1) ]
=2f(1)=0,∴(-1)=0.又令 x1=-1,x2=x,∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x) ,即 f(x)为偶函 数. 点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如,x1=x2=1,x1=x2=-1 或 x1=x2=0 等,然后再结合具体题 目要求构造出适合结论特征的式子即可. 函数值域的八大求法 方法一:观察法 例 1. 求函数 y ? 方法二:不等式法

4 ? x2

的值域。

解析: 由x

2

? 0及 4 ? x 2 ? 0, 知 4 ? x 2 ?[0,2] 。故此函数值域为 [0,2] 。

y?
例 2. 求函数

( x 2 ? 1) 2 ( x ? 0) x2 的值域。 ( x 2 ? 1) 2 x 4 ? 2x 2 ? 1 1 ? ? 2 ? x2 ? 2 ? 4 2 2 [4,?? ) 。 x x x ,?此函数值域为

?y ?
解析: 方法三:反函数法

y?
例 3. 求函数

解析:由

x ?1 (x ? ?4) x?2 的值域。 2y ? 1 x ?1 x? y? 1 ? y 。 由 x ? ?4 x?2 得

2y ? 1 5 ? ?4 y ? 或y ? 1 1 ? y 2 ,得 ,解得 。?此函数值域为

5 (??,1) ? [ ,??) 2 。
方法四:分离常数法

y?
例 4. 求函数

6( x 2 ? 1) 2 6x 4 ? 13x 2 ? 6 的值域。 6( x ? 1) 6x ? 12x ? 6 ? 4 4 2 6x ? 13x ? 6 6x ? 13x 2 ? 6
2 2 4 2

y?
解析::

?1?

x2 1 1 24 ?1? ?1? ? 4 2 6 25 25 6x ? 13x ? 6 2 6x ? 13 ? 2 x 。

[
从而易知此函数值域为

24 ,1] 25 。

y?
评注:此题先分离常数,再利用不等式法求解。注意形如 方法五:判别式法

cx ? d c c (??, ) ? ( ,??) (a ? 0, bc ? ad) a a ax ? b 的值域为 。

y?
例 5. 求函数

x2 ? 1 x 2 ? x ? 1 的值域。
2

解析: 原式整理可得 ( y ? 1)x

y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时,x ? ?2 原式成立。 y ? 1 ? 0 即 y ? 1 时, ? yx ? ( y ? 1) ? 0 。 当 当
y? 2 5 2 5 或y ? ? 5 5 。综上可得原函数值域为

? ? y 2 ? 4( y ? 1)[?( y ? 1)] ? 0 ,解得
2 5 2 5 (?? ,? ]?[ ,?? ) 5 5 。

y

评注:此方法适用于 x 为二次的情形,但应注意 方法六:图象法

y ? 1 ? 0 时的情况。

0 -1 -2

1 2 (1,-1)

x

y?
例 6. 求函数

1 x ? 1 ? 1( x ? 0) 的值域。
(??,?2] ? (?1,?? ) 。

解析:作出此函数的图象,如下图所示。可知此函数值域为 方法七:中间变量法

y?
例 7. 求函数

x2 ? 3 x 2 ? 5 的值域。 x2 ? 5y ? 3 5y ? 3 3 x 2 ? 0, 知 ? 0, 解得y ? ? 或y ? 1 y ?1 。 由 y ?1 5 。 故 此 函 数 值 域 为

解 析 : 由 上 式 易 得

3 (??,? ] ? (1,??) 5 。
方法八:配方法 例 8. 求函数 y ? x ? 2

x ? 3 的值域。 2 [2,?? ) 。 解析:因为 y ? ( x ? 1) ? 2 ? 2 ,故此函数值域为


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