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三角恒等变换


第六节

简单的三角恒等变换

[备考方向要明了]

考 什 么 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切 公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进 行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式,但对这三组公式不要求记 忆).

怎 么 考 1.以选择题或填空题的形式单独考查,如 2012 年江苏 T11. 2.在解答题中,与三角函数的图象与性质、 解三角形等综合,突出考查三角恒等变换的 工具性作用,如 2012 年安徽 T16 等.

[归纳?知识整合] 1.半角公式 (1)用 cos α 表示 sin sin
2 2

α 2α 2α ,cos ,tan . 2 2 2

α 1-cos α 1+cos α 1-cos α 2α 2α = ;cos = ;tan = . 2 2 2 2 2 1+cos α

α α α (2)用 cos α 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin =± 2 α cos =± 2 α tan =± 2 1-cos α ; 2 1+cos α ; 2 1-cos α . 1+cos α

α (3)用 sin α ,cos α 表示 tan . 2 α sin α 1-cos α tan = = . 2 1+cos α sin α [探究] 如何用 tan α 表示 sin 2α 与 cos 2α ?

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提示:sin 2α =2sin α cos α =
2

2sin α cos α 2tan α = 2 ; 2 2 sin α +cos α tan α +1
2 2

cos 2α =cos α -sin α =

2

2

cos α -sin α 1-tan α = . 2 2 2 cos α +sin α 1+tan α

2.形如 asin x+bcos x 的化简

b asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ ),其中 tan φ = . a
[自测?牛刀小试] 1.(教材习题改编)化简 2+cos 2-sin 1的结果是( A.-cos 1 C. 3cos 1 解析:选 C
2 2

)

B.cos 1 D.- 3cos 1 2+cos 2-sin 1= 1+cos 2+1-sin 1= 2cos 1+cos 1= 3cos 1.
2 2 2

1 2 sin 35°- 2 2. 的值为( sin 20° A. 1 2

) 1 B.- 2 D.1

C.-1

1 2 sin 35°- 2 2sin235°-1 -cos 70° 解析:选 B = = sin 20° 2sin 20° 2sin 20° = -sin 20° 1 =- . 2sin 20° 2
2

2sin -1 2 ?π ? 3.若 f(x)=2tan x- ,则 f? ?的值为( x x ?12? sin cos 2 2 4 A.- 3 3 C.4 3
2

x

)

B.8 D.-4 3

1-2sin 2 2cos x 2 4 ?π ? 解析: 选 B ∵f(x)=2tan x+ =2tan x+ = = , ∴f? ? 1 sin x sin xcos x sin2x ?12? sin x 2 = 4 π sin 6 =8.

x

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4.(教材习题改编)函数 y= 3cos 4x+sin 4x 的最小正周期为________. 解析:y= 3cos 4x+sin 4x=2? 1 ? 3 ? cos 4x+ sin 4x? 2 ?2 ?

π π? ? π ? ? =2?cos cos 4x+sin sin 4x?=2cos?4x- ?, 6 6 6? ? ? ? 2π π 故 T= = . 4 2 π 答案: 2 α 1+tan 2 4 5.若 cos α =- ,α 是第三象限角,则 =________. 5 α 1-tan 2 4 3 解析:∵cos α =- ,且 α 是第三象限角,∴sin α =- , 5 5 α α +sin 2 2 α α α α cos 1+tan cos +sin 2 2 2 2 ∴ = = α α α α α 1-tan cos -sin cos -sin 2 2 2 2 2 α cos 2 cos

?cosα +sinα ?2 ? 2 2? ? ? = α α α ?cos -sin ??cos +sinα ? ? ? 2 2? 2 2? ? ?? ?
3 1- 5 1+sin α 1+sin α 1 = = = =- . α α cos α 4 2 2 2 cos -sin - 2 2 5 1 答案:- 2

三角函数式的化简

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sin 2α -2cos α [例 1] (1)化简: =________; π? ? sin?α - ? 4? ? π (2)已知 0<x< ,化简: 2
2x? ? ? ? π ?? lg?cos x?tan x+1-2sin ?+lg? 2cos?x- ??-lg(1+sin 2x). 2? 4 ?? ? ? ?

2

2sin α cos α -2cos α [自主解答] (1)原式= =2 2?cos α . 2 ?sin α -cos α ? 2 (2)原式=lg(sin x+cos x)+lg(sin x+cos x)-lg(1+sin 2x) ?sin x+cos x? 1+sin 2x =lg =lg =lg 1=0. 1+sin 2x 1+sin 2x [答案] (1)2 2cos α ————— ——————————————
2

2

1.三角函数式的化简原则 一是统一角,二是统一函数名,能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分. 2.三角函数式化简的要求 ?1?能求出值的应求出值; ?2?尽量使三角函数种数最少; ?3?尽量使项数最少; ?4?尽量使分母不含三角函数; ?5?尽量使被开方数不含三角函数. 3.三角函数化简的方法 化简的方法主要有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.

1.化简:?

? 1 -tanα ? α α 2 ??? 1+tan α ?tan ? ? ?. 2? ?tan ? ? 2 ? ?

?cosα2 sinα2 ? ? sin α sinα2 ? - ? 解:原式=? ? 1+ α α ? ? cos α α ? sin cos cos 2? ? 2? ? 2
α sin ? ? 2 sin α cos α ? = ??1+ cos α α ? α α cos sin cos 2? 2 2 ?
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α sin 2 2cos α 2cos α sin α = + ? ? sin α sin α cos α α cos 2 α 2α 2sin 4sin 2 2cos α 2 2cos α = + = + sin α α sin α sin α cos 2 2cos α +4sin = sin α
2

α 2

2α ? ? 2α 2?1-2sin ?+4sin 2? 2 ? 2 = = . sin α sin α

三角函数求值

3π 1 10 [例 2] 已知 <α <π ,tan α + =- . 4 tan α 3 (1)求 tan α 的值; α α 2α 2α 5sin +8sin cos +11cos -8 2 2 2 2 (2)求 的值. π? ? α - 2sin? ? 4? ? 1 10 [自主解答] (1)∵tan α + =- , tan α 3 ∴3tan α +10tan α +3=0, 1 解得 tan α =- 或 tan α =-3. 3 ∵ 3π <α <π ,∴-1<tan α <0. 4
2

1 ∴tan α =- . 3 1 (2)∵tan α =- , 3 5sin ∴
2

α α α 2α +8sin cos +11cos -8 2 2 2 2 π? ? 2sin?α - ? 4? ?
2

5?sin =

? ?

α 1+cos α 2α +cos ? +4sin α +6? -8 2 2? 2 ? sin α -cos α

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= =

5+4sin α +3+3cos α -8 4sin α +3cos α = sin α -cos α sin α -cos α 4tan α +3 5 =- . tan α -1 4

1-cos 2α -sin 2α 保持本例条件不变,求 的值. 1+cos 2α -sin 2α 1-cos 2α -sin 2α 2sin α -2sin α cos α 解: = 2 1+cos 2α -sin 2α 2cos α -2sin α cos α = 2sin α ?sin α -cos α ? 1 =-tan α = . 2cos α ?cos α -sin α ? 3
2

—————

——————————————

已知三角函数式的值,求其他三角函数式值的一般思路 ?1?先化简所求式子; ?2?观察已知条件与所求式子之间的联系?从三角函数名及角入手?; ?3?将已知条件代入所求式子,化简求值.

3 12 ?π ? ? π ? 2.已知 sin(2α -β )= ,sin β =- ,且 α ∈? ,π ?,β ∈?- ,0?,求 sin 5 13 ?2 ? ? 2 ? α 的值. π 解:∵ <α <π ,∴π <2α <2π . 2 π π 5π ∵- <β <0,∴0<-β < ,π <2α -β < , 2 2 2 3 而 sin(2α -β )= >0, 5 5π 4 ∴2π <2α -β < ,cos(2α -β )= . 2 5 π 12 5 又- <β <0 且 sin β =- ,∴cos β = , 2 13 13 ∴cos 2α =cos[(2α -β )+β ] =cos(2α -β )cos β -sin(2α -β )sin β 4 5 3 ? 12? 56 = ? - ??- ?= . 5 13 5 ? 13? 65
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9 2 2 又 cos 2α =1-2sin α ,∴sin α = . 130 3 130 ?π ? 又 α ∈? ,π ?,∴sin α = . 130 ?2 ?

asin x+bcos x=

a2+b2sin(x+φ )的应用

?π ? 2 [例 3] (2013?西域模拟)已知函数 f(x)= 3sin x+sin xcos x,x∈? ,π ?. ?2 ?
(1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. [自主解答] (1)令 f(x)=0,得 sin x?( 3sin x+cos x)=0, 所以 sin x=0 或 tan x=- 3 . 3

?π ? 由 sin x=0,x∈? ,π ?,得 x=π ; ?2 ?
由 tan x=- 3 5π ?π ? ,x∈? ,π ?,得 x= . 3 6 ?2 ?

5π 综上,函数 f(x)的零点为 或 π . 6 (2)f(x)= 3 1 (1-cos 2x)+ sin 2x 2 2

π? 3 ? =sin?2x- ?+ . 3? 2 ? π ?2π 5π ? ?π ? 因为 x∈? ,π ?,所以 2x- ∈? , ?. 3 ? 3 ? 3 ?2 ? π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时, 3 3 2

f(x)的最大值为 3;
π 3π 11π 当 2x- = ,即 x= 时, 3 2 12

f(x)的最小值为-1+
—————

3 . 2 ——————————————

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公式 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ )的应用及注意事项 (1)利用 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ )把形如 y=asin x+bcos x+k 的函数化为 一个角的某种函数的一次式,可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等. (2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的. 当 φ 为特殊角即 熟练掌握.对 φ 是非特殊角时,只要求会求最值即可.
2 2

2

2

a ? 3? 的值为 1 或 3? ?时要 ?3? b

3.(2013?银川模拟)已知函数 f(x)=sin 2x-2 3sin x+ 3+1. (1)求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间;

2

? π π? (2)当 x∈?- , ?时,求 f(x)的值域. ? 6 6?
π? ? 2 解:f(x)=sin 2x+ 3(1-2sin x)+1=sin 2x+ 3cos 2x+1=2sin?2x+ ?+1. 3? ? 2π (1)函数 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π π 由正弦函数的性质知,当 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + , 2 3 2 π? 5π π ? 即 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z)时,函数 y=sin?2x+ ?为单调递增函数,故函数 f(x) 3? 12 12 ? 5π π? ? 的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 12 12? ? π ? 2π ? ? π π? (2)∵x∈?- , ?,∴2x+ ∈?0, ?, 3 ? 3 ? ? 6 6? π? ? ∴sin?2x+ ?∈[0,1], 3? ? π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?+1∈[1,3]. 3? ? ∴f(x)的值域为[1,3].

? 1 个公式——辅助角公式 可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.

b y=asin α +bcos α = a2+b2sin(α +φ )其中 tan φ = 有 a2+b2≥|y|. a
? 2 个方向——三角恒等变换的基本方向
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三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的.变 换的基本方向有两个:一是变换函数名称,可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角 的余弦公式等;二是变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角 进行代数形式的变换等. ? 3 个步骤——三角恒等变换的步骤 三角恒等变换可以归纳为以下三步:

创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题

1.三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一,主要与三角函数的求值、化简以及三角 函数的性质相结合命题,有时也与向量等其他知识交汇命题. 2.解决此类问题时,一要重视三角变化中的诸多公式,熟悉它们之间的内在联系;二要 熟悉三角变换中各方面的技巧,特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧. [典例] (2012?安徽高考)设函数 f(x)= (1)求 f(x)的最小正周期; π? 2 ? 2 cos?2x+ ?+sin x. 4? 2 ?

? π? ? π ? g(x)=1-f(x). (2)设函数 g(x)对任意 x∈R, 有 g?x+ ?=g(x), 且当 x∈?0, ?时, 求 2? 2? 2 ? ?
g(x)在区间[-π ,0]上的解析式.
[解] (1)f(x)= = π? 2 ? 2 cos?2x+ ?+sin x 4? 2 ?

π π ? 1-cos 2x 2? ?cos 2x cos 4 -sin 2x sin 4 ?+ 2? 2 ?

1 1 = - sin 2x, 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π .

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1 1 ? π? (2)当 x∈?0, ?时,g(x)= -f(x)= sin 2x,故 2? 2 2 ? π ? π? ? π ? ①当 x∈?- ,0?时,x+ ∈?0, ?. 2? 2 ? ? 2 ?

? π? 由于对任意 x∈R,g?x+ ?=g(x), 2? ? ? π ? 1 ? ? π ?? 从而 g(x)=g?x+ ?= sin?2?x+ ?? 2? 2 ? ? 2 ?? ?
1 1 = sin(π +2x)=- sin 2x. 2 2 π? ? ? π? ②当 x∈?-π ,- ?时,x+π ∈?0, ?, 2? 2? ? ? 1 1 从而 g(x)=g(x+π )= sin[2(x+π )]= sin 2x. 2 2 综合①②得 g(x)在[-π ,0]上的解析式为 π? 1 ? sin 2x,x∈?-π ,- ?, ? 2? ?2 ? g(x)=? 1 ?-π ,0?. ? ? ?-2sin 2x,x∈? ? 2 ? [名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)命题方式:本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统,而是将抽象函数 与函数的周期性等相结合,考查函数解析式的求法. (2)考查内容的创新:本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数解 析式中的应用,考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力. 2.解决本题的关键有以下几点 π (1)准确识别函数 g(x)的周期 T= ; 2 π? ? π ? ? (2)根据周期恰当地将区间[-π ,0]分成?-π ,- ?和?- ,0?两部分,并正确求出 2? ? 2 ? ? 相应的解析式; (3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力. [变式训练] 1.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A), 若 n?m=1+cos(A+B),则 C 的值为________.

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解析:m?n= 3sin Acos B+ 3cos Asin B= 3sin(A+B)= 3sin(π -C)= 3sin C, 又 cos(A+B)=cos(π -C)=-cos C,故 3sin C=1-cos C,即 3sin C+cos C=1,即 π π 7π π 5π 2π ? π? ? π? 1 2sin?C+ ?=1,即 sin?C+ ?= ,由于 <C+ < ,故只有 C+ = ,即 C= . 6? 6? 2 6 6 6 6 6 3 ? ? 2 答案: π 3 2.(2013?江南十校联考)已知函数 f(x)=sin x+cos x. cos x-sin xcos x (1)若 f(x)=2f(-x),求 的值; 2 1+sin x (2)求函数 F(x)=f(x)?f(-x)+f (x)的最大值和单调递增区间. 解:(1)∵f(x)=sin x+cos x,∴f(-x)=cos x-sin x. 又∵f(x)=2f(-x), ∴sin x+cos x=2(cos x-sin x),且 cos x≠0, 1 ∴tan x= , 3 ∴ cos x-sin xcos x cos x-sin xcos x 1-tan x 6 = = = . 2 2 2 2 1+sin x 2sin x+cos x 2tan x+1 11
2 2 2 2 2 2

(2)由题知 F(x)=cos x-sin x+1+2sin xcos x, ∴F(x)=cos 2x+sin 2x+1, π? ? 即 F(x)= 2sin?2x+ ?+1. 4? ? π? ? 当 sin?2x+ ?=1 时,[F(x)]max= 2+1. 4? ? π π π 3π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z)得- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z),故所求函 2 4 2 8 8 π ? 3π ? 数 F(x)的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?(k∈Z). 8 ? 8 ?

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

?π ? 1.(2013?济南模拟)函数 y=sin xsin? +x?的最小正周期是( ?2 ?
A. π 2 B.π

)

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C.2π

D.4π

1 2π 解析:选 B ∵y=sin xcos x= sin 2x,∴T= =π . 2 2 1+cos 2α 1 2.(2013?沈阳四校联考)若 = ,则 tan 2α 等于( sin 2α 2 A. C. 5 4 4 3
2

)

5 B.- 4 4 D.- 3

1+cos 2α 2cos α cos α 1 解析:选 D ∵ = = = , sin 2α 2sin α cos α sin α 2 ∴tan α =2,∴tan 2α = 2tan α 4 4 = =- . 2 1-tan α 1-4 3

1 ?3 ? 3.已知 α ∈(-π ,0),tan(3π +α )=aloga (a>0,且 a≠1),则 cos? π +α ?的值 3 ?2 ? 为( A. C. ) 10 10 3 10 10 B.- 10 10

3 10 D.- 10

1 解析:选 B ∵由题意可知 tan(3π +α )= , 3 1 ∴tan α = . 3

?3 ? ?π ? 又∵cos? π +α ?=cos? -α ?=sin α , ?2 ? ?2 ?
∴cos?

?3π +α ?=- 10. ? 10 ? 2 ?

∵α ∈(-π ,0), ∴sin α =- 10 . 10 ) 1-a 2 1+a 2

?π ? 4.已知 x∈? ,π ?,cos 2x=a,则 cos x=( ?2 ?
A. C. 1-a 2 1+a 2 B.- D.-

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1+cos 2x 1+a 2 解析:选 D 依题意得 cos x= = ; 2 2 又 x∈?

?π ,π ?,因此 cos x=- ? ?2 ?

1+a . 2 )

cos 2α 2 5.若 =- ,则 sin α +cos α 的值为( 7π 2 sinα + 4 A.- C. 1 2
2

2 2

1 B.- 2 D. 7 2
2

解析:选 C 由已知三角等式得

cos α -sin α

2 ?sin α -cos α ? 2

=-

2 ,整理得 sin α +cos α 2

1 = . 2
3 3 sin α cos α ? π? 6.设 α ∈?0, ?,则 + 的最小值为( 2? cos α sin α ?

)

A. C.

27 64 5 3 6
3 3 4

B.

3 2 5

D.1 sin α cos α sin α +cos α ?sin α +cos α ? -2sin α cos α + = = = cos α sin α sin α cos α sin α cos α
4 2 2 2 2 2

解析:选 D

1 -2sin α cos α . sin α cos α 1 令 sin α cos α =t,则 t= sin 2α . 2

? π? ? 1? ∵α ∈?0, ?,∴t∈?0, ?. 2 ? ? ? 2?
1 ? 1? 令 g(t)= -2t,g(t)在?0, ?上是减函数, t ? 2? 1 ∴当 t= 时,g(t)min=2-1=1. 2 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1 1 7.若 α 、β 是锐角,且 sin α -sin β =- ,cos α -cos β = ,则 tan(α -β ) 2 2 =________.

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1 1 解析:∵sin α -sin β =- ,cos α -cos β = , 2 2 1 两式平方相加得:2-2cos α cos β -2sin α sin β = , 2 1 3 即 2-2cos(α -β )= ,∴cos(α -β )= . 2 4 1 π ∵α 、β 是锐角,且 sin α -sin β =- <0,∴0<α <β < . 2 2 π ∴- <α -β <0. 2 ∴ sin(α - β ) =- 1-cos ?α -β ?=- 7 . 3 答案:- 7 3
2

7 sin?α -β ? . ∴ tan(α - β ) = =- 4 cos?α -β ?

4 α α α 8.设 α 是第二象限角,tan α =- ,且 sin <cos ,则 cos =________. 3 2 2 2 α α α α 解析:∵α 是第二象限角,∴ 可能在第一或第三象限.又 sin <cos ,∴ 为第三 2 2 2 2 α 象限角,∴cos <0. 2 4 ∵tan α =- , 3 3 α ∴cos α =- ,∴cos =- 5 2 答案:- 5 5 1+cos α 5 =- . 2 5

π? 4 π? ? ? 9. (2012?江苏高考)设 α 为锐角, 若 cos?α + ?= , 则 sin?2α + ?的值为________. 6? 5 12? ? ? π? 4 π? 3 π ? 24 ? ? ? 解析:因为 α 为锐角,cos?α + ?= ,所以 sin?α + ?= ,sin 2?α + ?= ,cos 6? 5 6? 5 6 ? 25 ? ? ? π? π? π? 7 π? π? π ? ? ? ? ? 2 ?α + ? = , 所 以 sin ?2α + ? = sin ?2?α + ?- ? = sin 2 ?α + ? cos - cos 6? 4? 6 ? 25 12? 6? 4 ? ? ? ? ? π? π 17 2 ? 2?α + ?sin = . 6? 4 50 ?

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17 2 答案: 50 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 4cos x-2cos 2x-1 10.(1)化简 ; ?π ? 2?π ? tan? +x?sin ? -x? ?4 ? ?4 ? (2)化简[2sin 50°+sin 10°(1+ 3tan 10°)]? 2sin 80°. ?1+cos 2x? -2cos 2x-1 cos 2x 2cos 2x 解 : (1) 原式= = = = π π π π ? ? 2? ? ? ? ? ? ?π ? tan? +x?cos ? +x? sin? +x?cos? +x? sin? +2x? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 2cos 2x =2cos 2x. cos 2x cos 10°+ 3sin 10°? ? (2)原式=?2sin 50°+sin 10°? ?? 2?sin 80° cos 10° ? ? =?
2 2 2 2 2 4

?

1 3 ? cos 10°+ sin 10°? 2 2 ?2sin 50°+2sin 10°? ?? 2cos 10° cos 10° ? ?

=2 2[sin 50°?cos 10°+sin 10°?cos(60°-10°)] =2 2sin(50°+10°)=2 2? 3 = 6. 2

11.已知函数 f(x)=sin x+cos x,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期;

? π? 2 (2)当 x∈?0, ?时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f (x)的值域. 2? ? ? π? 解:(1)由题意可知,f′(x)=cos x-sin x=- 2?sin?x- ?, 4? ?
所以 y=f′(x)的最小正周期为 T=2π . (2)F(x)=cos x-sin x+1+2sin xcos x =1+sin 2x+cos 2x π? ? =1+ 2sin?2x+ ?. 4? ? π ?π 5π ? ? π? ∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?, 2? 4 ? 4 ?4 ? π? ? 2 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?. 4? ? 2 ? ? ∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2 ].
2 2

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? π ? 12.已知函数 f(x)=3cos(ω x+φ )?- <φ <0?的最小正周期为 π ,且其图象经过点 ? 2 ? ?5π ,0?. ? 12 ? ? ?
(1)求函数 f(x)的解析式; 3 2 ?x π ? ? π? (2)若函数 g(x)=f? + ?,α ,β ∈?0, ?,且 g(α )=1,g(β )= ,求 g(α -β ) 2? 4 ?2 6 ? ? 的值. 2π 解:(1)依题意函数的最小正周期 T= =π ,解得 ω =2,所以 f(x)=3cos(2x+φ ). ω 因为函数 f(x)的图象经过点?

?5π ,0?, ? ? 12 ?

5π π π ? 5π ? 所以 3cos?2? +φ ?=0,得到 2? +φ =kπ + ,k∈Z,即 φ =kπ - ,k∈Z. 12 12 2 3 ? ? π π 由- <φ <0 得 φ =- . 2 3 π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=3cos?2x- ?. 3? ?

? ?x π ? π ? (2)依题意有 g(x)=3cos?2?? + ?- ?=3cos x, ? ?2 6 ? 3 ?
1 由 g(α )=3cos α =1,得 cos α = , 3 3 2 2 同理 g(β )=3cos β = ,得 cos β = . 4 4

? π? 而 α ,β ∈?0, ?, 2? ?
所以 sin α = 1-?

?1?2 2 2, 1-? ? = 3 ?3?
14 ? 2?2 ?= 4 , ?4?

sin β =

所 以 g(α - β ) = 3cos(α - β ) = 3(cos α cos β + sin α sin β ) = 2+4 7 2 2 2 14? ?1 3?? ? + . ? ?= 4 3 4 ? ?3 4

1.求值:(1)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°;

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2cos 10°-sin 20° (2) . cos 20° sin 10°cos 10°sin 50°sin 70° 解:(1)原式= 2cos 10° = = sin 20°sin 50°sin 70° sin 20°cos 20°sin 50° = 4cos 10° 4cos 10° sin 40°sin 50° sin 80° 1 = = . 8cos 10° 16cos 10° 16

2cos?30°-20°?-sin 20° (2)原式= cos 20° = = 2cos 30°cos 20°+2sin 30°sin 20°-sin 20° cos 20° 2cos 30°cos 20° = 3. cos 20°

2.已知 sin(2α +β )=3sin β ,设 tan α =x,tan β =y,记 y=f(x). (1)求 f(x)的解析式; (2)若角 α 是一个三角形的最小内角,试求函数 f(x)的值域. 解:(1)∵由 sin(2α +β )=3sin β , 得 sin[(α +β )+α ]=3sin[(α +β )-α ], 即 sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α =3sin(α +β )?cos α -3cos(α +β )sin α ,∴sin(α +β )cos α =2cos(α +β )?sin α , tan α +tan β ∴tan(α +β )=2tan α ,于是 =2tan α , 1-tan α tan β 即

x+y x x =2x,∴y= 2,即 f(x)= 2. 1-xy 1+2x 1+2x

(2)∵角 α 是一个三角形的最小内角, π ∴0<α ≤ ,则 0<x≤ 3 3, 1 1 = ?2x 2? 2 ? ? 当且仅当x= 时取“=”?,故函数 f(x)的值 4 ? 2 ?

f(x)=

x
1+2x

2



≤ 1 +2x 2 x

1

x

域为?0,

? ?

2? ?. 4?
2 2

3.已知 sin θ 和 cos θ 是关于 x 的方程 x -2xsin α +sin β =0 的两个根. 求证:2cos 2α =cos 2β . 证明:因为 sin θ ,cos θ 是方程 x -2xsin α +sin β =0 的两根,所以 sin θ +cos
2 2

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θ =2sin α ,sin θ ?cos θ =sin β . 因为(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ ,所以(2sin α ) =1+2sin β ,即 4sin α =1+2sin β , 所以 2(1-cos 2α )=1+1-cos 2β ,所以 2cos 2α =cos 2β . 4. A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点, 点 P 在单位圆上, ∠AOP=θ (0<θ <π ), OQ = OA + OP ,四边形 OAQP 的面积为 S. (1)求 OA ? OQ +S 的最大值及此时 θ 的值 θ 0;
2 2 2 2 2

2

????

??? ?

??? ?

??? ?

????

? 3 4? (2)设点 B 的坐标为?- , ?,∠AOB=α ,在(1)的条件下,求 cos(α +θ 0). ? 5 5?
解:(1)由已知,A,P 的坐标分别为(1,0),(cos θ ,sin θ ). 则 OQ =(1+cos θ ,sin θ ), OA ? OQ =1+cos θ .

????

??? ?

????

??? ? ???? 1 又 S=2? |OP|?|OA|?sin θ =sin θ ,所以 OA ? OQ +S=cos θ +1+sin θ = 2
π? ? 2?sin?θ + ?+1(0<θ <π ). 4? ?

??? ? ???? π 故 OA ? OQ +S 的最大值是 2+1,此时 θ 0= . 4
3 4 2 (2)∵cos α =- ,sin α = ,且 sin θ 0=cos θ 0= , 5 5 2 ∴cos(θ 0+α )=cos θ 0cos α -sin θ 0sin α =- 7 2 . 10

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