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2015年高考第一轮复习数学:12.2 离散型随机变量的期望值和方差

12.2 离散型随机变量的期望值和方差 ●知识梳理 1.期望:若离散型随机变量ξ ,当ξ =xi 的概率为 P(ξ =xi)=Pi (i=1,2,…,n,…) ,则称 Eξ =∑xi pi 为ξ 的数学期望,反映了 ξ 的平均值. 2.方差:称 Dξ =∑(xi-Eξ )2pi 为随机变量ξ 的均方差,简称 方差. D? 叫标准差,反映了ξ 的离散程度. 3.性质: (1)E(aξ +b)=aEξ +b,D(aξ +b)=a2Dξ (a、b 为常数). (2)若ξ ~B(n,p) ,则 Eξ =np,Dξ =npq(q=1-p). ●点击双基 1.设投掷 1 颗骰子的点数为ξ ,则 A.Eξ =3.5,Dξ =3.52 B.E ξ =3.5 , D ξ = 35 12 C.Eξ =3.5,Dξ =3.5 D.Eξ =3.5,Dξ = 35 16 解析:ξ 可以取 1,2,3,4,5,6. P(ξ =1)=P(ξ =2)=P(ξ =3)=P(ξ =4)=P(ξ =5)=P (ξ =6)= 1 , 6 1 1 1 1 1 1 +2× +3× +4× +5× +6× =3.5, 6 6 6 6 6 6 2 2 2 D ξ =[ (1-3.5) +(2-3.5) +(3-3.5) +(4-3.5)2+(5 ∴Eξ =1× -3.5)2+(6-3.5)2]× 1 17.5 35 = = . 6 6 12 答案:B 2.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射 10 次,其出事故的次数 为ξ ,则下列结论正确的是 A.Eξ =0.1 B.Dξ =0.1 k 10-k C.P(ξ =k)=0.01 ·0.99 D.P ( ξ =k ) k =C 10 ·0.99k·0.0110 -k 解析:ξ ~B(n,p) ,Eξ =10×0.01=0.1. 答案:A 3.已知ξ ~B(n,p) ,且 Eξ =7,Dξ =6,则 p 等于 A. 1 7 B. 1 6 C. 1 5 D. 1 4 1 . 7 解析:Eξ =np=7,Dξ =np(1-p)=6,所以 p= 答案:A 4.一牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该 病的发病率为 0.02.设发病的牛的头数为ξ ,则 Dξ 等于 A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804 解析:Dξ =10×0.02×0.98=0.196. 答案:C 5.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ 1、ξ 2, 已知 Eξ 1=Eξ 2,Dξ 1>Dξ 2,则自动包装机________的质量较好. 解析:Eξ 1=Eξ 2 说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样.D ξ 1>Dξ 2 说明甲机包装重量的差别大,不稳定.∴乙机质量好. 答案:乙 ●典例剖析 【例 1】 设ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求 Eξ 、Dξ . ξ P -1 0 1-2q 1 q2 1 2 剖析:应先按分布列的性质,求出 q 的值后,再计算出 Eξ 、D ξ . 解:因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相 ?1 2 ? 2 ? 1 ? 2q ? q ? 1, ? 应的概率之和等于 1,所以 ?0 ? 1 ? 2 p ? 1, ? 2 ?q ? 1, ? 解得 q=1- 2 . 2 于是,ξ 的分布列为 ξ P -1 0 1 1 2 2 -1 3 - 2 2 所以 Eξ = (-1) × 1 3 +0× ( 2 -1) +1× ( - 2) =1- 2 , 2 2 1 +(1- 2 )2×( 2 -1)+[1 2 Dξ =[-1-(1- 2 ) ]2× -(1- 2 ) ]2×( 3 - 2 )= 2 -1. 2 评述:解答本题时,应防止机械地套用期望和方差的计算公式, 1 1 +0×(1-2q)+1×q2=q2- . 2 2 出现以下误解:Eξ =(-1)× 拓展提高 既要会由分布列求 Eξ 、Dξ ,也要会由 Eξ 、Dξ 求分布列, 进行逆向思维.如:若ξ 是离散型随机变量,P(ξ =x1)= =x2)= 3 ,P(ξ 5 2 7 6 ,且 x1<x2,又知 Eξ = ,Dξ = .求ξ 的分布列. 5 5 25 解:依题意ξ 只取 2 个值 x1 与 x2,于是有 Eξ = Dξ = 3 2 7 x1+ x2= , 5 5 5 3 2 2 2 6 x1 + x2 -Eξ 2= . 5 5 25 ? ?3x1 ? 2 x 2 ? 7, 从而得方程组 ? 2 2 ? ?3x1 ? 2 x 2 ? 11. 9 ? x1 ? , ? x ? 1 , ? ? 5 解之得 ? 1 或? x ? 2 ? 2 ?x ? 4 . 2 ? 5 ? 而 x1<x2,∴x1=1,x2=2. ∴ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 5 2 5 【例 2】 人寿保险中(某一年龄段) ,在一年的保险期内,每个 被保险人需交纳保费 a 元,被保险人意外死亡则保险公司赔付 3 万 元,出现非意外死亡则赔付 1 万元.经统计此年龄段一年内意外死亡 的概率是 p1,非意外死亡的概率为 p2,则 a 需满足什么条件,保险 公司才可能盈利? 剖析:要使保险公司能盈利,需盈利数ξ 的期望值大于 0,故需 求 Eξ . 解:设ξ 为盈利数,其概率分布为 ξ P a 1-p1-p2 a-30000 p1 a-10000 p2 且 Eξ =a(1-p1-p2)+(a-30000)p1+(a-10000)p2=a- 30000p1-10000p2. 要盈利, 至少需使ξ 的数学期望大于零, 故 a>30000p1+10000p2. 评述:离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值. 思考讨论 本题中 Dξ 有什么实际意义? 【例 3】 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去,设ξ 表示空盒子 的个数,求 Eξ

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