koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

浙江省宁波市镇海中学2015届高三一模数学(理)试卷

浙江省宁波市镇海中学 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上. ) 1. 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪ (?RB) =R, 则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 )

2.函数 A. (0,3) B.[0,3]

的值域为(

) D.[0,+∞)

C. (﹣∞,3]

3.f(x) ,g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x) ,则“f(x) ,g(x)均为偶 函数”是“h(x)为偶函数”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 4.如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那 么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )

A.c<x

B.x<c

C.c<b

D.b<c

5.若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(

)

A.0

B.﹣

C.﹣2

D.﹣3

6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清 点一下箱子的数量, 于是就想出一个办法: 将这堆货物的三视图画了出来, 你能根据三视图, 帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体货箱的个数为( )

A.6

B.7

C .8

D.9

7.设 A(a,1) ,B(2,b) ,C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) A.4a﹣5b=3 B.5a﹣4b=3 C.4a+5b=14





D.5a+4b=14

8. 从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 6 个表面中选取 3 个面, 其中有 2 个面不相邻的选法共有 ( ) A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种

9.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线分别交

双曲线的两条渐近线于点 P,Q.若点 P 是线段 F1Q 的中点,且 QF1⊥QF2,则此双曲线的 渐近线方程为( ) A.y=± x B.y=± x C.y=±2x D.y=±3x 10. 设函数 f (x) =xsinx 在 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1, a2, …an…, 则对任意正整数 n 必有( ) A. C. B. D.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若 a 为实数, ,则 a 等于__________.

12.若

的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于__________.

13.在△ ABC 中,若

,∠C=150°,BC=1,则 AB 的值为__________.

14. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1, 2S2, 3S3 成等差数列, 则{an}的公比为__________. 15.设向量 满足 +2 +3 = ,且( ﹣2 )⊥ .若| |=1,则| |=__________.

16.甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少 有一名志愿者. 设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数, 则 ξ 的数学期望为 __________. 17.在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=1,E 为 DC 的三等分点(靠近 C 处) ,F 为线段 EC 上一动点 (包括端点) , 现将△ AFD 沿 AF 折起,使 D 点在平面内的射影恰好落在边 AB 上, 则当 F 运动时,二面角 D﹣AF﹣B 平面角余弦值的变化范围是__________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数 f(x)= cos x+sinx?cosx﹣
2



(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的对称中心为(x,0) ,求 x∈[0,2π)的所有 x 的和. 19.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (I)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式. 20.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< ) . (1)当 a 为何值时,MN 的长最小; (2)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值.

21.已知 M(2,3) 、N(2,﹣3)两点在以 F(2,0)为右焦点的椭圆 C:

=1(a

>b>0)上,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 的两侧) . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求四边形 ANBM 面积的最大值. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x ﹣x) (a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)求 f(x)在[1,2]的最大值.
2

浙江省宁波市镇海中学 2015 届高考数学一模试卷 (理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求.请将你认为正确的选项答在指定的位置上. ) 1. 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪ (?RB) =R, 则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:先求出?RB,从而根据集合 A 及 A∪(?RB)=R 即可求出 a 的取值范围. 解答: 解:∵?RB={x|x≤1,或 x≥2}, ∴若 A∪(?RB)=R; ∴a≥2. 故选 C. 点评:考查描述法表示集合,以及集合的并集、补集运算,也可借助数轴求解.

2.函数 A. (0,3) B.[0,3]

的值域为(

) D.[0,+∞)

C. (﹣∞,3]

考点:函数的值域. 专题:计算题. 分析:先求出 x<﹣1 时函数的值域;再求出 x≥1 时的值域,将两段的值域求并集,即得函 数的值域. 解答: 解:当 x<﹣1 时,y=3 ,此时 当 x≥1 时,y=log2x,此时 y≥0 所以函数的值域为[0,+∞) 故选 D 点评:求分段函数的值域,应该分段求,再将求出的各段的函数值域求并集. 3.f(x) ,g(x)是定义在 R 上的函数,h(x)=f(x)+g(x) ,则“f(x) ,g(x)均为偶 函数”是“h(x)为偶函数”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数奇偶性的判断. 专题:压轴题. 分析:本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值. 解答: 解.若“f(x) ,g(x)均为偶函数”,则有 f(﹣x)=f(x) ,g(﹣x)=g(x) , ∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x) ,∴“h(x)为偶函数”, 2 2 而反之取 f(x)=x +x,g(x)=2﹣x,h(x)=x +2 是偶函数,而 f(x) ,g(x)均不是偶 函数”, 故选 B 点评:本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断,属基本题. 4.如图所示程序框图中,如果输入三个实数 a、b、c,要求输出这三个数中最小的数,那 么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )
x

A.c<x

B.x<c

C.c<b

D.b<c

考点:程序框图. 专题:图表型. 分析:由于该程序的作用输出 a、b、c 中的最小数,因此在程序中要比较数与数的大小,第 一个判断框是判断 x 与 b 的大小,故第二个判断框一定是判断最小值 x 与 c 的大小. 解答: 解:则流程图可知 a、b、c 中的最大数用变量 x 表示并输出, 第一个判断框是判断 x 与 b 的大小, ∴第二个判断框一定是判断最大值 x 与 c 的大小,并将最大数赋给变量 x, 故第二个判断框应填入:x>c, 故选:A. 点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题.

5.若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(

)

A.0

B.﹣

C.﹣2

D.﹣3

考点:简单线性规划. 专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析:由题意作出其平面区域,将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ z,﹣ z 相当于直线 y= x﹣ z 的纵截距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ z,﹣ z 相当于直线 y= x﹣ z 的纵截距, 则当过(0,1)时有最小值, 即 z=0﹣2=﹣2, 故选 C. 点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干,要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要清 点一下箱子的数量, 于是就想出一个办法: 将这堆货物的三视图画了出来, 你能根据三视图, 帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体货箱的个数为( )

A.6

B.7

C .8

D.9

考点:简单空间图形的三视图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由俯视图可得最底层小正方体的个数,即所有小正方体的摞数,从左视图和主视图可 以看出每摞小正方体的个数,相加可得答案. 解答: 解:由俯视图可得所有小正方体共 6 摞, 每摞小正方体的个数如下图所示:

故这些正方体货箱的个数为 8 个, 故选:C

点评:本题考查的知识点是由三视图还原实物图,其中准确把握空间几何体的几何特征,建 立良好的空间想像能力是解答本题的关键.

7.设 A(a,1) ,B(2,b) ,C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) A.4a﹣5b=3 B.5a﹣4b=3 C.4a+5b=14





D.5a+4b=14

考点:平面向量数量积坐标表示的应用. 分析: 构造三个向量, 起点是原点, 那么三个向量的坐标和点的坐标相同, 根据投影的概念, 列出等式,用坐标表示,移项整理得到结果. 解答: 解:∵ ∴ ∴4a+5=8+5b, ∴4a﹣5b=3 故选:A. 点评: 投影也是一个数量, 不是向量; 当 q 为锐角时投影为正值; 当 q 为钝角时投影为负值; 当 q 为直角时投影为 0;当 q=0°时投影为|b|;当 q=180°时投影为﹣|b|. 8. 从正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的 6 个表面中选取 3 个面, 其中有 2 个面不相邻的选法共有 ( ) A.8 种 B.12 种 C.16 种 D.20 种 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:应用题;排列组合. 分析:根据题意,使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面的情况数目,再分析求出其 中有 2 个面相邻,即 8 个角上 3 个相邻平面的情况数目,进而可得答案. 3 解答: 解:使用间接法,首先分析从 6 个面中选取 3 个面,共 C6 种不同的取法, 而其中有 2 个面相邻,即 8 个角上 3 个相邻平面,选法有 8 种, 3 则选法共有 C6 ﹣8=12 种. 故选 B. 点评:本题考查组合的运用,但涉及立体几何的知识,要求学生有较强的空间想象能力. 与 在 方向上的投影相同,

9.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线分别交

双曲线的两条渐近线于点 P,Q.若点 P 是线段 F1Q 的中点,且 QF1⊥QF2,则此双曲线的 渐近线方程为( ) A.y=± x B.y=± x C.y=±2x D.y=±3x 考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:点 P 是 F1Q 的中点,O 是 F1F2 的中点,利用三角形的中位线定理可得 OP∥F2Q.已 知 QF1⊥QF2,可得 F1Q⊥OP.进而得到直线 F1P 的方程,即可得到点 P 的坐标,利用余弦 定理,即可求得双曲线的渐近线方程. 解答: 解:如图所示, ∵点 P 是 F1Q 的中点,O 是 F1F2 的中点, ∴OP∥F2Q. ∵QF1⊥QF2,∴F1Q⊥OP. ∵OP 的方程为 y=﹣ x, ∴ = ,

∴直线 F1P 的方程为 y= (x+c) .

联立

,解得

,即 P(﹣



) .

∴|PF1|=|PQ|=b,|PO|=a,|OF1|=|OF2|=|OQ|=c,|QF2|=2a, ∵tan∠QOF2= ,∴cos∠QOF2= ,

由余弦定理,得 cos∠QOF2=1﹣ ∴e ﹣e﹣2=0, 解得 e=2,或 e=﹣1(舍) ∴b= a, ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 故选 B.
2

= ,

x.

点评:本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互 垂直的直线之间的关系等基础知识与基本技能方法,属于中档题.

10. 设函数 f (x) =xsinx 在 (0, +∞) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列为 a1, a2, …an…, 则对任意正整数 n 必有( ) A. C. B. D.

考点:数列与三角函数的综合. 专题:计算题;压轴题. 分析:对函数求导,使得导函数等于 0,函数 f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数 y=tanx 与 y=﹣x 的交点的横标,观察两函数图象的交点,在每一个周期上都有一个交点, 且从左向右,交点的位置更靠近左渐近线,两个点之间的横标的差. 解答: 解:∵函数 f(x)=xsinx, ∴f′(x)=sinx+xcosx=0 ∴tanx=﹣x, ∴函数 f(x)在(0,+∞)内的全部极值点就是函数 y=tanx 与 y=﹣x 的交点的横标, 观察两函数图象的交点,从纵轴向右,在每一个周期上都有一个交点, 且从左向右,交点的位置依次更靠左渐近线, ∴两个交点之间的横标之差小于一个周期,大于半个周期, 故选 C. 点评: 本题考查数列与三角函数的综合, 解题的关键是看清题目整理后转化为两个基本初等 函数的交点的横标之间的关系. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.若 a 为实数, ,则 a 等于 .

考点:复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 专题:计算题. 分析:复数方程两边同乘 1+ ,化简利用复数相等,求出 a 即可. 解答: 解: 所以 a=﹣ 故答案为: 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,复数相等的充要条件,是基础题. 可得 2+ai= =2﹣ i

12.若

的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 7.

考点:二项式定理. 专题:计算题. 分析:利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项,令 x 的指数为 0,求出 n,r 的 关系,求出最小的正整数 n.

解答: 解: 令 其中 r=0,1,2,…n

展开式的通项为

所以当 r=6 时,最小的正整数 n 等于 7 故答案为:7 点评:本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 13.在△ ABC 中,若

,∠C=150°,BC=1,则 AB 的值为



考点:正弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析: 由 tanA 的值及 A 的范围, 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,再由 sinC 及 BC 的值,利用正弦定理即可求出 AB 的值. 解答: 解:∵tanA= , ∴cos A= ∴sinA=
2

=

,又 A∈(0,30°) ,

,又 sinC=sin150°= ,BC=1, = ,

根据正弦定理得:

则 AB=

=

=



故答案为: 点评:此题考查了正弦定理,及同角三角函数间的基本关系.熟练掌握定理及公式是解本题 的关键,同时在求 sinA 时注意 A 的范围. 14.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 .

考点:等比数列的性质. 专题:计算题;压轴题. 分析: 先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3, 利用等比数列的求和公式用 a1 和 q 分别表示出 S1, S2 和 S3,代入即可求得 q. 解答: 解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, n﹣1 2 ∴an=a1q ,又 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q ) ,





故答案为 点评:本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.

15.设向量

满足 +2 +3 = ,且( ﹣2 )⊥ .若| |=1,则| |= .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:由条件利用两个向量垂直的性质,求得 b = ,从而求得| |的值. 解答: 解:由题意可得 ( ﹣2 )? = ( ﹣2 )?(﹣ ﹣ )= (4
2 2

)=﹣ (

﹣4

) = (4

﹣1)=0,

求得 b = ,∴| |= , 点评:本题主要考查两个向量垂直的性质,求向量的模,属于基础题. 16.甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少 有一名志愿者. 设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数, 则 ξ 的数学期望为 .

考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析:随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,由此可 得 ξ 的分布列,进而得到 ξ 的数学期望. 解答: 解:随机变量 ξ 可能取的值为 1,2,事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 则 P(ξ=2)= = ,

所以 P(ξ=1)=1﹣P(ξ=2)= , 即 ξ 的分布列如下表所示 ξ12 P … ∴ξ 的数学期望 E(ξ)= ×2+ ×1= ,

故答案为: 点评:本题考查等可能事件的概率,考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望,属于 中档题. 17.在长方形 ABCD 中,AB=3,BC=1,E 为 DC 的三等分点(靠近 C 处) ,F 为线段 EC 上一动点 (包括端点) , 现将△ AFD 沿 AF 折起,使 D 点在平面内的射影恰好落在边 AB 上, 则当 F 运动时,二面角 D﹣AF﹣B 平面角余弦值的变化范围是[ , ].

考点:二面角的平面角及求法. 专题:计算题;作图题;空间位置关系与距离. 分析:过点 D 作 DM⊥AF 于点 O,交 AB 于点 M,不妨设二面角 D﹣AF﹣B 的平面解为 θ, 则 cosθ= = = ,从而求其取值范围.

解答: 解:如图,过点 D 作 DM⊥AF 于点 O,交 AB 于点 M,不妨设二面角 D﹣AF﹣B 的平面解为 θ, 则 cosθ= ,

设 DF=x,2≤x≤3,由勾股定理, OD= ,OF= ,OA= ,∴cosθ= = = 在[2,3]上是减函数,



cosθ



故答案为:[ , ].

点评: 本题考查了学生的作图能力及空间想象力, 注意折起前后的等量关系是本题解决的关 键,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数 f(x)= cos x+sinx?cosx﹣
2



(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)若函数 f(x)的对称中心为(x,0) ,求 x∈[0,2π)的所有 x 的和. 考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)化简可得: 数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)令 即可求出 x 的值,因为 x∈[0,2π)故可求所有 x 的和. cos x+sinx?cosx﹣ cos2x sin2x=sin(2x+ ) .
2

从而可求函数 f(x)的最小正周期 T 和函

解答: 解: (I)∵由题得:f(x)= = ∴ ∴ 令 可得:递增区间为 (II)令 可得: , , , , =

, ;

∵x∈[0,2π)∴k 可取 1,2,3,4. ∴所有满足条件的 x 的和为: .

点评:本题主要考察了两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,属于基础题. 19.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55,a2+a7=16. (I)求数列{an}的通项公式; * (Ⅱ)若数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,求数列{bn}的通项公式. 考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (I)通过已知条件,等差数列的性质,求出第三项以及第六项,得到公差,即可求数 列{an}的通项公式; * (Ⅱ)利用数列{bn}满足:b1=a1 且 bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) ,利用数列求和,求解数列{bn} 的通项公式. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (I)由题得: ….

又∵公差 d>0∴

….

∴d=2,an=2n﹣1…. * (II)∵bn=an+bn﹣1(n≥2,n∈N ) , * ∴bn﹣bn﹣1=2n﹣1(n≥2,n∈N )…. * ∵bn=(bn﹣bn﹣1)+(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1(n≥2,n∈N ) 且 b1=a1=1…. ∴ ∴ …. (n≥2,n∈N )
*

点评:本题考查数列的综合应用,数列的递推关系式的应用,数列的基本知识的考查. 20.如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a(0<a< ) . (1)当 a 为何值时,MN 的长最小; (2)当 MN 长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值.

考点:二面角的平面角及求法;与二面角有关的立体几何综合题. 专题:综合题;空间角. 分析: (1)作 MP∥AB 交 BC 于点,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ,易证 MNQP 是平行 四边形,根据 MN=PQ= ,可求出 MN 的长,利用配方法即可求出 MN

的最小值; (2)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG,根据二面角的平面角的定义可知∠AGB 即为二面角 的平面角,在三角形 AGB 中利用余弦定理求出此角的余弦值即可. 解答: 解: (1)作 MP∥AB 交 BC 于点,NQ∥AB 交 BE 于点 Q,连接 PQ, 依题意可得 MP∥NQ,且 MP=NQ,即 MNQP 是平行四边形,∴MN=PQ ∵CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴AC=BF= ,CP=BQ= a

∴MN=PQ= ∵0<a< ∴a= ,

=

,即当 M、N 分别为 AC、BF 的中点时,MN 的长最小,最小为



(2)取 MN 的中点 G,连接 AG、BG, ∵AM=AN,BM=BN,G 为 MN 的中点 ∴AG⊥MN,BG⊥MN,即∠AGB 即为二面角的平面角 α

又 AG=BG=

,所以由余弦定理有 cosα=

=﹣

∴面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的余弦值为﹣ .

点评:本题考查空间距离的计算,考查面面角,考查学生的计算能力,属于中档题.

21.已知 M(2,3) 、N(2,﹣3)两点在以 F(2,0)为右焦点的椭圆 C:

=1(a

>b>0)上,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 的两侧) . (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求四边形 ANBM 面积的最大值. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)通过椭圆的焦点求出焦距,利用椭圆的定义求出 a,然后求解 b,即可求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设出直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,求出|xA﹣xB|,然后求四边形 ANBM 面积的表达式,即可求解面积的最大值. 解答: (本小题满分 15 分) 解: (I)∵右焦点为 F(2,0)∴左焦点为 F′(﹣2,0)…. ∴2a=|MF′|+|MF|=8a=4…. 2 2 2 2 即:a =16,b =a ﹣c =12….

∴椭圆 C 的方程为:

….

(II)设 l:y=x+m,联立

可得:7x +8mx+4m ﹣48=0….

2

2

xA+xB=

xA?xB=



….

∴四边形 ANBM 的面积 即: ….

∵等号成立当且仅当 m=0 时,验证 m=0 交点在直线 MN 两侧成立 …. ∴面积的最大值为 ….

点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,椭圆的方程的求法,韦达定理的应用,二次函数的 最值的应用,考查分析问题解决问题的能力. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣a(x ﹣x) (a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)求 f(x)在[1,2]的最大值. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)通过 a=1,求出函数的导数,得到切线的斜率,然后求 f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线方程; (Ⅱ)求出函数的导数,通过 a 与 0 的大小,讨论,分别判断函数的单调性求解求 f(x)在 [1,2]的最大值. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (I)当 a=1 时 f(x)=lnx﹣x +x
2 2

….

∴f(1)=0,f′(1)=0 即:所求切线方程为:y=0…. (II)∵ ∴当 a=0 时,f′(x)>0, f(x)在[1,2]上递增 ∴f(x)max=f(2)=ln2….

当 a≠0 时 可令 g(x)=﹣2ax +ax+1,x∈[1,2]. ∵g(x)的对称轴 且过点(0,1)

2

∴当 a<0 时,f′(x)>0 在[1,2]恒成立, f(x)在[1,2]上递增 ∴f(x)max=f(2)=ln2﹣2a…. 当 a>0 时, 若 g(1)≤0,即:a≥1 时,f′(x)<0 在[1,2]恒成立, f(x)在[1,2]上递减, ∴f(x)max=f(1)=0…. 若 g(1)>0,g(2)<0,即: 时,f′(x)在 上大于零,



上小于零 f(x)在

上递增,



上递减,

∴ 若 g(1)>0,g(2)≥0,即: f(x)在[1,2]上递增, ∴f(x)max=f(2)=ln2﹣2a….

…. 时,f′(x)>0 在[1,2]恒成立,

综上:

….

点评:本题考查函数的导数的应用,闭区间上的函数的最值的求法,考查分析问题解决问题 的能力.


推荐相关:

2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷(理科).doc

2015浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷 (理科)一、选择题(共 10


浙江省宁波市镇海中学2015级高三5月份月考数学(理)试卷....doc

浙江省宁波市镇海中学2015高三5月份月考数学(理)试卷(含答案) - 镇海中学 2015 年高考模拟试卷 数学(理科)试卷 说明:本试题卷分选择题和非选择题两部分.全...


浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试....doc

浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试题 扫描含答案_数学_高中教育_教育专区。-1- -2- -3- -4- 镇海中学 2015 年高考模拟试卷 数学(理科)...


浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试题.doc

浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。镇海中学 2015 年高考模拟试卷第Ⅰ卷(选择题共 40 分)一、选择题:本大题共...


浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试....doc

浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试卷(扫描版) - 镇海


浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试....doc

浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试题(扫描含答案) - 镇海中学 2015 年高考模拟试卷 数学(理科)参考答案 一.选择题(本大题有 8 小题,每...


浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(文)试....doc

浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学()试卷(扫描版) - 版权


2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学试卷.doc

2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试理科数学试卷_高三数学_数学_高中


...2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析.doc

浙江省宁波市镇海中学2017-2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析 - 浙江省宁波市镇海中学 2017-2018 学年高考数学一模试卷 (理科) 最新试卷十年寒窗苦,踏...


镇海中学2015级高三5月份月考数学(理)试卷.doc

镇海中学2015高三5月份月考数学(理)试卷 - 镇海中学 2015高考模拟试卷 数学(理科)试卷 说明:本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,满分 150 ...


浙江省宁波市镇海中学高三第2次模拟考试数学(理)试题 W....doc

浙江省宁波市镇海中学高三第2次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。镇海中学 2014 年高考模拟考试数学(理科)试卷 第Ⅰ卷(选择题部分 共...


2015届浙江省镇海中学高三5月仿真考试数学理试题.doc

2015届浙江省镇海中学高三5月仿真考试数学理试题_高中教育_教育专区。2015 届浙江省镇海中学高三 5 月仿真考试数学理试题说明:本试题卷分选择题和非选择题两部分....


浙江省宁波市镇海中学2014届高三下学期期初考试数学(理....doc

浙江省宁波市镇海中学2014届高三下学期期初考试数学(理)试题 Word版含答案 - 镇海中学 2013 学年第二学期期初考试 高三年级数学(理)试卷 一、选择题:本大题共...


浙江省镇海中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word....doc

浙江省镇海中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。浙江省镇海中学2015届高三第一次联考数学(理)试题 Word版含...


...2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析.doc

浙江省宁波市镇海中学2017-2018学年高三一模数学(理)试卷 Word版含解析 - 浙江省宁波市镇海中学 2017-2018 学年高考数学一模试卷 (理科) 一、选择题(共 10 小...


2019年浙江省宁波市镇海中学级高三5月份月考数学(理)试....doc

2019年浙江省宁波市镇海中学高三5月份月考数学(理)试卷(含答案) - 高考数学精品复习资料 2019.5 镇海中学 20xx 年高考模拟试卷 数学(理科)试卷 说明:本试题...


2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份).doc

2017年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份) - 2017 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5 月份) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,...


2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)数学期中试....doc

2015-2016学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)数学期中试卷带解析答案 - 2015-2016 学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷 一、选择题:本大题共 8 个小...


2017-2018年浙江省宁波市镇海中学高三上学期数学期末试....doc

2017-2018年浙江省宁波市镇海中学高三上学期数学期末试卷【答案版】 - 百 度 文 库 2017-2018 学年浙江省宁波市镇海中学高三上学期数学期末试卷 一、选择题:本...


...2016年浙江省宁波市镇海中学高一(上)数学期中试卷带....doc

【精编】2015-2016年浙江省宁波市镇海中学高一(上)数学期中试卷带解析答案_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期中数学试卷 一...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com