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高二数学(理科)周练(教师)


高二数学(理科)周练
一、选择题(本大题共有 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本大题 每小题 5 分,满分 50 分.) 1、已知 i 是虚数单位,则 i(1-i) 2 = A.2-2i C.-2 B.2+2i D.2

2、如图所示的散点图,现选用两种回归模型,模型 A:使用线性回归,计算相关指数 模型 B:用指数回归,计算出相关指数 ,则一定有 ( )



A、



B、



C、

=

D、无法确定 6.3,则

3、已知某一随机变量 ξ a 的值为 ξ

的概率分布列如下,且 E(ξ )= 4 0.5 B.6

a
0.1 C.7 B.0.2 D.0.4

9

P
A.5
2

b
D.8

4、已知 ? ~ N (0,a ) ,且 p(?2 ? ? ? 0) =0.4,则 P(? ? 2) ? A.0.1 C.0.3

5、某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下表:

根据表中数据得到

,因为

,则

认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”的把握大约为 A.2.5% B.95% C.97.5% D.不具有相关性

6、某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 5

是 A.

16 625

B.

96 625

C.

192 625

D.

256 625

7、4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡 片上的数字之和为奇数的概率为( A. ) D.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

3 4

8、某学校开设 10 门选修课程,其中 3 门是技能类课程,2 门是理论类课程.学校规定每位 学生应选修 4 门,且技能类课程和理论类课程每类至多选修 1 门,则不同的选修方法种 数是 A.50 B.100 C.11O D.115

f f ( x) e ex+ |, |, ( ?R,e R, 9、已知函数 ( x) ?|?| e ? ? x x (a a ? R, 是自然对数底数),在区间 [0,1] 上单调递增,
x x

aa ee

则 a 的取值范围是 A.[0,1] C.[-1,1] B.[-1,0] D.((??,,?e22]? [[e22,??)) (?? ,?e2]]?[e2 ,,??) ?? ?e ? e ??
2 2

解 析 : 在 区 间 [ 0 , 1上 , 当 a ? ?1 时 , f ( x) ? e x ? ae? x , 而 又 当 a ? 1 时 , ]

f ?( x) ? e x ? ae?x ? 0 在区间 [0,1] 上恒成立,所以 ? 1 ? a ? 1 ;当 a ? ?1 时, f (x) 在区间
[0,1] 上不可能单调递增,故选 C.
10、如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形
4 a1 a2 a3 a4 2S 内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 ? (ihi)= . 1 2 3 4 k i=1

类比以上性质, 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4), 此三棱锥内任一 点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi(i=1,2,3,4), = = = =k, ? (iHi)的值为( 若 则 1 2 3 4 i=1

S1 S2 S3 S4

4

)

A.

4V

k

3V B.

k

2V C.

k

D.

V k

[答案] B [解析] 在平面四边形中,连接 P 点与各个顶点,将其分成四个小三角形,根据三角形 面积公式,得

S= (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)
1 k4 = (kh1+2kh2+3kh3+4kh4)= ? (ihi). 2 2i=1
4 2S 所以 ? (ihi)= . i=1

1 2

k

类似地,连接 Q 点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有

V= (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)
1 = (kH1+2kH2+3kH3+4kH4) 3 = (H1+2H2+3H3+4H4)= ? (iHi), 3 3i=1
4 3V ∴ ? (iHi)= . i=1

1 3

k

k

4

k

[点评] 类比推理是由特殊到特殊的推理, 是两类相类似的对象之间的推理, 类比的关 键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表达出来, 也就是要把相关对象在某些 方面一致性的含糊认识说清楚. 类比推理能够为我们提供发现的思路和方向, 但类比推理的 结论不一定正确. 二、填空题(本大题共有 5 小题.请把结果直接填写在Ⅱ卷上,每题填对得 4 分,否则一律 ............ 是零分.本大题满分 20 分.)

1 ?n ? * 2 ( 11、已知 ? a ? ) (nn ?N ) 的展开式中含 a 的项为第 3 项,则 n 的值为 ? ( ?N a? ?
2

n

.10

12、在区间[-6,6],内任取一个元素 xO ,若抛物线 y=x 在 x=xo 处的切线的倾角为 ? , 则? ? ?

? ? 3? ? 的概率为 , ?4 4 ? ?



11 12

1 1 ? π 3π ? 【解析】当α ∈ ? , ? 时,斜率 k≥1 或 k≤ ? 1 ,又 y? ? 2 x ,所以 x0≥ 或 x0≤ ? ,所 2 2 ?4 4 ?

以 P=

11 . 12

13、已知 a ?

?

?
2 0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?
。-192

1 x

) 6 的展开式中含

x 2 项的系数是

14、如图, A1 , A2 ,?, Am?1 ? m ? 2? 为区间 ?0,1? 上的 m 等分点,直线 x ? 0 ,

x ? 1 , y ? 0 和曲线 y ? ex 所围成的区域为 ?1 ,图中 m 个矩形构成的阴
影区域为 ? 2 ,在 ?1 中任取一点,则该点取自 ? 2 的概率等 于 .

1 m(e ? 1)
1 m

l 0 0x ? 15、定义两个实数间的一种新运算“*” x ? y ? g1 1 , :

?

y

?

x, y ? R .

当 x * x ? y 时, x ? * y .对任意实数 a, b, c ,给出如下结论: ① ?a * b?* c ? a * ?b * c ? ; ② ? a * b? ? c ? ? a ? c ? * ?b ? c ? ; ③ a *b ? b * a ; 其中正确的结论是 ④* a * b ?

a?b . 2

.①②③④(写出所有正确结论的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16、 (本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 A = 30 ? ,

a ? 3,b ? 3 3 .
(Ⅰ)求 B 和 ?ABC 的面积; (Ⅱ)当 B 是钝角时,证明: tan(B ? 118?) 不可能是有理数. 解: (Ⅰ)由正弦定理得

a b 3 3 sin 30? 3 ? ,即 sin B ? ???2 分 ? sin A sin B 3 2 因为 B 是三角形内角且 B ? A ,则 B ? 60? 或 B ? 120 ? . ???4 分 记 ?ABC 的面积为 S .
当 B ? 60? 时, C ? 90? , S ?

1 1 9 3 ab ? ? 3 ? 3 3 ? ???6 分 2 2 2 1 1 1 9 3 当 B ? 120 ? 时, C ? 30? , S ? ab sin 30? ? ? 3 ? 3 3 ? ? ???8 分 2 2 2 4 (Ⅱ)证明:因为 B 是钝角,结合(Ⅰ)的结论得 tan(B ? 118?) = tan 2? ???9 分
假设 tan 2? 是有理数,则 tan 4? ?

2 tan 2? 为有理数; 1 ? tan 2 2?

同理可证 tan8?, tan16?, tan32? 为有理数.???11 分

tan 32? ? tan 2? 3 , 等式左边= 为无理数, 等式右边为有理数, 从而矛盾, 1 ? tan 32? tan 2? 3 则 tan 2? 不可能是有理数,即 tan(B ? 118?) 不可能是有理数.???13 分 tan 30? ?
17、 (本小题满分 13 分)某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这 两条流水线上各抽取 40 件产品作为样本称出它们的重量 (单位: , 克) 重量值落在 (495,510] 的产品为合格品,否则为不合格品.图 1 是甲流水线样本的频率分布直方图,表 1 是乙流水 线样本频数分布表.

(Ⅰ) 若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的件数 X 的数 .. 学期望; (Ⅱ) 从乙流水线样本的不合格品中任意取 2 件, 求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布列 ..... 及期望; 解: (Ⅰ)由图1知,甲样本中合格品数为 (0.06 ? 0.09 ? 0.03) ? 5 ? 40 ? 36 ,

则 Y 的取值为 0,1,2 ;且 P(Y ? k ) ?

k 2 C4 C6 ?k (k ? 0,1, 2) ,于是有: 2 C10

P(Y ? 0) ?

1 8 2 , P(Y ? 1) ? , P(Y ? 2) ? 3 15 15

∴ Y 的分布列为

Y
P

0
1 3

1
8 15

2

2 15
???11 分

E(Y)=0 ?

1 8 2 4 ? 1 ? ? 2 ? ? ??????????13 分 3 15 15 5

18、(本小题满分 13 分)某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方 图(图(2)).已知图(1)中身高在 170 ~175cm 的男生人数有 16 人.

图(1) (Ⅰ)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人?

图(2)

(Ⅱ)根据频率分布直方图,完成下列的 2×2 列联表,并判断能有多大(百分几) 的把握认为“身高与性别有关”? ≥170 CM 男生身高 女生身高 总计 ≤ 170 CM 总计

(Ⅲ)在上述 80 名学生中,从身高在 170~175cm 之间的学生中按男、女性别分层抽样的方 法,抽出 5 人,从这 5 人中选派 3 人当旗手,求 3 人中恰好有一名女生的概率.

参考公式: 参考数据: 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

解:(Ⅰ)直方图中,因为身高在 170 ~175cm 的男生的频率为



设男生数为

,则

,得



由男生的人数为 40,得女生的人数为 80-40=40.

(Ⅱ)男生身高 的人数

的人数 ,所以可得到下列列联表:

,女生身高

≥170cm <170cm 男生身高 30 女生身高 4 总计 34 10 36 46

总计 40 40 80

????????????????6 分

, 所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关;

(Ⅲ)在 170~175cm 之间的男生有 16 人,女生人数有 人. 按分层抽样的方法抽出 5 人,则男生占 4 人,女生占 1 人.

设男生为 从 5 人任选 3 名 有:

,女生为



,共 10 种可能,3 人中恰好有一名女生 有: 共 6 种可能,

故所求概率为



19、 (本小题满分 13 分)如图所示,质点 P 在正方形 ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前 进,现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面上所标数字 分别为 1、1、2、2、3、3.质点 P 从 A 点出发,规则如下:当正方体朝上一面出现的数字 是 1,质点 P 前进一步(如由 A 到 B ) ;当正方体上朝上一面出现的数字是 2,质点 P 前进 两步 (如由 A 到 C ) 当正方体朝上一面出现的数字是 3, ; 质点 P 前进三步 (如由 A 到 D ) 在 . 质点 P 转一圈之前连续投掷,若超过一圈,则投掷终止. (Ⅰ)求点 P 恰好返回到点 A 的概率; (Ⅱ)在点 P 转一圈恰能返回到点 A 的所有结果中,用随机 变量 ? 表示点 P 恰能返回到点 A 的投掷次数,求 ? 的 数学期望. 解: (Ⅰ)事件“点 P 转一圈恰能返回到点 A ”记为 M ;事件“投 A B D C

掷两次点 P 就恰能返回到点 A ”记为 B ;事件“投掷三次点 P 就恰能返回到点 A ”记 为 D ;事件“投掷四次点 P 就恰能返回到点 A ”记为 E 。投掷一次正方体玩具,朝上 一面每个数字的出现都是等可能的,其概率为 P ? 1

2 1 ? ,因为只投掷一次不可能返 6 3
2

回到点 A ;若投掷两次点 P 就恰能返回到点 A ,则朝上一面出现的两个数字应依次为:

1 ?1? (1,3)(3,1)(2,2)三种结果,其概率为 P( B) ? ? ? ? 3 ? ;???3 分 , , 3 ? 3? 若投掷三次点 P 恰能返回到点 A ,则朝上一面出现的三个数字应依次为:

1 ?1? (1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)三种结果,其概率为 P( D) ? ? ? ? 3 ? ;???5 分 , , 9 ? 3?
若投掷四次点 P 恰能返回到点 A ,则朝上一面出现的四个数字应依次为:

3

(1,1,1,1) ,其概率为 P( E) ? ? ? ? 所以点 P 恰好返回到点 A 的概率为

?1? ? 3?

4

1 ;???6 分 81

P( M ) ? P( B) ? P( D) ? P( E ) ?

1 1 1 37 ? ? ? .???7 分 3 9 81 81

(Ⅱ)随机变量 ? 的可能取值为 2,3,4. ???8 分

1 P( BM ) P( B) 27 ; P(? ? 2) ? P( B | M ) ? ? ? 3 ? 37 37 P( M ) P( M ) 81 1 P( DM ) P( D) 9 ; P(? ? 3) ? P( D | M ) ? ? ? 9 ? 37 37 P( M ) P( M ) 81 1 P( EM ) P( E ) 81 1 P(? ? 4) ? P( E | M ) ? ? ? ? ???11 分 P( M ) P( M ) 37 37 81 即 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 2 ?

2

3

4

27 37

9 37

1 37

27 9 1 85 85 ? 3? ? 4? ? . 即 ? 的数学期望是 .???13 分 37 37 37 37 37

20、某校高一年级共有学生 1000 名,其中走读生 750 名,住宿生 250 名,现从该年级采用 分层抽样的方法从该年级抽取 n 名学生进行问卷调查. 根据问卷取得了这 n 名同学每天晚上 有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:[0,30),[30,60),[60,90), [90,120), [120, l50), [150, 180),[180, 210), [210,240), 得到频率分布直方图如下图. 已 知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于 60 分钟的人数为 5 人.

(1)求 n 的值并求有效学习时间在[90,120)内的频率; (2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是 否充分利用时间的标准,对抽取的 n 名学生,请 补完整下列 2×2 列联表并判断是否有 95 %的把握 认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?

利用时间不充分 合计 a= 走读生 15 住宿生 40 n= 合计 (3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学 习时间少于 60 分钟”的学生人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

利用时间充分 50 b=

参考公式:K = 参考列表:

2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024

P(K2≥k0) 0.50 k0 0.455

P

0

1

2

3

?
E (? ) ? 0 ?

91 228

35 76

5 38

1 114

91 35 5 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? 228 76 38 114
1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值;

(Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x2 ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求

a 的取值范围.
解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x 2 . 3

??????2 分

(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

??????3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

??????5 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 ,

在 区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 a

1 a

1 a

1 a

???9 分

??????10 分

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . ?????11 分 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ? 由a ?

1 a

1 ? 2 ln a . 2a

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e
??????13 分 ??????14 分

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1.


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