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江门市2012年普通高中高三调研测试理科数学


2012 江门市 2012 年普通高中高三调研测试


参考公式:锥体的体积公式 V =

学(理科)试



本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) .

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈若全集 U = R ,集合 A = {x | 1 ≤ x ≤ 3} , B = {x | 2 ≤ x ≤ 4} , C = {x | 3 < x ≤ 4} ,则 A. A = (CU B) I C C. C = (CU A) I B ⒉复数 z = B. B = (CU A) I C D. C = A I B

2?i ( i 是虚数单位)的虚部是 2+i 4 4 A. i B. ? i 5 5 1+ x ⒊函数 f ( x) = log 2 ( x ≠ 0 )的图象在 1? x A.一、三象限 B.二、四象限
C.一、二象限 D.三、四象限

C.

4 5

D. ?

4 5

⒋已知 {a n } ( n ∈ N ? )为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a 7 是 a3 与 a9 的等比中项, 则 {a n } 的首项 a1 =
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20

⒌已知命题 p : sin α = sin β ,且 cos α = cos β ” “ ,命题 q : α = β ” “ 。则命题 p 是 命题 q 的
A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分与不必要条件
B' A H M E B F C N G C' D A' D'

⒍如图 1,正方体 ABCD ? A / B / C / D / 中, M 、 E 是 AB 的 三等分点,G 、N 是 CD 的三等分点,F 、H 分别是 BC 、 MN 的中点,则四棱锥 A / ? EFGH 的侧视图为 (注:只有选项 C“一项是符合题目要求的” ,选项 A 和 D 是重复错误)

图1
理科数学 第 1 页 共 9 页

_ .. A

_ .. B

_ .. C

_ .. D

⒎将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1、2、3、4、5、6 的正 方体玩具) 先后抛掷 2 次, 记第一次出现的点数为 m , 记第二次出现的点数为 n , 向量 a = (m ? 2 , 2 ? n) , b = (1 , 1) ,则 a 和 b 共线的概率为 A.
1 18 B. 1 12 C. 1 9 D. 5 12

⒏定义 A ? B 、 B ? C 、 C ? D 、 D ? A 的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、
(4),那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是

(1) (2) (3) A.B ? D 、 A ? D B.B ? D 、 A ? C

(4) (M) C. B ? C 、 A ? D

(N) D.C ? D 、 A ? D

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐ ∫ (e x + 2 x) dx =
?1 1



1 3 ⒑已知 e1 = ( 3 , ? 1) , e2 = ( , ) ,若 a = e1 + (t 2 ? 3) ? e2 , b = ? k ? e1 + t ? e2 ,若 2 2 a ⊥ b ,则实数 k 和 t 满足的一个关系式是



k + t2 的最小值为 t



⒒在 ?ABC 中,若 A = 75 ° , B = 45 ° , AB = 6 , 则 AC = . ⒓已知点 A(?1 , 1) 和圆 C : ( x ? 5) 2 + ( y ? 7) 2 = 4 , 从点 A 发出的一束光线经过 x 轴反射到圆周 C 的最短路程是 为 .
理科数学 第 2 页 共 9 页



⒔如图 2 所示的程序框图,其输出结果

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(几何证明选讲选做题)如图 3,圆 O 是 ?ABC 的 外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D , CD = 2 7 , AB = BC = 3 ,则 AC = .
A C D O B

图3

⒖(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点 A(1 , 极点,则 ?AOB 的面积等于 .

π
3

) , B (3 ,

2π ) ,O 是 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 2 sin ωx ? cos ωx + 2b cos 2 ωx ? b (其中 b > 0 ,ω > 0 )的最大值 为 2,直线 x = x1 、 x = x 2 是 y = f (x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x 2 | 的最小值 为

π
2

. ⑴求 b , ω 的值; ⑵若 f (a ) =
2 5π ,求 sin( ? 4a ) 的值. 3 6

⒘(本小题满分 14 分) 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位:千克)情况, 将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图 4) ,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,其中第 2 小组的频数为 12。 ⑴求该校报考飞行员的总人数; ⑵以这所学校的样本数据来估计全省的总体 数据,若从全省报考飞行员的同学中任选三人, 设 X 表示体重超过 60 千克的学生人数,求 X 的 分布列和数学期望。
0.0375 0.0125

图4
理科数学 第 3 页 共 9 页

⒙(本小题满分 14 分) 如图 5,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是正方形, AA1 = 2 AB = 2 , E 是 DD1 上的一点. ⑴求证: AC ⊥ B1 D ; ⑵若 B1 D ⊥ 平面 ACE ,求三棱锥 A ? CDE 的体积; ⑶在⑵的条件下, 求二面角 D ? AE ? C 的平面角的 余弦值.
A

D1 A1 B1

C1

E D

C

B
图5

⒚(本小题满分 12 分)

设双曲线 C1 的渐近线为 y = ± 3 x ,焦点在 x 轴上且实轴长为 1.若曲线 C 2 上 并且曲线 C 3 :x 2 = 2 py ( p > 0 的点到双曲线 C1 的两个焦点的距离之和等于 2 2 , 是常数)的焦点 F 在曲线 C 2 上。 ⑴求满足条件的曲线 C 2 和曲线 C 3 的方程; ⑵过点 F 的直线 l 交曲线 C 3 于点 A 、 B ( A 在 y 轴左侧) ,若 AF = 直线 l 的倾斜角。 ⒛(本小题满分 14 分)
1 FB ,求 3

a 2 、a5 是方程 x 2 ? 12 x + 27 = 0 的两根, 数列 {a n } 是递增的等差数列, 数列 {bn }
1 的前 n 项和为 S n ,且 S n = 1 ? bn ( n ∈ N ? ) . 2

⑴求数列 {a n } , {bn }的通项公式;

⑵记 c n = a n ? bn ,求数列 {c n }的前 n 项和 Tn .
本题第⑵⑶ ⑵⑶两 只需要解答一问,两问都答只计第⑵ 21(本小题满分 14 分) 注:本题第⑵⑶两问只需要解答一问,两问都答只计第⑵问得分) (

已知函数 f ( x) = ax + x ln | x + b | 是奇函数, 且图像在点 (e , f (e)) 处的切线斜率 为 3( e 为自然对数的底数) . ⑴求实数 a 、 b 的值; ⑵若 k ∈ Z ,且 k <
f ( x) 对任意 x > 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

⑶当 m > n > 1 ( m , n ∈ Z )时,证明: (nm m ) n > (mn n ) m .
理科数学 第 4 页 共 9 页

理科数学评分参考
一、选择题 二、填空题 CDAD ACBB ⒐ e ? e ?1 ⒓8 ⒔ ⒑ t (t 2 ? 3) ? 4k = 0 (3 分) ? ,
7 (2 分) 4

⒒2 6

6 3 7 3 3 ⒕ ⒖ . 7 2 4 解答题(以下解答供参考,等价或有效解答都要相应给分) 三、解答题

⒗解:⑴ f ( x) = sin 2ωx + b cos 2ωx = 1 + b 2 sin(2ωx + ? ) ……2 分, π 2π π T = 2 × = π ……3 分, T= = ,所以 ω = 1 ……4 分, 2 2ω ω 解 1 + b 2 = 2 得 b = ± 3 ……5 分, 因为 b > 0 ,所以 b = 3 ……6 分 π 2 π 1 ⑵ f ( x) = 2 sin(2 x + ) ……7 分, 由 f (a ) = 得 sin(2α + ) = ……8 分, 3 3 3 3 5π 3π π π π sin( ? 4α ) = sin[ ? 2(2α + )] = ? cos 2(2α + ) ( 或 设 β = 2α + , 则 6 2 3 3 3 π 5π 3π 5π 2α = β ? , ? 4α = ? 2 β ,从而 sin( ? 4α ) = ? cos 2 β )……10 分 3 6 2 6 π 7 = 2 sin 2 (2α + ) ? 1 …11 分, = ? ……12 分. 3 9 ⒘解:⑴设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 、 p 2 、 p3 ,则

? p 2 = 2 p1 ? ……3 分, ? p3 = 3 p1 ? p + p + p + (0.0375 + 0.0125) × 5 = 1 2 3 ? 1
因为 p 2 = 0.25 =

? p1 = 0.125 ? 解得 ? p 2 = 0.25 ……4 分 ? p = 0.375 ? 3

12 ……3 分, 所以 n = 48 ……6 分 n ⑵由(1)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 5 ……8 分, 8

p = p 3 + (0.0375 + 0.0125) × 5 =

所以 X ~ (3 ,

5 ) ……9 分 8

k 5 k 3 3? k 所以 p ( X = k ) = C 3 ( ) ( ) , k = 0 ,1,2,3……11 分 8 8 随机变量 X 的分布列为: 1 2 3 X 0

……13 分 则 EX = 0 ×

p

27 512

135 512

225 512

125 512

27 135 225 125 15 5 15 + 1× + 2× + 3× = (或: EX = 3 × = ) ……14 分 512 512 512 512 8 8 8
理科数学 第 5 页 共 9 页

⒙证明与求解: (方法一)⑴连接 AC ,则 AC ⊥ BD ……1 分, 因为 BB1 ⊥ 面 ABCD ,所以, BB1 ⊥ AC ……2 分, 因为 BB1 I BD = B , 所以 AC ⊥ 平面 BB1 D ……3 分, 所以 AC ⊥ B1 D ……4 分。 ⑵连接 A1 D ,与⑴类似可知 A1 D ⊥ AE ……6 分, 从而
DE AD 1 1 1 1 1 = , DE = ……7 分,所以 V A?CDE = × × 1 × × 1 = ……8 分 AD AA1 2 3 2 2 12

⑶设 A1 D I AE = F , AC I BD = O , B1 D I OE = G ,连接 FG , 则 AE ⊥ FG ……9 分, 由等面积关系知 DG = 由⑵知 ∠DGF = DO × DE = OE ∠DFG 是二面角 D ? AE ? C 的平面角……10 分,
2 3

……11 分, DF =
5 6

DA × DE 2 = ……12 分, AE 5
6 ……14 分。 6

π
2

,sin ∠DFG =

DG = DF

……13 分,cos ∠DFG =

(方法二)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 建立空间直角坐标系……1 分。 ⑴依题意, D (0 , 0 , 0) , A(1 , 0 , 0) , C (0 , 1 , 0) , B1 (1 , 1 , 2) ……3 分, 所以 AC = (?1 , 1 , 0) , DB1 = (1 , 1 , 2) ……4 分, 所以 DB1 ? AC = 0 , DB1 ⊥ AC , AC ⊥ B1 D ……5 分。 ⑵设 E (0 , 0 , a ) ,则 AE = (?1 , 0 , a ) ……6 分,因为 B1 D ⊥ 平面 ACE ,
AE ? 平面 ACE ,所以 B1 D ⊥ AE ……7 分,所以 DB1 ? AE = 0 ,所以 ? 1 + 2a = 0 , a=
1 1 1 1 1 ……8 分,所以 V A?CDE = × × 1 × × 1 = ……9 分 2 3 2 2 12

⑶平面 ADE 的一个法向量为 n1 = DC = (0 , 1 , 0) ……10 分,平面 ACE 的一个 法向量为 DB1 = (1 , 1 , 2) ……12 分,由图知,二面角 D ? AE ? C 的平面角的余弦值 为 cos θ =
n1 ? DB1 | n1 | ? | DB 1 | = 1 6 = 6 ……14 分。 6

理科数学

第 6 页 共 9 页

? b1 ? = 3, ⒚解:⑴双曲线 C1 满足: ? a1 ……1 分, ? 2a1 = 1. ?

? ? a1 = ? 解得 ? ?b1 = ? ?

1 , 2 ……2 分 3 . 2

则 c1 = a12 + b12 = 1 ,于是曲线 C1 的焦点 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ……3 分, x2 y2 曲线 C 2 是以 F1 、 F2 为焦点的椭圆,设其方程为 2 + 2 = 1(a 2 > b2 > 0) ……4 分, a 2 b2
? 2 a = 2 2 , ?a 2 = 2 , x2 解? 2 2 2 得? ,即 C 2 : + y 2 = 1 ……5 分, 2 ?a 2 ? b2 = 1. ? b2 = 1.
2 依题意,曲线 C 3 : x = 2 py ( p > 0) 的焦点为 F (0 , 1) ……6 分,

于是

p = 1 ,所以 p = 2 ,曲线 C 3 : x 2 = 4 y ……7 分 2 ⑵由条件可设直线 l 的方程为 y = kx + 1 (k > 0) ……8 分,

? x 2 = 4 y, 由 ? 得 x 2 ? 4kx ? 4 = 0 , ? = 16(k 2 + 1) > 0 , 由 求 根 公 式 得 : ? y = kx + 1.
x1 = 2k ? 2 k 2 + 1 , x 2 = 2k + 2 k 2 + 1 ……9 分,

由 AF =
2 解得 k =

1 FB 得 ? 3x1 = x 2 ……10 分,于是 ? 3(2k ? 2 k 2 + 1) = 2k + 2 k 2 + 1 , 3

1 π 3 ……11 分,由图知 k > 0 , k = ,直线 l 的倾斜角为 ……12 分 3 6 3

⒛解:⑴解 x 2 ? 12 x + 27 = 0 得 x1 = 3 , x 2 = 9 , 因为 {a n } 是递增,所以 a 2 = 3 , a 5 = 9 ……2 分,

?a5 = a1 + 4d = 9 ?a1 = 1 解? ……3 分,得 ? ,所以 a n = 2n ? 1 ……4 分 ?d = 2 ?a 2 = a1 + d = 3
1 1 2 在 Tn = 1 ? bn 中,令 n = 1 得 b1 = 1 ? b1 , b1 = ……5 分, 2 2 3 1 1 1 1 当 n ≥ 2 时, Tn = 1 ? bn , Tn?1 = 1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn = bn ?1 ? bn ……6 分 2 2 2 2

bn 1 1 2 = , {bn }是等比数列……7 分,所以 bn = b1 × ( ) n ?1 = n ……8 分 bn ?1 3 3 3

理科数学

第 7 页 共 9 页

4n ? 2 ……9 分 3n 4 ×1 ? 2 4 × 2 ? 2 4 × 3 ? 2 4 × (n ? 1) ? 2 4n ? 2 Tn = + + +L+ + ……10 分 1 2 3 3 3 3 3 n ?1 3n 4 ×1 ? 2 4 × 2 ? 2 4 × 3 ? 2 4 × (n ? 1) ? 2 4n ? 2 3Tn = + + +L+ + n ?1 ……11 分 0 1 2 3 3 3 3 n?2 3 4 4 4 4n ? 2 两式相减得: 2Tn = 2 + 1 + 2 + L + n ?1 ? ……13 分 3 3 3 3n 4n + 4 2n + 2 = 4? ,所以 Tn = 2 ? ……14 分 n 3 3n

⑵ c n = a n ? bn =

21 解:⑴ f (x) 是奇函数,所以 f (? x) = ? f ( x) ,即
a (? x) + (? x) ln | ? x + b |= ?(ax + x ln | x + b |) ……2 分,所以 ln | ? x + b |= ln | x + b | ,

从而 b = 0 ……3 分,此时 f ( x) = ax + x ln | x | , f / ( x) = a + 1 + ln | x | ……4 分, 依题意 f / (e) = a + 2 = 3 ,所以 a = 1 ……5 分 ⑵当 x > 1 时,设 g ( x) =
x ? 2 ? ln x f ( x) x + x ln x / = ,则 g ( x) = ……6 分 ( x ? 1) 2 x ?1 x ?1 1 > 0 , h(x) 在 (1 , + ∞) 上是增函数……8 分 x

/ 设 h( x) = x ? 2 ? ln x ,则 h ( x) = 1 ?

因为 h(3) = 1 ? ln 3 < 0 ,h(4) = 2 ? ln 4 > 0 ,所以 ?x0 ∈ (3 , 4) ,使 h( x0 ) = 0 …… 10 分,x ∈ (1 , x0 ) 时,h( x) < 0 ,g / ( x) < 0 , g (x) 在 (1 , x0 ) 上为减函数; 即 同理 g (x) 在 ( x0 , + ∞ 0 ) 上为增函数……12 分, 从而 g (x) 的最小值为 g ( x0 ) =

x 0 + x0 ln x0 = x0 ……13 分 x0 ? 1

所以 k < x0 ∈ (3 , 4) , k 的最大值为 3 ……14 分。 ⑶要证 (nm m ) n > (mn n ) m ,即要证 n ln n + mn ln m > m ln m + mn ln n ……6 分, 即证 n(1 ? m) ln n > m(1 ? n) ln m , 设 ? ( x) =
n ln n m ln m < ……8 分, n ?1 m ?1

x ? 1 ? ln x x ln x / , x > 1 ……9 分,则 ? ( x) = ……10 分 ( x ? 1) 2 x ?1 1 > 0 ……11 分, g (x) 在 (1 , + ∞ 0 ) 上为增 x

/ 设 g ( x) = x ? 1 ? ln x ,则 g ( x) = 1 ?

理科数学

第 8 页 共 9 页

函数……12 分,
?x > 1 , g ( x) > g (1) = 1 ? 1 ? ln 1 = 0 ,从而 ? / ( x) > 0 , ? (x) 在 (1 , + ∞ 0 ) 上为增

函数……13 分, 因为 m > n > 1 ,所以 ? (n) < ? (m) ,
14 分 n ln n m ln m < ,所以 (nm m ) n > (mn n ) m …… n ?1 m ?1

理科数学

第 9 页 共 9 页


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