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浙江省嘉兴市2013-2014学年高二上学期期末测试数学理试题(B卷) 扫描版Word版答案


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2

3

4

嘉兴市 2013~2014 学年第一学期期末检测 高二理科数学(B)
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 3 分,共 36 分) 1.A; 7.D; 2.D; 8.D; 3.C; 9.C; 4.B; 10.A; 5.C; 11.B. 6.B; 12.B.

参考答案

(2014.1)

二、填空题(本大题共 6 小题,每题 3 分,共 18 分) 13.
5 ; 2

14.锐角三角形;

15. 5 ; 18.
3 . 2

5 16. [ 2, ] ; 2

17. [3 ? 2 2 , ?? ) ;

三、解答题(本大题共 6 小题,第 19、20 题各 6 分,21、22、23 题各 8 分,24 题 10 分, 共 46 分)

19. (本题满分 6 分) 已知 a ? 1, b ? 2 ,求证: ab ? 2 ? 2a ? b . 解:因为 ab ? 2 ? ( 2a ? b ) ? ( a ? 1)( b ? 2) , 且 a ? 1, b ? 2 ,即 a ? 1 ? 0, b ? 2 ? 0 . 所以 ab ? 2 ? 2a ? b . 20. (本题满分 6 分) 已知命题 p :对任意实数 x , x 2 ? 2 x ? m ? 0 恒成立,命题 q :函数 “ p ? q ”为真,求实 y ? ( m ? 1) x 2 ? 3 x ? 2 的图象是开口向上的抛物线.若“ p ? q ”为假, 数 m 的取值范围. 解:由命题 p 可得 ? ? 4 ? 4m ? 0 ,所以 m ? ?1 , 由命题 q 可得 m-1>0,即 m>1. ……………2 分 ………………6 分 ……………3 分

又因为“ p ? q ”为假, “ p ? q ”为真,所以 p, q 中一真一假.可得:
? m ? ?1 ? m ? ?1 或? . ? ?m ? 1 ?m ? 1
5

…………4 分

解得: m ? ?1 或 m ? 1 . 21. (本题满分 8 分)

…………6 分

已知空间三点 A( ?2,0, 2), B( ?1,1, 2), C ( ?3,0, 3) ,设 a ? AB, b ? AC ,求 (Ⅰ) ? a, b ? ; (Ⅱ)平面 ABC 的一个法向量 n . 解: (Ⅰ) a ? (1,1,0) , b ? ( ?1,0,1) , 所以 a ? b ? ?1 , | a |? 2 , | b |? 2 ; 所以 cos ? a, b ?? ………………2 分 …………………4 分

a?b | a || b |

??

1 2? ,所以 ? a, b ?? . 2 3

? ?x ? y ? 0 ? AB ? n ? 0 (Ⅱ)设 n ? ( x , y, z ) ,则由 ? ,可得 ? ;……………6 分 ?? x ? z ? 0 ? ? AC ? n ? 0

取 x ? 1, y ? ?1, z ? 1 , 可得平面 ABC 的一个法向量为 n ? (1, ?1,1) . 22. (本题满分 8 分) 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,现将△AED, △DCF, △BEF 分别沿 DE, DF, EF 折起, 使 A, B, C 重合于点 A1 , 得到三棱锥 A1 ? DEF . (Ⅰ)求证: A1 D ? EF ; (Ⅱ)求 A1 D 与平面 DEF 所成角大小的正切值. D A ………………8 分

A1

E

?E
F
C
(第 22 题图) 6

D

B

F

解: (Ⅰ)由题意可知, A1 D ? A1 E , A1 D ? A1 F ;所以 A1 D ? 平面 A1 EF .…2 分 又因为 EF ? 平面 A1 EF ,所以 A1 D ? EF . (Ⅱ)如图,取 EF 中点 G,连 A1G 和 DG , 可得 DG ? EF ,所以 EF ? 平面 A1 DG . 在平面 A1 DG ,过点 A1 作 A1 M ? DG 于 M, 可得 A1 M ? EF ,所以 A1 M ? 平面 DEF. 所以 ?A1 DM 即为所求线面角.……………………………6 分 又 A1G ?
2 2 , A1 D ? 2 ,所以 tan ?A1 DM ? . 2 4 2 . 4

……………………4 分

……………………5 分

A1

E
G
M

D

F
(第 22 题解答图)

所以 A1 D 与平面 DEF 所成角大小的正切值为 23. (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x ) ? x | x ? a | , x ? [1,6] . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的值域;

………………………8 分

(Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? 9 在给定定义域 x ? [1,6] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:
1 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ( x ? 1) ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ? ,…………………1 分 2 4

又因为 x ? [1,6] ,所以 f ( x ) min ? f (1) ? 0, f ( x ) max ? f ( 6) ? 30 , 故此时 f ( x ) 的值域[0,30] . (Ⅱ)由题意可得, ? …………………3 分

9 9 ? x ? a ? 在 x ? [1,6] 恒成立……………………4 分 x x

7

9 ? a? x? ? ? x ? 所以 ? 9 ,在 x ? [1,6] 恒成立 a? x? ? x ?

………………5 分

?a ? 6 ? ? 9 所以 ?a ? , 2 ?

故实数 a 的取值范围为

9 ? a?6. 2 9 15 . ?a? 2 2

…………………8 分 …………………4 分

另解:由题意可得, f ( 6) ? 9 ,所以
2 ? ? ? x ? ax , ( x ? a ) 又因为 f ( x ) ? ? , 2 ? x ? ax , ( x ? a ) ?

a a (1)若 a ? 6 ,则 f ( x ) 在 (1, ) 上递增,在 ( , a ) 上递减,在 ( a,6) 上递增, 2 2 a 9 所以只需 f ( ) ? 6 即 a 2 ? 24 即可,解得 ? a ? 6 ; 2 2

………………6 分

a a a (2)若 a ? 6 ,则 f ( x ) 在 (1, ) 上递增,在 ( ,6) 上递减,此时只需 f ( ) ? 6 ,解得此 2 2 2

时不存在这样的 a. 综上,实数 a 的取值范围为
9 ?a?6. 2

………………8 分

24. (本题满分 10 分) 如图,底面为梯形的四棱锥 P-ABCD 中, PC ? 底面 ABCD,BC//DA, AC ? BC , PC=BC=2AC=2,AD= 3 ,M 为 PB 中点,N 为线段 PA 上一动点. (Ⅰ)在线段 PA 上是否存在这样的点 N,使得 MN//平面 PCD?若存在,试求 PN 长 度;若不存在,请说明理由.

? ? (Ⅱ)设二面角 C-MN-A 的大小为 ? ,若 ? ? [ , ] ,试求 PN 的取值范围. 4 3 P

M
8

N
C

B

解: (Ⅰ)以点 C 为原点,CA,CB,CP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 所以 C ( 0,0,0) , A(1,0,0) , B(0, 2,0) , D(1, ? 3 ,0) , P (0,0, 2) , M (0,1,1) .……1 分 假设存在这样的点 N ,使得 MN//平面 PCD.设 PN ? ? PA ,则 N ( ? ,0, 2 ? 2? ) ,所以
MN ? ( ? , ?1,1 ? 2? ) .

……………………2 分

设平面 CDP 的法向量为 n0 ? ( x0 , y0 , z0 ) ,又因为 CP ? ( 0,0, 2) , CD ? (1, ? 3 ,0) ,

? ? ?CP ? n0 ? 0 ? 2 z0 ? 0 由? 可得 ? ,取 n0 ? ( 3 ,1,0) . ? x ? 3 y ? 0 ? CD ? n ? 0 0 0 ? 0 ?
所以由 MN ? n0 ? 0 ,解得 ? ?

…………………4 分

3 15 .所以此时 | PN |? .…………………5 分 3 3

(Ⅱ)设平面 CMN 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,又因为 CM ? ( 0,1,1) ,又设 PN ? ? PA ,则
N ( ? ,0, 2 ? 2? ) ,所以 CN ? ( ? ,0, 2 ? 2? ) .

? ?y ? z ? 0 2? ? 2 ?CM ? n1 ? 0 由? 可得 ? 1 1 ,取 n1 ? ( , ?1,1) .……………6 分 ? ? x ? ( 2 ? 2 ? ) z ? 0 1 1 ? ? CN ? n ? 0 1 ?
同理,设平面 AMN 的法向量为 n2 ? ( x 2 , y2 , z 2 ) ,可求得 n2 ? ( 2,1,1) .
n1 ? n2 | n1 || n2 | 2 ? 2? ? , ? 6? 2 ? 8? ? 4 9?2 ? 12? ? 6 ? 6 ?2 4 ? 4?

…7 分

所以 cos ? ?

?

………………8 分

1 2 ? ? 10 ? 30 又因为 ? ? [ , ] ,所以 cos ? ? [ , . ] ,解得 6 ? 2 ? ? ? 7 2 2 4 3

……9 分

所以 30 ? 2 5 ?| PN |?

10 5 ? 5 6 . 7

9

故 PN 的取值范围是 [ 30 ? 2 5 ,

10 5 ? 5 6 ]. 7

…………10 分

10


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