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2015年高考第一轮复习数学:12.2 离散型随机变量的期望值和方差


12.2 离散型随机变量的期望值和方差 ●知识梳理 1.期望:若离散型随机变量ξ ,当ξ =xi 的概率为 P(ξ =xi)=Pi (i=1,2,…,n,…) ,则称 Eξ =∑xi pi 为ξ 的数学期望,反映了 ξ 的平均值. 2.方差:称 Dξ =∑(xi-Eξ )2pi 为随机变量ξ 的均方差,简称 方差. D? 叫标准差,反映了ξ 的离散程度. 3.性质: (1)E(aξ +b)=aEξ +b,D(aξ +b)=a2Dξ (a、b 为常数). (2)若ξ ~B(n,p) ,则 Eξ =np,Dξ =npq(q=1-p). ●点击双基 1.设投掷 1 颗骰子的点数为ξ ,则 A.Eξ =3.5,Dξ =3.52 B.E ξ =3.5 , D ξ = 35 12 C.Eξ =3.5,Dξ =3.5 D.Eξ =3.5,Dξ = 35 16 解析:ξ 可以取 1,2,3,4,5,6. P(ξ =1)=P(ξ =2)=P(ξ =3)=P(ξ =4)=P(ξ =5)=P (ξ =6)= 1 , 6 1 1 1 1 1 1 +2× +3× +4× +5× +6× =3.5, 6 6 6 6 6 6 2 2 2 D ξ =[ (1-3.5) +(2-3.5) +(3-3.5) +(4-3.5)2+(5 ∴Eξ =1× -3.5)2+(6-3.5)2]× 1 17.5 35 = = . 6 6 12 答案:B 2.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数 为ξ ,则下列结论正确的是 A.Eξ =0.1 B.Dξ =0.1 k 10-k C.P(ξ =k)=0.01 ·0.99 D.P ( ξ =k ) k =C 10 ·0.99k·0.0110 -k 解析:ξ ~B(n,p) ,Eξ =10×0.01=0.1. 答案:A 3.已知ξ ~B(n,p) ,且 Eξ =7,Dξ =6,则 p 等于 A. 1 7 B. 1 6 C. 1 5 D. 1 4 1 . 7 解析:Eξ =np=7,Dξ =np(1-p)=6,所以 p= 答案:A 4.一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该 病的发病率为 0.02.设发病的牛的头数为ξ ,则 Dξ 等于 A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 解析:Dξ =10×0.02×0.98=0.196. 答案:C 5.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ 1、ξ 2, 已知 Eξ 1=Eξ 2,Dξ 1>Dξ 2,则自动包装机________的质量较好. 解析:Eξ 1=Eξ 2 说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D ξ 1>Dξ 2 说明甲机包装重量的差别大,不稳定.∴乙机质量好. 答案:乙 ●典例剖析 【例 1】 设ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求 Eξ 、Dξ . ξ P -1 0 1-2q 1 q2 1 2 剖析:应先按分布列的性质,求出 q 的值后,再计算出 Eξ 、D ξ . 解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相 ?1 2 ? 2 ? 1 ? 2q ? q ? 1, ? 应的概率之和等于 1,所以 ?0 ? 1 ? 2 p ? 1, ? 2 ?q ? 1, ? 解得 q=1- 2 . 2 于是,ξ 的分布列为 ξ P -1 0 1 1 2 2 -1 3 - 2 2 所以 Eξ = (-1) × 1 3 +0× ( 2 -1) +1× ( - 2)

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