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高中数学易错题举例解析学生版

高中数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容

易被忽略。也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误。下面通过几个

例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。

● 忽视等价性变形,导致错误。

? x>0

? ?

y>0

?

? ? ?

x + y>0 xy>0

,但

? ? ?

x>1 y>2



? ? ?

x + y>3 xy>2

不等价。

【例 1】已知 f(x)

=

ax

+

x b

,若 ? 3 ?

f (1) ? 0,

3?

f (2) ? 6, 求 f (3) 的范围。

●忽视隐含条件,导致结果错误。

【例 2】

(1) 设?、? 是方程 x2 ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根,则 (? ?1)2 ? (? ?1)2 的最小值是

(A) ? 49 4

(B) 8

(C) 18

(2)

已知(x+2)2+

y2 4

=1,

求 x2+y2 的取值范围。

(D)不存在

●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误。

【例 3】已知:a>0

,

b>0

,

a+b=1,求(a+

1 a

)2+(b+

1 b

)2 的最小值。

●不进行分类讨论,导致错误

【例 4】(1)已知数列?an ?的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1,求 an .

(2)实数 a 为何值时,圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ?1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 1 x 有两个公共点。 2
●以偏概全,导致错误 以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,
从而表现出思维的不严密性。

【例 5】(1)设等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n .若 S3 ? S6 ? 2S9 ,求数列的公比 q .

(2)求过点 (0,1) 的直线,使它与抛物线 y 2 ? 2x 仅有一个交点。

《章节易错训练题》

1、已知集合 M = {直线} ,N = {圆} ,则 M∩N 中元素个数是

(A) 0

(B) 0 或 1 (C) 0 或 2

(D) 0 或 1 或 2

2、已知 A = {x | x2 + tx + 1 = 0} ,若 A∩R* = ? ,则实数 t 集合 T = ___。

3、如果 kx2+2kx-(k+2)<0 恒成立,则实数 k 的取值范围是 (A) -1≤k≤0 (B) -1≤k<0 (C) -1<k≤0 (D) -1<k<0

4、命题 A : x ?1 <3,命题 B : (x ? 2)(x ? a) <0,若 A 是 B 的充分不必要条件,则 a 的取

值范围是

(A) (4, ??) (B)?4, ??? (C) (??, ?4) (D) ???, ?4?

5、若不等式 x2-logax<0 在(0,

1 2

)内恒成立,则实数 a 的取值范围是

(A) [116 ,1]

(B) (1, + ?)

(C) (116 ,1)

(D) (12 ,1)∪(1,2)

6、若不等式(-1)na

<

2

+

(-1)n + 1 n

对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围是

(A) [-2,32 ]

(B) (-2,32 ) (C) [-3,32 ]

(D) (-3,32 )

7、已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 满足: f (1) ?1;当 x ? 0 时, f (x) ? 0 ;对于任意的

实数 x 、 y 都有 f (x ? y) ? f (x) ? f (y) 。证明: f (x) 为奇函数。

1-2x 8、已知函数 f(x) = x + 1 ,则函数 f (x) 的单调区间是_____。

9、函数 y = log0. 5(x2-1) 的单调递增区间是________。

10、已知函数 f (x)= ???loxg 2(x+2) ??x-1

x>0 x≤0 , f (x)的反函数 f -1(x)=



11、函数 f (x) = log 1 (x 2 + a x + 2) 值域为 R,则实数 a 的取值范围是 (A) (-
2

2 2 ,2 2 )

(B) [-2 2 ,2 2 ]

(C) (-?,-2 2 )∪(2 2 ,+?)

(D) (-?,-2 2 )∪[2 2 ,+?]

12、若 x≥0,y≥0 且 x+2y=1,那么 2x+3y2 的最小值为

(A)2

(B)34

(C)23

(D)0

13、函数 y= x2 ? 4x ? 3 的值域是________。 x2 ? x ?6

14、函数 y

=

sin

x

(1

+

tan

x

tan

x 2

)的最小正周期是

(A)

? 2

(B) ?

(C) 2?

(D) 3

15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数,当 x ? [0,1] 时,f (x) = 2 x,则 f (log 1 23)
2

=

(A)

23 16

(B)

16 23

(C) -1263

(D) -1263

16、已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1处取得极值。

(1)讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值;

(2)过点 A(0, 16) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求此切线方程。(2004 天津)

17、已知 tan (?-3? )= -

3 5

则 tan ? =

sin ;3cos 2?

? cos ? -2sin

2?

=



18、若 3 sin 2? + 2 sin 2? -2 sin ? = 0,则 cos 2? + cos 2? 的最小值是 。

19、已知 sin?

+

cos?

=

1 5

,?

?

(0,?),则 cot?

=

_______。

20、在△ABC 中,用 a、b、c 和 A、B、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角,若 a =2、

b ? 2 、 A ? ? ,则∠B = 4

(A) ? 12

(B) ? 6

(C) ? 或 5? 66

(D) ? 或11? 12 12

21、已知 a>0

,

b>0

,

a+b=1,则(a

+

1 a

)2

+

(b

+

1 b

)2 的最小值是_______。

22、已知 x



k?

(k

?

Z),函数 y

=

sin2x

+

4 sin2x

的最小值是______。

23、求 y ? 2 ? 8 的最小值。 sin 2 x cos2 x

24、已知 a1 = 1,an = an-1 + 2n-1(n≥2),则 an = ________。

25、已知 -9、a1、a2、-1 四个实数成等差数列,-9、b1、b2、b3、-1 五个实数成等比

数列,则 b2 (a2-a1) =

(A) -8 (B) 8

(C) -98

(D)

9 8

26、已知 {an} 是等比数列,Sn 是其前 n 项和,判断 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列吗?

27、已知定义在 R 上的函数 f (x) 和数列{an } 满足下列条件:

a1 ? a, an ? f (an?1 )(n ? 2, 3, 4, ...), a2 ? a1 ,f(an)-f(an-1) = k(an-an-1)(n = 2,3,

┄),其中 a 为常数,k 为非零常数。(1)令 bn ? an?1 ? an (n ? N*) ,证明数列{bn } 是等

比数列;(2)求数列{an

}

的通项公式;(3)当

|

k

|?

1时,求

lim
n??

an



28、不等式 m2-(m2-3m)i< (m2-4m + 3)i + 10 成立的实数 m 的取值集合是________。

29、i

(-1+i)(2+i)

是虚数单位,

i3

的虚部为(



(A) -1

(B) -i

(C) -3

(D) -3 i

30、求实数 m ,使方程 x 2 ? (m ? 4i)x ? 1 ? 2mi ? 0 至少有一个实根。

31、和 a = (3,-4)平行的单位向量是_________;和 a = (3,-4)垂直的单位向量是 _________。 32、将函数 y= 4x-8 的图象 L 按向量 a 平移到 L/,L/的函数表达式为 y= 4x,则向量 a=______。

33、已知 | a |=1,| b |= 2 ,若 a // b ,求 a · b 。

34、在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,若 BC = a,则正三棱锥 A-

BCD 的体积为____________。

35、在直二面角 ?-AB-? 的棱 AB 上取一点 P,过 P 分别在 ?、? 两个平面内作与棱成

45° 的斜线 PC、PD,那么∠CPD 的大小为

(A) 45? (B) 60? (C) 120? (D) 60? 或 120?

36、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是

PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。

(1)证明 PA//平面 EDB;

(2)证明 PB⊥平面 EFD;

(3)求二面角 C—PB—D 的大小。

37、若方程

x2 m

+

y2

=

1 表示椭圆,则 m

的范围是_______。

38、已知椭圆

x2 m

+

y2

=

1 的离心率为

3 2

,则

m

的值为

____ 。

39、椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的

三角形的周长为 4 + 2 3 且∠F1BF2 = 23?,则椭圆的方程是



40、椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0)( c ? 0 )的准线 l 与
x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点。

(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程;

(3)设 AP ? ? AQ( ? ? 1),过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M,

证明 FM ? ??FQ。 41、 已知双曲线的右准线为 x ? 4 ,右焦点 F(10,0) ,离心率 e ? 2 ,求双曲线方程。

42、求与 y 轴相切于右侧,并与⊙ C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 也相切的圆的圆心
的轨迹方程。
43、(如图 3-2-2),具有公共 y 轴的两个直角坐标平面? 和 ? 所成的二面角? ? y轴-?

等于 60? .已知 ? 内的曲线 C? 的方程是 y 2 ? 2 px? ( p ? 0) ,求曲线 C? 在? 内的射



的曲线方程。

44、设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 3 , 2

已知点 P(0, 3) 到这个椭圆上的最远距离是 7 ,求这个椭圆 2

的方程。

O

F? ·

图 3-2-2

《章节易错训练题》参考答案(注意事项) 1、 A(集合元素的确定性)
2、?t t ? ??2 (空集)

3、C(等号)

4、C(等号)

5、A(等号)

6、A(等号)

7、 (特殊与一般关系)

8、递减区间(-?,-1)和(-1, +?)(单调性、单调区间)

9、 [- 2 ,-1)(定义域)

?? 10、?

2x-2 x

??x-1

x>1 0≤x<1

(漏反函数定义域即原函数值域)

11、D(正确使用△≥0 和△<0)

12、B(隐含条件)

13、 (-∞, 2 )∪( 2 ,1)∪(1,+∞) (定义域) 55

14、C (定义域)

15、D(对数运算) 16、(求极值或最值推理判断不充分(建议列表);求过点切线方程,不判断点是否在曲线上。)

17、

3 2



3 3

(化齐次式)

14 18、 9 (隐含条件)

19、-34 (隐含条件) 20、B(隐含条件) 21、225 (三相等) 22、5(三相等)
23、? ymin ? 18.
24、2n-1(认清项数) 25、A(符号) 26、当 q = -1,k 为偶数时,Sk = 0,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 不成等比数列;
当 q≠-1 或 q = -1 且 k 为奇数时,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列。 (忽视公比 q = -1) 27、(等比数列中的 0 和 1,正确分类讨论) 28、{3}(隐含条件) 29、C(概念不清)

30、 m ? ?2.

34

34 43

4

3

31、(5 ,-5 )或(-5 ,5 );(5 ,5 )或(- 5 ,- 5 )(漏解)

32、a = (h,4h+8) (其中 h ? R)(漏解)

33、①若 a , b 共向,则 a · b =| a |?| b |= 2 ,

②若 a , b 异向,则 a · b =-| a |?| b |=- 2 。(漏解)

34、

2 24

a3 (隐含条件)

35、D(漏解)

36、(条件不充分(漏 PA ? 平面 EDB, DE ?平面 PDC,DE∩EF = E 等);运算错误,锐角
钝角不分。)

37、 (0,1)∪(1,+ ?)(漏解)

38、4



1 4

(漏解)

x2 39、 4

+

y2

=

1或x 2

+

y2 4

=

1(漏解)

40、(设方程时漏条件 a> 2 ,误认短轴是 b = 2 2 ;要分析直线 PQ 斜率是否存在(有时 也可以设为 x = ky + b)先;对一元二次方程要先看二次项系数为 0 否,再考虑△>0,后韦 达定理。)

41、

(x ? 2)2 y 2 ? ? 1.

16 48

42、即动圆圆心的轨迹方程是 y2 = 12x(x>0)和 y ? 0 (x ? 0且x ? 3) 。

43、所求射影的方程为 y 2 ? 4 px( p ? 0).

44、所求椭圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 4


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