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福建省师大附中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题

福建师大附中 2016-2017 学年第一学期模块考试卷 高二数学必修 5(理科) 命题人:黄晓滨 (满分:150 分,时间:120 分钟) 审核人:江 泽
说明:试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,请将答案填写在答卷上,考试结束后只交答案卷.

第I卷

共 60 分

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.若 a>b>0,下列不等式成立的是(***** ) A.a2<b2 B.a2<ab C. <1 D. >

2.原点和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 两侧,则 a 的取值范围是(***** ) A.0≤a≤2 3.在 ?ABC 中, A. B.0<a<2 C.a=0 或 a=2 D.a<0 或 a>2 ***** )

AB ? 1, AC ? 3, ?A ? 600 ,则 ?ABC 的面积为(
B. 3 C.

3 2

4
B.10 C.8

3或 3 2

D.

3 或 3 4.等比数列{an} 2 4

的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…log3a10=(***** ) A.12 D.2+log35 ,c= ,∠A= ,

5.在△ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 已知 a= 则∠C 的大小为(***** ) A. 或 B. 或 C.

D.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 b2+c2=a2+bc.
2 若 sin B?sin C=sin A,则△ABC 的形状是(***** )

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中 有如下问题:“今有女子善织,日益功, 疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1 匹=40 尺,一丈=10 尺) ,问日益几何?”其意思为:“有一 女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速 度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织 相同量的布,第一天织 5 尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月 按 30 天算,则 每天增加量为(***** ) A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

8.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a1007 ? a1008 ? 0, a1007 ? a1008 ? 0, 则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最 大 自然 数 n 是( ***** A.2 012 ) B.2 013 C.2 014 D.2 015

9.若 x,y 满足 A.﹣1 B.1

且 z=2x+y 的最大值为 6,则 k 的值为( ***** C.﹣7 D.7



1

y 满足 + =1, 10. 若两个正实数 x, 且不等式 x+ <m2﹣3m 有解, 则实数 m 的取值范围 ( ******* ) A. (?1, 4) B. (??, ?1) ? (4, ??) C. (?4,1) D. (??,0) ? (3, ??)

11.已知函数 f(x)=4x2﹣1,若数列 {
A. B.

1 } 前 n 项和为 Sn,则 S2015 的值为(*****) f ( n)
D.

C.

12.已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 1 , 的 n 为(******* ) A.4 B.5 第Ⅱ卷

an ?1 1 ? , anbn ? 1 ,则使 bn ? 101 的最小 an 3an ? 2
D.7

C.6 共 90 分

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 13.在数列 {an } 中, a1 ? ?2, an ?1 ?

1 ? an , 则 a2016 ? ********** . 1 ? an
.

14.若 x ? 3 ? x ? 5 ? a 对于任意 x ? R 均成立,则实数 a 的取值范围 *******

15.设 a, b ? R? ,且 a ? b ? 2, 则 ab 2 的最大值为 ********* 16.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2n , n ? N ? , 则 an ?

. .

*********

?y ? x y 2 ? 2 xy ? 3x 2 ? 17.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,则 的取值范围为 ******* x2 ?x ? 1 ?



18.如图为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架

三角形支架形状如图,要求 为了广告牌稳固,要求 A

?ACB ? 600 ,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米

AC 的长度越短越好,则 AC 最短为

*******

米.

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分)

19. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集;
2

C

B

(2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)

、 C是 三 内 角 , a、b、c 分 别 是 A、B、C 的 对 边 , 已 知 在 ?ABC 中 , A、 B

2 2(sin2 A ? sin2 C) ? (a ? b)sin B , ?ABC 的外接圆的半径为 2 .
(1) 求角 C ; (2) 求 ?ABC 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 是单调递增的等差数列,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 的 首项 b1 ? 1 , 且 a2b2 ? 12 , S3 ? b2 ? 20 . (1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)求 {anbn } 的前 n 项和 Tn.

22. (本小题满分 12 分) 某企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg, 乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 210 元,生产一件产品 B 的利润为 90 元.该企业现有 甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为多少元.

23. (本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? Sn?1 ? 2 (n ? 2) , a1 ? 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式;

3

(2)设 bn ?

1 , T =b +b +…+b2n,是否存在最大的正整数 k,使得对于任意的正整数 n ,有 log 2 an n n+1 n+2

Tn>

恒成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.

4

福建师大附中 2016-2017 学年第一学期模块考试卷解答
一、选择题: C B B B D;CACBB;DC 第Ⅱ卷 共 90 分 三、填空题: 13.3 ;14. a ? 8 15. 32 16. 2n ? 1 17.[2,6] 18. 2 ? 3

27
三、解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分)

19. (本小题满分 12 分)
(1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1 或 x ? 4 ,解集为 {x | x ? 4或x ? 1} .
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0
20.(本小题满分 12 分) 解 : (1) 由 已 知 , 由 正 弦 定 理 得 : 2 2[(
2 a 2 ? c2 ? a b? b ,

a 2 c b ) ? ( ) 2 ] ? ( a ? b) , 因 为 R= 2 , 所 以 2R 2R 2R

2ab cos C ? ab , a 2 ? b2 ? c2 ? ab , 即: 由余弦定理得: 所以 cos C ?
(2)由正弦定理得: c ? 2 R sin C ? 2 2 ? sin 所以 a ? b ? 6 ? ab ? 2ab ,即: ab ? 6
2 2

1 ? . 又0 ? C ? ? , 所以 C = . 2 3

?
3

? 6 ,由余弦定理得: a 2 ? b2 ? ab ? 6

所以 S =

1 1 3 3 3 3 3 ,当且仅当 a ? b ? 6 时, S 取到最大值 . ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2 2

21. (本小题满分 12 分)
解: (1)设公差为 d,公比为 q, 则 a2b2=(3+d)q=12① S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=20② 联立①②可得, (3d+7) (d﹣3)=0 ∵{an}是单调递增的等差数列,d>0. 则 d=3,q=2, ∴an=3+(n﹣1)×3=3n,bn=2n﹣1…
5

(2)Tn=3?1+6?2+9?4+…+3n?2n﹣1,① 2 Tn=3?2+6?4+9?8+…+3n?2n,② ①﹣②得: ? Tn=3+3(2+4+…+2n﹣1)-3n?2n =3(1+2+4+…+2n﹣1)-3n?2n =3

1 ? 2n -3n?2n 1? 2

∴Tn=3+3(n﹣1)?2n

22. (本小题满分 12 分) y 解:设生产产品 A、产品 B 分别为 x 、 件,利润之和 为 z 元,那么由题意得约束条件:

?1.5 x ? 0.5 y ? 150, ? x ? 0.3 y ? 90, ? ? ?5 x ? 3 y ? 600, ? x …0, ? ? ? y …0. z ? 2100 x ? 900 y. 目标函数 ?3 x ? y ? 300, 约束条件等价于 ?10 x ? 3 y ? 900, ① ? ? ?5 x ? 3 y ? 600, ? x …0, ? ? ? y …0.
作出二元一次不等式组①表示的平面区域,即可行域,如图中 阴影部分所示.

7 z 7 y ?? x? y?? x 3 900 , 作 直 线 : 3 并平移,当直线 将 z ? 2100 x ? 900 y 变 形 , 得 7 z y ?? x? 3 900 经过点 M 时, z 取得最大值.

6

?10 x ? 3 y ? 900 ? 解方程组 ?5 x ? 3 y ? 600 ,得 M 的坐标为 (60,100) . 所以当 x ? 60 , y ? 100 时, z ? 210 ? 60 ? 90 ?100 ? 21600 .
max

故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 21600 元.

23. (本小题满分 12 分)
解: (1)由已知 an=Sn﹣1+2,① an+1=Sn+2,② ②﹣①,得 an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1 (n≥2) , ∴an+1=2an (n≥2) . 又 a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1, ∴an+1=2an (n=1,2,3,…) ∴数列{an}是一个以 2 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an=2?2n﹣1=2n. (2)bn= = = ,

∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n= Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1) = + +…+ + +

+

+…+



+ ﹣



∴Tn+1﹣Tn= = =



∵n 是正整数,∴Tn+1﹣Tn>0,即 Tn+1>Tn. ∴数列{Tn}是一个单调递增数列, 又 T1=b2= ,∴Tn≥T1= , 要使 Tn> 恒成立,则有 > ,即 k<6, 恒成立.

又 k 是正整数,故存在最大正整数 k=5 使 Tn>

7


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