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2015高考青岛二模理数

高三自主诊断试题

数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知 A. 3

a ? 1 ? bi ,其中 a, b 是实数, i 是虚数单位,则 | a ? bi |? 1? i
B. 2
2

C. 5
2 2

D. 5

2. 已知集合 M ? {x | y ? lg(2 x ? x )} , N ? {x | x ? y ? 1} ,则 M A. [?1, 2) B. (0,1) C. (0,1] D. ?

N?

3. 高三 (3) 班共有学生 56 人,座号分别为 1, 2,3,

,56 ,现根据座号,用系统抽样的方法,

抽取一个容量为 4 的样本.已知 3 号、 17 号、 45 号同学在样本中,那么样本中还有一个同 学的座号是 A. 30 B. 31 C. 32 开始 D. 33

?2 x , x ? 0, 4. 已知函数 f ( x) ? ? ,则使 f ( x) ? 2 的 x 的集合是 输入 n ?| log 2 x |, x ? 0, 1 1 1 A. { , 4} B. {1, 4} C. {1, } D. {1, , 4} 4 4 4 i?2
5. 已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD (n, m) , 其结果为 n 除以 m 的余数,例如 MOD(8,3) ? 2 . 右面是一个算法的程序框图, 当输入的值为 25 时,
理科数学 共 12 页 第- 1 -页 是

MOD(n, i) ? 0?


输出 i

i ? i ?1

结束

则输出的结果为 A. 4 C. 6 B. 5 D. 7

?x ? 2 ? 6. 设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ,则下列不等式恒成立的是 ? y ? x ?1 ?
A. x ? 3 B. y ? 4 C. x ? 2 y ? 8 ? 0 D. 2 x ? y ? 1 ? 0

7. “ a ? ?2 ”是“函数 f ( x) ? x ? a 在 [?1, ??) 上单调递增”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. 将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一 路口的分配方案共有 A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 72 种

9. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( ? x) , 当 x ? (0, ] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则

1 2

3 f ( x) 在区间 (1, ) 内是 2
A.减函数且 f ( x) ? 0 C.增函数且 f ( x) ? 0 10. 已知双曲线 B.减函数且 f ( x) ? 0 D.增函数且 f ( x) ? 0

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 作斜率为 ?1 的直线交双曲线 a 2 b2 a 2 ? b2 的渐近线于点 P ,点 P 在第一象限, O 为坐标原点,若 ?OFP 的面积为 ,则该双曲 8
线的离心率为 A.

5 3

B.

7 3

C.

10 3

D.

15 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知不共线的平面向量 a , b 满足 a ? (?2, 2) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |?

12. 某 班 有 50 名 同 学 , 一 次 数 学 考 试 的 成 绩 X 服 从 正 态 分 布 N (110,10 ) , 已 知
理科数学 共 12 页 第- 2 -页

P(100 ? X ? 110) ? 0.34 ,估计该班学生数学成绩在 120 分以上的有
13. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是

人; ;

4 4 4

y
6
侧(左)视图

正(主)视图

?

? 1 3 O

6

2

?1

2? 3

x

第 13 题图
俯视图

第 14 题图

14. 若函数 f ( x) ? A sin(? x ? 为
2 2

?
6

)( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图所示 , 则图中的阴影部分的面积


2

15. 若不等式 2 y ? x ? c( x ? xy ) 对任意满足 x ? y ? 0 的实数 x, y 恒成立,则实数 c 的最 大值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a ? (k sin

x x x , cos 2 ) , b ? (cos , ?k ) , 实 数 k 为 大 于 零 的 常 数 , 函 数 3 3 3
2 ?1 . 2

f ( x) ? a ? b , x ? R ,且函数 f ( x) 的最大值为
(Ⅰ)求 k 的值;

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,若

?
2

? A ? ? , f ( A) ? 0 , 且

a ? 2 10 ,求 AB ? AC 的最小值.

17. (本小题满分 12 分) 为了分流地铁高峰的压力,某市发改委通过听众会,决定实施低峰优惠票价制度.不超过

22 公里的地铁票价如下表:

理科数学

共 12 页 第- 3 -页

乘坐里程 x (单位: km ) 票价(单位:元)

0? x?6 3

6 ? x ? 12

12 ? x ? 22 5

4

现有甲、乙两位乘客,他们乘坐的里程都不超过 22 公里.已知甲、乙乘车不超过 6 公里 的概率分别为

1 1 1 1 , ,甲、乙乘车超过 6 公里且不超过 12 公里的概率分别为 , . 4 3 2 3

(Ⅰ)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在正四棱台 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, A1 B1 ? a , AB ? 2a , AA1 ? 别是 AD 、 AB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EFB1 D1 ∥平面 BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值的大小. 注:底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心,这样的四棱锥叫做正四棱锥.用 一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

2a , E 、 F 分

D1

C1 B1

A1

D
E A F B

C

19. (本小题满分 12 分) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正整数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a13b2 ? 50 ,

理科数学

共 12 页 第- 4 -页

a8 ? b2 ? a3 ? a4 ? 5 , n ? N* .
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {d n } 满足 d n d n ?1 ? ( ) 其前 n 项和 S n .

1 2

?8 ? log 2 bn?1

( n ? N* ) ,且 d1 ? 16 ,试求 {d n } 的通项公式及

20. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3 ,
2

且点 G 在圆 C : x ? y ? 9 上.
2 2

(Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ) 已知椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 (m ? n ? 0) 的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合,若椭圆 C2 m2 n2
1 1 x ? 对称的两个不同的点,求椭圆 C2 的离心率 e 的取值范围. 4 3

上存在关于直线 l : y ?

21. (本小题满分 14 分)

a 1 . ? ln ( a 为实数) x x 1 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图象在点 ( , f ( )) 处的切线方程; 2 2
已知函数 f ( x) ? 1 ? (Ⅱ)设函数 h(a ) ? 3? a ? 2a (其中 ? 为常数) ,若函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,
2

1 ,求 ? 的取值范围; 8 1 1 1 1 (Ⅲ)已知 n ? N* ,求证: ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? 2 3 4 5
且存在 a 满足 h(a ) ? ? ?

?

1 . n

理科数学

共 12 页 第- 5 -页

高三自主诊断试题

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. D C B A B C A C B C 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. 2 2

12. 8

13. 32

14.

2? 3 2

15. 2 2 ? 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分)

x x x , cos 2 ) ? (cos , ?k ) 3 3 3 2x 1 ? cos x x x 1 2 x 3 ? k (sin 2 x ? cos 2 x ) ? k ??2 分 ? k sin cos ? k cos 2 ? k sin ?k 3 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2k 2 2x 2 2x k 2k 2x ? k ????????5 分 ? ( sin ? cos ) ? ? sin( ? ) ? 2 2 3 2 3 2 2 3 4 2 ( 2 ? 1)k 2 ?1 因为 x ? R ,所以 f ( x) 的最大值为 ,则 k ? 1 ???????6 分 ? 2 2
解: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? a ? b ? (k sin (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ?

2 2x ? 1 2 2A ? 1 sin( ? ) ? ,所以 f ( A) ? sin( ? )? ?0 2 3 4 2 2 3 4 2

化简得 sin( 因为

?

2A ? 2 ? )? 3 4 2

2 12 2A ? ? 3? 则 ? ? ,解得 A ? 3 4 4 4

? A ? ? ,所以

?

?

2 A ? 5? ? ? 3 4 12
???????????????????8 分

2 b 2 ? c 2 ? a 2 b 2 ? c 2 ? 40 2 2 因为 cos A ? ? ,所以 b ? c ? 2bc ? 40 ? ? 2 2bc 2bc
则 b ? c ? 2bc ? 40 ? 2bc ? 2bc ,所以 bc ?
2 2

40 ? 20(2 ? 2) ?????10 分 2? 2

则 AB ? AC ? AB AC cos

3? 2 ?? bc ? 20(1 ? 2) 4 2
理科数学 共 12 页 第- 6 -页

所以 AB ? AC 的最小值为 20(1 ? 2) 17. (本小题满分 12 分)

???????????????????12 分

解: (Ⅰ)由题意可知,甲、乙乘车超过 12 公里且不超过 22 公里的概率分别为 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率 P 1 ?

1 1 , 4 3

1 1 1 1 1 1 1 ?????2 分 ? ? ? ? ? ? 4 3 2 3 4 3 3 1 2 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 P ? 1 ? P ???????4 分 ? 1 ? 1? 3 3
(Ⅱ)由题意可知, ? ? 6, 7,8,9,10 则 P (? ? 6) ?

P(? P(? P(? P(?

1 1 1 ? ? 4 3 12 1 1 1 1 1 ? 7) ? ? ? ? ? 4 3 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 ? 8) ? ? ? ? ? ? ? 4 3 4 3 2 3 3 1 1 1 1 1 ? 9) ? ? ? ? ? 2 3 4 3 4 1 1 1 ????????????????????????10 分 ? 10) ? ? ? 4 3 12

所以 ? 的分布列为

?
P
则 E (? ) ? 6 ?

6

7

8

9

10

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

1 1 1 1 1 ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 8 ??????????????12 分 12 4 3 4 12

18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连接 A1C1 , AC ,分别交 B1 D1 , EF , BD 于 M , N , P ,连接 MN , C1 P 由题意, BD ∥ B1 D1 因为 BD ? 平面 EFB1 D1 , B1 D1 ? 平面 EFB1 D1 ,所以 BD ∥平面 EFB1 D1 ????2 分 又因为 A1 B1 ? a, AB ? 2a ,所以 MC1 ?

1 2 A1C1 ? a 2 2

又因为 E 、 F 分别是 AD 、 AB 的中点, 所以 NP ?

1 2 AC ? a 4 2

D1

z
M B1

C1

A1
理科数学 共 12 页 第- 7 -页

D E

C
P

N

所以 MC1 ? NP 又因为 AC ∥ A1C1 ,所以 MC1 ∥ NP 所以四边形 MC1 PN 为平行四边形 所以 PC1 ∥ MN 因为 PC1 ? 平面 EFB1 D1 , MN ? 平面 EFB1 D1 ,所以 PC1 ∥平面 EFB1 D1 因为 PC1 I BD ? P ,所以平面 EFB1 D1 ∥平面 BDC1 ?????????????5 分

(Ⅱ)连接 A1 N ,因为 A1M ? MC1 ? NP ,又 A1M ∥ NP 所以四边形 A1 NPM 为平行四边形,所以 PM ∥ A1 N 由题意 MP ? 平面 ABCD ,? A1 N ? 平面 ABCD ,? A1 N ? AN 因为 A1 B1 ? a , AB ? 2a , AA1 ?

2a ,所以 A1 N ? AA12 ? AN 2 ?

6 a ? MP 2

因为 ABCD 为正方形,所以 AC ? BD 所以,以 PA, PB, PM 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的坐标系

则 B (0, 2a, 0) , D (0, ? 2a, 0) , C (? 2a, 0, 0) , C1 (?

2 6 a, 0, a) 2 2

所以 BD ? (0, ?2 2a, 0) , BC1 ? (?

uuu r

uuu r

uuu r 2 6 a, ? 2a, a) , BC ? (? 2a, ? 2a, 0) 2 2

u u r uuu r ? u u r ?n 1 ? BC1 ? 0 设 n 1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BDC1 的法向量,则 ? u u r uuu r n ? BD ?0 ? ? 1
? 2 6 ax1 ? 2ay1 ? az1 ? 0 ?? ,? y1 ? 0 , ?? 2 2 ? ?2 2ay1 ? 0 ?
令 z1 ? 1 ,则 x1 ? 3 ,所以 n 1 ? ( 3, 0,1)

?????????????????????7 分

u u r

?????????????????9 分

uu r uuu r ? uu r ?n 2 ? BC1 ? 0 设 n 2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 BCC1 的法向量,则 ? uu r uuu r n ? BC ?0 ? ? 2

理科数学

共 12 页 第- 8 -页

? 2 6 ax2 ? 2ay2 ? az2 ? 0 ?? ?? 2 2 ? ? 2ax2 ? 2ay2 ? 0 ?
令 y2 ? 1 ,则 x2 ? ?1 , z2 ?

uu r 3 3 所以 n 2 ? (?1,1, ) ????????????11 分 3 3

u u r uu r ? 3 ?0? 3 u r u u r n1 ? n 2 3 ?? 7 所以 cos ? n1 , n2 ?? u u r uu r ? 7 21 n1 n 2 2? 3
所以二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值的大小为 19. (本小题满分 12 分)

7 ???????????????12 分 7

解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 且?

?(1 ? 12d )q ? 50 ?(1 ? 7 d ) ? q ? (1 ? 2d ) ? (1 ? 3d ) ? 5

11 ? d? ? d ? 2 ? (1 ? 12 d ) q ? 50 ? ? 12 即? 解得: ? ,或 ? , 25 ?q ? 2 ? 2d ? q ? 6 ?q ? ? 6 ? ?d ? 2 由于 {bn } 是各项都为正整数的等比数列,所以 ? ??????????????2 分 ?q ? 2 从而 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 , bn ? q n ?1 ? 2n ?1 . ??????????????4 分
(Ⅱ)

bn ? 2n ?1 ? log 2 bn ?1 ? n

1 1 ? d n d n ?1 ? ( ) ?8? n , d n ?1d n ? 2 ? ( ) ?7 ? n 2 2
两式相除:

dn?2 1 ? , dn 2

由 d1 ? 16 , d1d 2 ? ( ) ?8?1 ? 128 可得: d 2 ? 8

1 2

? d1 , d3 , d5 ,


是以 d1 ? 16 为首项, 以

1 为公比的等比数列; d2 , d4 , d6 , 2

是以 d 2 ? 8 为首项,

1 为公比的等比数列 2 ?当 n 为偶数时,
?1 1 n 2 d n ? 8 ? ( ) 2 ? 16( ) n 2 2

???????????????????????6 分

???????????????????????7 分

理科数学

共 12 页 第- 9 -页

S n ? (d1 ? d3 ?
n

? d n ?1 ) ? (d 2 ? d 4 ?
n

? dn )

1 1 16 ? [1 ? ( ) 2 ] 8 ? [1 ? ( ) 2 ] 1 n 1 n 2 2 2 ? ? ? 32[1 ? ( ) 2 ] ? 16[1 ? ( ) 2 ] ? 48 ? 48( ) n 1 1 2 2 2 1? 1? 2 2

????9 分

? 当 n 为奇数时,

1 n ?1?1 2 d n ? 16 ? ( ) 2 ? 16 2( ) n ??????????????????????10 分 2 2
S n ? (d1 ? d3 ? ? d n ) ? (d 2 ? d 4 ? ? d n ?1 )

1 16 ? [1 ? ( ) 2 ? 1 1? 2

n ?1 2

]

1 8 ? [1 ? ( ) 2 ? 1 1? 2

n ?1 2

]

1 n ?1 1 n ?1 2 ? 32[1 ? ( ) 2 ] ? 16[1 ? ( ) 2 ] ? 48 ? 32 2( ) n 2 2 2

? ? 2 n 2 n ? 16( ) , n 为偶数 ? 48 ? 48( ) , n 为偶数 ? ? 2 2 , Sn ? ? ???????12 分 ? dn ? ? ?16 2( 2 ) n , ?48 ? 32 2( 2 ) n , n 为奇数 n 为奇数 ? ? 2 2 ? ?
20. (本小题满分 13 分)

p ? ? x0 ? 2 ? 3 ? 2 2 解: (Ⅰ)设点 G 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,由题意可知 ? x0 ? y0 ? 9 ?????????2 分 ? y 2 ? 2 px 0 ? 0 ?
解得: x0 ? 1, y0 ? ?2 2, p ? 4, 所以抛物线 C1 的方程为: y ? 8 x ?????????????????????4 分
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线 C1 的焦点 F (2, 0) 椭圆 C2 的一个焦点与抛物线 C1 的焦点重合

? 椭圆 C2 半焦距 c ? 2, m 2 ? n 2 ? c 2 ? 4 ??①????????????????5 分
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 是 椭 圆 C2 上 关 于 直 线 l : y ?

1 1 x? 对 称 的 两 点 , 4 3

MN : y ? ?4 x ? ?

理科数学

共 12 页 第- 10 -页

? x2 y 2 ? ?1 ? 由 ? m2 n2 ? (16m 2 ? n 2 ) x 2 ? 8m 2 ? x ? m 2 ? 2 ? m 2 n 2 ? 0 ??(*) ? y ? ?4 x ? ? ?
则 ? ? 64m ? ? 4(16m ? n )(m ? ? m n ) ? 0 ,
4 2 2 2 2 2 2 2

得: 16m 2 ? n 2 ? ? 2 ? 0 ??②????????????????????????7 分

8m 2 ? 对于(*) ,由韦达定理得: x1 ? x2 ? 16m 2 ? n 2 ? y1 ? y2 ? ?4( x1 ? x2 ) ? 2? ? 2? n 2 16m 2 ? n 2

4? m 2 ? n2 MN 中点 Q 的坐标为 ( , ) 16m 2 ? n 2 16m 2 ? n 2
将其代入直线 l : y ?

1 1 x ? 得: 4 3

1 4? m 2 1 ? ? ? ??③????????????????????9 分 2 2 2 2 16m ? n 4 16m ? n 3
由①②③消去 ? ,可得: 2 ? m ? 椭圆 C2 的离心率 e ?

? n2

2 629 , 17

c 2 ? , m m

?

629 ? e ?1 37

???????????????????????????13 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ?

1 1 ? ln , x x

f ?( x) ? 1 2

1 1 ? , x2 x

1 2 1 1 1 ? 函数 f ( x) 的图象在点 ( , f ( )) 的切线方程为: y ? (ln 2 ? 1) ? 2( x ? ) , 2 2 2
则 f ?( ) ? 4 ? 2 ? 2 , f ( ) ? 1 ? 2 ? ln 2 ? ln 2 ? 1 即 2 x ? y ? ln 2 ? 2 ? 0 (Ⅱ) f ?( x) ? ?????????????????????????4 分

a 1 a?x ? ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 ? x ? a x2 x x

由于函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,所以 a ? 0 或 a ? 2 ?????????5 分
理科数学 共 12 页 第- 11 -页

1 1 ,所以 h(a ) max ? ? ? ??????????????6 分 8 8 3 2 对于函数 h(a ) ? 3? a ? 2a ,对称轴 a ? ? 4 3? 3? 8 3 9 ①当 ? 0或 ? 2 ,即 ? ? 0 或 ? ? 时, h(a ) max ? h( ? ) ? ? 2 , 4 4 3 4 8 1 9 1 8 1 8 由 h(a ) max ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ,结合 ? ? 0 或 ? ? 可得: ? ? ? 或 ? ? 8 8 8 3 9 3 3? 4 ②当 0 ? ? 1 ,即 0 ? ? ? 时, h(a ) max ? h(0) ? 0 , 4 3 1 1 4 由 h(a ) max ? ? ? ? 0 ? ? ? ,结合 0 ? ? ? 可知: ? 不存在; 8 8 3 3? 4 8 ③当 1 ? ? 2 ,即 ? ? ? 时, h(a ) max ? h(2) ? 6? ? 8 ; 4 3 3 1 1 4 8 13 8 由 h(a ) max ? ? ? ? 6? ? 8 ? ? ? ,结合 ? ? ? 可知: ??? 8 8 3 3 8 3 1 13 综上可知: ? ? ? 或? ? ????????????????????????9 分 9 8 1? x (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ?( x) ? 2 ,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当? (1, ??) x 1 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,∴ f ( x) ? 1 ? ? ln 在 x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0 x x 1 1 1 1? x 即 f ( x) ? 1 ? ? ln ? f (1) ? 0 ,∴ ln ? ,??????????????11 分 x x x x n n ?1 1 1 令x? ,则 ln ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? , n ?1 n n n
由于存在 a 满足 h(a ) ? ? ? ∴ ln(n ? 1) ? ln(n ? 1) ? ln1 ? [ln( n ? 1) ? ln n] ? [ln n ? ln( n ? 1)] ?

? (ln 2 ? ln1)

1 1 1 1 ? ? ? ? . n n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 故 ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? 2 3 4 5 ?

?

1 . ??????????????????14 分 n

理科数学

共 12 页 第- 12 -页


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