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第3讲 三角函数的图象与性质


第3讲
【2013 年高考会这样考】

三角函数的图象与性质

1.考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用. 2.考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值 域、求单调区间等问题中的应用. 【复习指导】 1.掌握正弦,余弦、正切三角函数的图象和性质,会作三角函数的图象.通过 三角函数的图象研究其性质. 2.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用.

基础梳理 1.“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ? (2)y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 ?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ? 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 定义域 y=sin x y=cos x y=tan x

R

R

π {x|x≠kπ+2,k∈Z}

图象 值域

[-1,1]

[-1,1]

R

π 对称轴:x=kπ+2(k 对称性 ∈Z) 对称中心: (kπ,0)(k∈Z)

对称轴:x=kπ(k∈ Z) 对称中心: π ? ? ?kπ+2,0??k∈Z? ? ?

无对称轴 ?kπ ? 对称中心:? 2 ,0?(k ? ? ∈Z)

周期

2π 单调增区间 π π? ? ?2kπ-2 , 2kπ+ 2?(k ? ?



π

单调性

∈Z); 单调减区间 π 3π? ? ?2kπ+2 ,2kπ+ 2 ? ? ? (k∈Z)

π ? 单调增区间?kπ-2 , ? π,2kπ](k∈Z);单 调减区间[2kπ,2kπ +π](k∈Z) π? kπ+ 2?(k∈Z) ?

单调增区间[2kπ-

奇偶性







两条性质 (1)周期性 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|, y=tan(ωx+φ)的最小 π 正周期为|ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y =Acos ωx+b 的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性;

(2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根 据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 双基自测 ? π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos?x+3?,x∈R( ? ? A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C ?π ? 2.函数 y=tan?4-x?的定义域为( ? ?
? ? ? ? ? π A.?x?x≠kπ-4 ,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ?

).

).
? ? ? π B.?x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? π D.?x?x≠2kπ+4 ,k∈Z? ? ? ? ? ?

答案 A π? ? 3.(2011· 全国新课标)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小 ? ? 正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( π? ? A.f(x)在?0,2?单调递减 ? ? ?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? π? ? C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ? π? ? 解析 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= 2sin?ωx+φ+4?, 由最小正周期为 π 得 ω ? ? ).

π π π =2,又由 f(-x) =f(x)可知 f(x)为偶函数,因此 φ+4=kπ+2(k∈Z),又|φ|<2可 π? π ? 得 φ=4,所以 f(x)= 2cos 2x,在?0,2?单调递减. ? ? 答案 A ? π? 4.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ? ? A.(-π,0) ).

? 3π ? B.?- 4 ,0? ? ? ?π ? D.?2,0? ? ?

?3π ? C.? 2 ,0? ? ?

π π 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令 x-4=kπ(k∈Z),x=kπ+4(k 3 ? π? ? 3π ? ∈Z),由 k=-1,x=-4π 得 y=sin?x-4?的一个对称中心是?- 4 ,0?. ? ? ? ? 答案 B π? ? 5.(2011· 合肥三模)函数 f(x)=cos?2x+6?的最小正周期为________. ? ? 2π 解析 T= 2 =π. 答案 π

考向一

三角函数的定义域与值域

【例 1】?(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域. π? ? (2)求函数 y=cos2x+sin x?|x|≤4?的最大值与最小值. ? ? [审题视点] (1)由题干知对数的真数大于 0,被开方数大于等于零,再利用单位圆 或图象求 x 的范围. (2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二次函数解决.

π ? ?kπ<x<kπ+ ,k∈Z, ?sin 2x>0, 2 解 (1)依题意? ?? 2 ?9-x ≥0 ?-3≤x≤3, ?
? ? ? ? π π? ??x?-3≤x<-2 ,或0<x<2?. ? ? ? ? ?

? 2 2? (2)设 sin x=t,则 t∈?- , ?. 2? ? 2 ? 2 2? ? 1? 5 ∴y=1-sin2x+sin x=-?t-2?2+4,t∈?- , ?, ? ? 2 2? ? 1 π 5 故当 t=2,即 x=6时,ymax=4, 当 t=- 1- 2 2 π ,即 x=- 时,ymin= . 2 4 2 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函 数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最 值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函 数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x± x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± x,化 cos cos 为关于 t 的二次函数求值域(最值). 【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. π? ? ? π? ? π? ? π π? (2)已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?· ?x+4?,求函数 f(x)在区间?-12,2? sin ? ? ? ? ? ? ? ? 上的最大值与最小值. 解 (1)要使函数有意义, 必须使 sin x-cos x≥0.利用图象, 在同一坐标系中画出 [0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.

π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为4, 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,

所以定义域为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

1 3 1 3 (2)由题意得:f(x)=2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)· x+cos x)=2cos 2x+ 2 (sin π? 1 3 ? sin 2x+sin2x-cos2x=2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? π ? π 5π? ? π π? 又 x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? π? ? ? 3 ? ∴sin?2x-6?∈?- ,1?. ? ? ? 2 ? π 故当 x= 时,f(x)取最大值 1; 3 π 3 当 x=-12时,f(x)取最小值- 2 . 考向二 三角函数的奇偶性与周期性 ).

? π? 【例 2】?(2011· 大同模拟)函数 y=2cos2?x-4?-1 是( ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为2的奇函数

B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为2的偶函数

[审题视点] 先化简为一个角的三角函数,再确定周期和奇偶性. π? 2π ? π? ? 解析 y=2cos2?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函数,T= 2 =π. ? ? ? ? 答案 A 求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三角恒等变换,把 三角函数式化为一个角的一个三角函数,再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇 偶性规律、三角函数的周期公式求解. 【训练 2】 已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周期是 ________. 解析 由 f(x)=(sin x-cos x)sin x=sin2x-sin xcos x= 1-cos 2x 1 2 -2sin 2x=- 2 2

π? 1 ? sin?2x+4?+2. ? ? ∴最小正周期为 π. 答案 π 考向三 三角函数的单调性

?π ? 【例 3】?已知 f(x)=sin x+sin?2-x?,x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. ? ? [审题视点] 化为形如 f(x)=Asin(x+φ)的形式,再求单调区间. ?π ? 解 f(x)=sin x+sin?2-x? ? ? ? π? =sin x+cos x= 2sin?x+4?. ? ? π π π 由-2+2kπ≤x+4≤2+2kπ,k∈Z, 3π π 得:- 4 +2kπ≤x≤4+2kπ,k∈Z, π? ? 又 x∈[0,π],∴f(x)的单调递增区间为?0,4?. ? ? 求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时, 只需把 ωx+φ 看作一个整体 代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,若 ω 为负则要先把 ω 化为正数. π? ? 【训练 3】 函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ? 解析 π? π? π? ? ? ? f(x)=sin?-2x+3?=-sin?2x-3?,它的减区间是 y=sin?2x-3?的增区间. ? ? ? ? ? ?

π π π π 5π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z,得:kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.故所求函数 π 5π? ? 的减区间为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? π 5π? ? 答案 ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) ? ? 考向四 三角函数的对称性 ).

π? ? 【例 4】?(1)函数 y=cos?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ? ? π π A.x=-6 B.x=-12 π π C.x=6 D.x=12

π π ? ? (2)若 0<α<2,g(x)=sin?2x+4+α?是偶函数,则 α 的值为________. ? ? [审题视点] (1)对 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,把“ωx+φ”看作一个整体,即可 求. π π (2)利用4+α=kπ+2(k∈Z),求解限制范围内的 α. π kπ π 解析 (1)令 2x+3=kπ(k∈Z),得 x= 2 -6(k∈Z), π 令 k=0 得该函数的一条对称轴为 x=-6.本题也可用代入验证法来解. π π ? ? (2)要使 g(x)=cos?2x+4+α?为偶函数,则须4+α=kπ ? ? π π π π +2,k∈Z,α=kπ+4,k∈Z,∵0<α<2,∴α=4. π 答案 (1)A (2)4 正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数 的图象只是中心对称图形, 应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思 想的应用. π? π ? 【训练 4】(1)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x=12, φ=________. 则 ? ? (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则 φ=________. π 解析 (1)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z), π π 即 3×12+φ=kπ+2(k∈Z), π 得 φ=kπ+4(k∈Z), π π 又|φ|<2,∴k=0,故 φ=4. (2)由题意,得 y=cos(3x+φ)是奇函数, π ∴φ=kπ+2,k∈Z. π π 答案 (1)4 (2)kπ+2,k∈Z

难点突破 9——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确 利用三角函数的性质解答此类问题,是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提 的, 解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求 解参数问题进行策略性的分类解析. 一、根据三角函数的单调性求解参数 π? ? 【示例】 (2011· ? 镇江三校模拟)已知函数 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的单调递增区间 ? ? 5π π? π 7π? ? ? 为?kπ-12,kπ+12?(k∈Z), 单调递减区间为?kπ+12,kπ+12?(k∈Z), ω 的值 则 ? ? ? ? 为________.

二、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】 (2011· ? 泉州模拟)已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函数,则 φ 可以取的一个值为( ).

π π π π A.6 B.3 C.-6 D.-3

▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选) π? π ? 【示例】 (2011· ? 合肥模拟)若函数 y=sin ωx· ?ωx+2?(ω>0)的最小正周期为7, sin ? ? 则 ω=________.

▲根据三角函数的最值求参数(教师备选) π 【示例】? (2011· 洛阳模拟)若函数 f(x)=asin x-bcos x 在 x=3处有最小值-2, 则常数 a、b 的值是( A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 ). B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1


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