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16复变函数的极限与连续_图文

§1.6 复变函数的极限和连续性
1.函数的极限
定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0<|z-z0|<r 内, 如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的e >0, 相 应地必有一正数d (e) (0 <d ?r), 使得当 0 <|z-z0|<d 时有 | f (z)-A |<e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作
lim f (z) ? A
z?z0
或记作当 z?z0 时 , f (z)?A.

几何意义:
y z
d z0
O

v f(z)
eA

xO

u

等价定义:

设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则

lim f ( z)
z ? z0
运算性质:

?

A

?

? lim u( x,

?? x? x0 y ? y0

? ? ??

lim
x? x0 y ? y0

v( x,

y) y)

? ?

u0 .
v0

例1

证明函数

f (z) ?

Re( z ) | z | 当 z?0 时的极限不存在

[证] 令 z = x + i y, 则 f (z) ? x , x2 ? y2

由此得 u(x, y) ? x , v(x, y) ? 0. x2 ? y2

让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有

lim u(x, y) ? lim x ?

x?0 ( y?kx)

x?0 ( y?kx)

x2 ? y2

x

1

lim
x?0

?? (1? k 2 )x2

. 1? k2

故极限不存在.

2. 函数的连续性

定义

如果 lim z?z0

f

(z) ?

f (z0)

则说 f (z)在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域D内处处

连续, 我们说 f (z) 在D内连续.

函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的 充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续. 性质:

(1)连续函数的四则运算仍然连续;

(2)连续函数的复合函数仍然连续;

(3)连续函数的模也连续;

(4)有界闭区域D上的连续函数必有界,且其模
在D上取到最大值与最小值;
(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.

例题1 讨论

的连续性。

?0

x

0

例2 讨论
解:

的连续性。


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