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高二数学必修5 等比数列的前n项和(一) ppt1


等比数列的前n项和

复习:
等差数列 等比数列

定义
通项公式

an?1 ? an ? d an?1 ? an ? d
an ? am ? (n ? m)d
m?n ? r ?s

an?1 ? an q
an ? am q
n?m

an ?1 ?q an

性质

(m, n, r , s ? N * )

am ? an ? ar ? as
Sn

n(a1 ? an ) Sn ? 2 n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

am an ? ar as

等差数列求和方法回顾:(倒序相加)

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

+ S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1
2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? ? (an ? a1 )
n个相 同的数

n(a1 ? an ) Sn ? 2

国王赏麦的故事

S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2
62
62

63
64



2S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ②
63

②—① ,得

S64 ? ?1 ? 0 ? 0 ? ? ? 0 ? 2
中间各 数均为0

64

如何求等比数列的Sn:
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? a1q
2
2 3

n?2

? a1q

n ?1


n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ? ? a1q

n ?1

? a1q ②
n

①—② ,得

(1 ? q) S n ? a1 ? 0 ? ? ? 0 ? a1q

(1 ? q) S n ? a1 ? a1q

n

q ? 1时 :
注意:
1. 当 q ? 1

? na1 (q ? 1) ? a1 ? a1q n Sn ? ? (q ? 1) ? 1? q ?

a1 ? an q a1 ? a1q Sn ? ? 1? q 1? q
n

时, a1 , q, n, S n

;a1 , an , q, S n

2、使用公式求和时,需注意对 q ? 1 和 况加以讨论; 3、推导公式的方法:错项相消法。

q ?1

的情

等比数列前n项和公式的推导欣赏 (一) 用等比性质推导
因为 所以

当 q = 1 时 Sn = n a1

(二)借助和式的代数特征进行恒等变形
S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an
? a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ... ? an?1 )

? a1 ? q( S n ? a n )

当q≠1时,

a1 ? a n q Sn ? 1? q

当q=1时,S n ? na1

公式应用:
例1:求等比数列

1 1 1 , , ,? 2 4 8

的前8项的和。

1 1 1 1 解:由 a1 ? , q ? ? ? , n ? 8 ,得 2 4 2 2

1 1 8 [1 ? ( ) ] 2 2 ? 255 Sn ? 1 256 1? 2

例2 已知等比数列 ?an ? , a1 ? 27, a9 ? 求前8项的和.

1 243 .

已知等比数列?an ?中,

练习1.
2或-3

?1? a1 ? 2 , S3 ? 14.则q ?

a3 ? 8或18 ? 2? a1 ? ?1, a4 ? 216 则 q ? -6 , S4 ? 185

归纳要熟记公式: an ? a1q n ?1
Sn ? a1 ?1 ? q n ? 1? q



a1 ? an q Sn ? ? q ? 1? 1? q

a1、q、n、a n、sn

知三求二

练习2.
已知{an }中,an?1 ? 2an , a2 ? 3, 求S6 .
解: an ?1 ? 2an ? an ?1 ? ? 2,?{an }为等比数列 an

3 ?q ? 2 且a1 ? 2 3 6
(1 ? 2 ) 1? 2

? s6 ? 2

189 ? 2

小结:
等比数列求和公式:

na1 (q ? 1) ? ? n a1 ? an q S n ? ? a1 ? a1q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
推导方法: 错位相消法

课后作业
P69 习题 2.5 A 组 第1,3题
选做: P70 第1,2,题


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